湖北省部分学校2024-2025学年高三上学期12月联考数学试题

这是一份湖北省部分学校2024-2025学年高三上学期12月联考数学试题，共14页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知为锐角，，则等内容，欢迎下载使用。

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容（除解析几何外）．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）．
A． B．C．D．
2．已知复数，为z的共轭复数，则的虚部为（ ）．
A．B．C．D．
3．已知平面向量，，且，则（ ）．
A．5B．C．D．
4．黄州青云塔矗立在黄冈市宝塔公园的钵孟峰上，又名文峰塔，因高入青云而得名．该塔塔身由青灰色石块砌成，共七层，假设该塔底层（第一层）的底面面积为16平方米，且每往上一层，底面面积都减少1平方米，则该塔顶层（第七层）的底面面积为（ ）．
A．8平方米B．9平方米C．10平方米D．11平方米
5．已知为锐角，，则（ ）．
A．B．C．D．或
6．已知，是函数图象上不同的两点，则（ ）．
A．B．
C．D．
7．在四棱锥中，底面为正方形，，，，则四棱锥的体积为（ ）．
A．B．C．D．16
8．已知函数在上只有一个零点，则正实数m的取值范围为（ ）．
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．数据，，，，的平均数、中位数都是，则（ ）．
A．数据，，，，与数据，，，的平均数相等
B．数据，，，，与数据，，，的方差相等
C．数据，，，，与数据，，，的极差相等
D．数据，，，，与数据，，，的中位数相等
10．已知函数的定义域为R，，且当时，，则（ ）．
A．B．
C．D．没有极值
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）．
A．是偶函数
B．的最小正周期是
C．的图象关于直线对称
D．若，，，则a的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数的图象在点处的切线过点，则__________．
13．某员工在开办公室里四位数的数字密码门时，发现按键“3”“6”“9”上有清晰的指纹印，若该密码确实由数字“3”“6”“9”组成，则该密码有__________种可能．（用数字作答）
14．如图，平行六面体的底面是菱形，，，，若非零向量，满足，，则的最小值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，．
（1）求A；
（2）若的外接圆面积为，角B的平分线交于D，求的面积，及与的面积之比．
16．（15分）已知函数．
（1）若在上单调递增，求a的取值范围；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
17．（15分）如图，在三棱柱中，，，，．
（1）证明：平面平面．
（2）求二面角的正弦值．
18．（17分）设数列的前n项和为，若，且对任意的，均有（k是常数且）成立，则称为“Ⅱ（k）数列”．
（1）设为“Ⅱ（1）数列”．
①求的通项公式；
②若，数列的前n项和为，证明：．
（2）是否存在既是“Ⅱ（k）数列”，又是“Ⅱ数列”？若存在，求出符合条件的的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由．
19．（17分）甲、乙两人玩一个纸牌游戏，先准备好写有数字1，2，…，N的纸牌各一张，由甲先随机抽取一张纸牌，记纸牌上的数字为a，随后将纸牌放回（后面每次抽牌记录数字后都需将纸牌放回），接下来甲有2种选择：
①再抽取一次纸牌，记纸牌上的数字为b，若，则乙贏，游戏结束，否则，甲结束抽牌，换由乙抽牌一次；
②直接结束抽牌，记，换由乙抽牌一次．
记乙抽到的纸牌上的数字为c，若，则乙赢，否则甲赢．游戏结束．
（1）若甲只抽牌1次，求甲赢的概率；
（2）若甲抽牌2次，求甲赢的概率；
（3）当甲抽取的第一张纸牌上的数字满足什么条件时，甲选择②贏得游戏的概率更大？（结果用含N的式子表示）
参考公式：若数列的通项公式为，则的前n项和．
高三数学考试参考答案
1．C 由，得，即，所以．
2．A ，．
3．B ．
因为，所以，解得．
4．C
由题意可得该塔第一层至第七层的底面面积依次成等差数列，且首项为16，公差为，
故该塔顶层的底面面积为平方米．
5．C
，解得．
因为为锐角，所以，
，．
．
6．A
由题意不妨设，因为是增函数，所以，即．
，
则，即，A正确，B错误．
取，，则，，，C错误．
取，，则，，，D错误．
7．C
过点P作底面，垂足为O，
设E，F分别为，的中点，连接，，则点O在上．
设，因为，，所以．
，，
．
在中，，
所以，解得，所以．
故四棱锥的体积为．
8．D
分别作出函数与函数的大致图象．
分两种情形：当时，，如图1，
图1 图2
当时，与的图象有一个交点，符合题意；
当时，，如图2，
当时，要使得与的图象只有一个交点，
只需，即，解得（舍去）．
综上，正实数m的取值范围为．
9．AC
设数据，，，，的平均数为，则，数据，，，的平均数为，A正确．
数据，，，，的方差，
数据，，，的方差，
所以数据，，，，与数据，，，的方差不一定相等，B错误．
数据，，，，与数据，，，的极差相等，C正确．
数据，，，，与数据，，，的中位数不一定相等，如数据2，2，5，7，9的平均数、中位数都是5，但数据2，2，7，9的中位数不是5，D错误．
10．ABD
令，得，A正确．
令，得，所以，，
据此类推可得，所以，B正确．
也满足题意，C错误．
令，，，则．
当时，．因为当时，，所以，
即，，所以是增函数，没有极值，D正确．
11．BCD
因为，所以是奇函数，A错误．
当时，；当时，．
又因为，
所以的最小正周期是，B正确．
，
所以的图象关于直线对称，C正确．
当时，，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
，．
结合对称性，得到的部分图象如图所示．
当时，．
由题意可得，当时，，．
，，
结合的图象可得，，解得，
则a的取值范围是，D正确．
12．5
，，．
的图象在点处的切线方程为．
因为该切线过点，所以，解得．
13．36 ．
14．
设，则．
因为，所以在上的投影向量，
则投影向量的模长，
过点作平面，使得平面（图略），则点N在平面内．
设，则等价于，
即，则，所以点M在以为直径的球面上．
又，，
，
所以以为直径的球的半径．
设的中点为E，则在上的投影向量为
，
所以球心E到平面的距离．
因为，所以平面在球E的外部．
的最小值表示球E上的点M到平面内的点N的距离的最小值，
显然．
15．解：（1）在中，，．
因为，，
所以，即，．（2分）
因为，所以，（3分）
即，（5分）
所以，．
（2）因为的外接圆面积为，所以的外接圆半径为3．（7分）
因为，所以，．（9分）
．（11分）
，
所以与的面积之比为．（3分）
16．解：（1）．（1分）
因为在上单调递增，所以当时，．（3分）
因为是增函数，所以，解得．
故a的取值范围为．（5分）
（2），即．（7分）
令，．（9分）
由，得，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．（11分）
．（13分）
因为恒成立，所以．
故a的取值范围为．（15分）
17．（1）证明：取的中点O，连接，，．
四边形为平行四边形，
又因为，，所以为等边三角形，
所以，．（1分）
在中，，．
因为，所以．（3分）
因为，所以平面．（4分）
因为平面，所以平面平面．（5分）
（2）解：以O为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，．（7分）
，，．（8分）
设平面的法向量为，平面的法向量为．
，即，令，得．（10分）
，即，令，得．（12分）
，则，（14分）
故二面角的正弦值为．（15分）
18．（1）①解：因为为“Ⅱ（1）数列”，所以．
因为，所以．
当时，，得．（1分）
当时，，则，
即，（3分）
经检验，当时，满足，
所以对任意的恒成立，是首项为2，公比为的等比数列，
所以．（5分）
②证明：．
，（6分）
，
两式相减得，（7分）
所以．（8分）
当n为偶数时，．
当n为奇数时，．
故．（10分）
（2）解：假设存在这样的数列，
由是“Ⅱ（k）数列”可得．
由是“Ⅱ数列”可得，（11分）
所以，，
即，所以．（13分）
由，令，得，令，得．
因为，所以，解得，
所以为2，，2，，2，，…，
的通项公式为．（15分）
当n为偶数时，，解得，k为奇数．
当n为奇数时，，解得，k为奇数．（16分）
综上，存在既是“Ⅱ（k）数列”，又是“Ⅱ数列”，
此时的通项公式为，且k为奇数．（17分）
19．解：（1）若甲只抽牌1次，甲赢的情况如下．
甲抽到的纸牌上的数字为1，乙抽到的纸牌上的数字为N，此时有1种情况；
甲抽到的纸牌上的数字为2，乙抽到的纸牌上的数字为N，，此时有2种情况；
甲抽到的纸牌上的数字为3，乙抽到的纸牌上的数字为N，，，此时有3种情况；
……
依次类推，甲赢的情况共有．（3分）
故甲赢的概率为．（4分）
（2）若甲抽牌2次，甲赢的情况如下．
①甲第1次抽到的纸牌上的数字为1．
第2次抽到的纸牌上的数字为1，乙抽到的纸牌上的数字为N，，此时有2种情况；
第2次抽到的纸牌上的数字为2，乙抽到的纸牌上的数字为N，，，此时有3种情况；
……
第2次抽到的纸牌上的数字为，乙抽到的纸牌上的数字为N，，…，1，此时有N种情况．
以上有种情况．（6分）
②甲第1次抽到的纸牌上的数字为2．
第2次抽到的纸牌上的数字为1，乙抽到的纸牌上的数字为N，，，此时有3种情况；
第2次抽到的纸牌上的数字为2，乙抽到的纸牌上的数字为N，，，，此时有4种情况；
……
第2次抽到的纸牌上的数字为，乙抽到的纸牌上的数字为N，，…，1，此时有N种情况．
以上有种情况．（8分）
依次类推，甲第1次抽到的纸牌上的数字为3时，甲赢的情况有种；
……
甲第1次抽到的纸牌上的数字为时，甲赢的情况有种；
甲第1次抽到的纸牌上的数字为时，甲赢的情况有N种．（9分）
甲赢的情况的总数为
．（11分）
故甲赢的概率为．（12分）
（3）当甲抽取的第一张纸牌上的数字为a时，
若甲选择①，则甲赢的概率，（14分）
若甲选择②，则甲赢的概率．（15分）
令，即，
化简得，解得．
综上，当甲抽取的第一张纸牌上的数字大于时，甲选择②赢得游戏的概率更大．（17分）