广西壮族自治区玉林市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4

这是一份广西壮族自治区玉林市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了 一元二次方程根的情况是， 若是方程的一个解，则的值是等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 满分：120分）
注意事项：
1.答题前，考生务必将姓名、座位号、考籍号填写在试卷和答题卡上．
2.考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选均得0分）
1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【详解】解：A．是一元二次方程，故此选项正确，符合题意；
B．是二元二次方程，故此选项错误，不符合题意；
C．当时，、、是常数时，是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意；
D．是分式方程，故此选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2. 一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A. 6，2，9B. 2，，9C. 2，，D. ，6，
【答案】C
【解析】
【分析】一元二次方程中，a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项，据此即可解答.
【详解】解：一元二次方程即为
二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，，；
故选：C.
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟知一元二次方程的基本知识是解题的关键.
3. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出．
【详解】解：A，是中心对称图形，符合题意；
B，不是中心对称图形，不符合题意；
C，不是中心对称图形，不符合题意；
D，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
4. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可知，然后利用等边对等角得，最后由三角形内角和即可求解，即可．
【详解】解：由旋转性质可知：，
∵点D恰好落在的延长线上，
∴，
∴，
即旋转角的度数是，
故选：B．
5. 在平面直角坐标系中,点关于原点对称点的坐标是( )
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点，即关于原点对称的两点的横纵坐标都分别互为相反数，即可求解．
【详解】解：在平面直角坐标系中,点关于原点对称点的坐标是，
故选：C．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟练掌握和运用关于原点对称的点的坐标特点是解决本题的关键．
6. 一元二次方程根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据方程找出对应的a、b、c，再代入到根的判别式中即可求出答案．
【详解】∵，，，
∴，
∴
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式及相应结果是解题关键．
7. 用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0时，配方后的方程是（ ）
A. （x＋2）2＝2B. （x﹣2）2＝2C. （x＋2）2＝10D. （x﹣2）2＝10
【答案】D
【解析】
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算即可．
【详解】，
移项，得，
配方，得，
即,
故选：.
【点睛】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）解出未知数．
8. 将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图像与几何变换，掌握二次函数图像性质，平移的基本方法是解答本题的关键．
根据题意，抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度，即把顶点坐标点向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到点的坐标为，由此得到平移后得到的抛物线解析式，选出答案．
【详解】解：由题意得：抛物线，
即抛物线的顶点坐标为，
先把抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度，
即把点向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到点的坐标为，
平移后得到的抛物线解析式为：，
故选：．
9. 若是方程的一个解，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，用整体的思想是解题的关键．先根据一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法进行计算．
【详解】解：由题意得，
．
故选：B．
10. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法求抛物线的顶点坐标，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成求解．过程如图所示：

接力中，自己负责的出现错误的是（ ）
A. 甲和乙B. 乙和丙C. 乙和丁D. 甲和丙
【答案】A
【解析】
【分析】将正确进行配方，即可发现错误步骤．
【详解】解：老师—甲： ，故甲错误；
甲－乙：，故乙错误；
乙－丙：，故丙正确；
丙－丁：的顶点坐标为，故丁正确．
A：正确；B：错误；C：错误；D：错误．
故选：A
【点睛】本题考查将抛物线的一般式配成顶点式．易错点：直接除以二次项系数、加了常数不减．
11. 如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（ ）
A. 1mB. 1.5mC. 2.5mD. 2m
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数的解析式，再把代入抛物线的解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过顶点，则通过画图可得知为原点，
由平面直角坐标系可知，，即，
设抛物线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则抛物线的解析式为，即，
当时，，
所以水面下降，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系从而得出二次函数的解析式是解决问题的关键．
12. 定义运算“”为：，如：，则函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据定义运算“”为：，可得的函数解析式，根据函数解析式，可得函数图象．
【详解】解：，
时，图象是对称轴右侧的部分；时，图象是对称轴左侧的部分，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，利用定义运算“”为：得出分段函数是解题关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13. 请写出一个开口向上且过点的抛物线的解析式：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，由开口向上可得，再结合过点，即可作答．
【详解】解：∵开口向上，
∴
则选择，
∵过点，
∴抛物线的解析式为（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
14. 已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是______．
【答案】3
【解析】
【详解】试题分析：设方程的另一个解是a，则1×a=3，
解得：a=3．
故答案是：3．
考点：根与系数的关系．
15. “国庆”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手10次，则参加聚会人数是_____________人．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据“每两个人都握一次手，所有人共握手10次”，列式求解即可．
【详解】解：设有人参加聚会，
根据题意得，，
整理得，
解得（舍去），．
所以有5人参加聚会．
故答案为：5．
16. 如图，线段的两个顶点都在方格纸的格点上，建立平面直角坐标系后，、的坐标分别是，，将线段绕点顺时针旋转后得到．则点关于原点的对称点的坐标是_________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变化——旋转，关于原点对称的点的坐标．画出线段绕点顺时针旋转后得到的位置，由图可得到点的坐标，再求出点关于原点的对称点的坐标即可．
【详解】解：线段绕点顺时针旋转后得到的位置如下图：

有图可知，
点关于原点的对称点的坐标是，
故答案为：．
17. 如图，在等边中，是边上的一点，将绕点沿逆时针方向旋转得到．若，，则的周长为______．
【答案】14
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用旋转的性质成为解题的关键．根据旋转的性质得，，，
可判断为等边三角形，则有，所以的周长，再结合等边三角形的性质，根据三角形的周长公式即可解答．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
将绕点沿逆时针方向旋转得到，
，，，
是等边三角形，
，
的周长．
故答案为：14．
18. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
【详解】解：∵正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．
∴，
当抛物线经过点时，则，
当抛物线经过时，，
观察图象可知，抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
19. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，利用配方法解方程即可．
【详解】解：，
，
，
，
解得．
20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为O0,0，A5,0，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，点旋转后的对应点为．
（1）画出旋转后的图形，并写出点的坐标；
（2）求点经过的路径的长．（结果保留）
【答案】（1）图见解析，
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转作图，弧长公式，勾股定理，画出图形是解答关键．
（1）根据旋转的性质画出图形即可；
（2）根据题意是以点为圆心，长为半径圆上的弧，用勾股定理求出半径，再用弧长公式求解．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
点的坐标为．
【小问2详解】
解：如图，是以点为圆心，长为半径的圆上的弧，
由勾股定理，得，
点经过的路径的长为．
21. 台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元．如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设捐款增长率为．根据题意列一元二次方程求解即可．
【详解】解：设捐款增长率为．
根据题意列方程，得，
解得，（不合题意，舍去），
答：捐款增长率为．
22. 已知二次函数的部分图象如图所示．
（1）求二次函数图象的对称轴；
（2）求关于的一元二次方程的解．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）将配成顶点式即可求解；
（2）结合图象，由对称轴可知该函数与轴的另一个交点为，由此可得方程的解．
【小问1详解】
解：，
二次函数的图象的对称轴是直线．
【小问2详解】
由图象可知：二次函数的图象与轴交于点．
由①知，该函数的对称轴为直线，
该函数与轴的另一个交点为，
关于的一元二次方程的解是，．
23. 如图，某单位拟在一块空地上修建矩形植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过米，另外三边由米长的栅栏围成，设矩形中，垂直于墙的边米，面积为平方米．
（1）与之间的函数解析式为______，自变量的取值范围为______；
（2）若矩形的面积为平方米，求的值．
【答案】（1），
（2），过程见解析
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程，利用一元二次方程的知识解决问题．
（1）根据矩形面积公式列出与之间的函数关系式， 并由求出自变量x的取值范围即可；
（2）若矩形空地的面积为平方米，则由（1）可得关于的一元二次方程，求得方程的解并作出取舍即可．
【小问1详解】
解：．
，
，
与之间的函数解析式为．
故答案为：，．
【小问2详解】
解：由题意，得，
解得，．
，
不符合题意，
．
24. 在一次学校组织社会实践活动中，小洛看到农田里安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线（如图1），他发现这种喷枪射程是可调节的，且在一定的调节范围内喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一组相关数据，通过研究发现，以地面为轴，以喷枪所在直线为轴，建立平面直角坐标系（如图2所示），设水流的最高点到地面的距离为，水流的最高点与喷枪的水平距离为，且满足．

请解答下列问题：
（1）该喷枪的出水口到地面的距离为______m；
（2）当水流的最高点与喷枪的水平距离为时，求水流的最高点到地面的距离；
（3）在（2）的条件下，请计算水流的射程约为多少米（精确到，参考数据）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用：
（1）将代入即可求解；
（2）将代入即可求解；
（3）根据（2）中结论设出抛物线的顶点式为，将代入求出a的值，再令，求出对应的x的值即可．
【小问1详解】
解：将代入，得，
即该喷枪的出水口到地面的距离为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：将代入，得，
即水流的最高点到地面的距离为；
【小问3详解】
解：由（2）知，水流的最高点与喷枪的水平距离为时，水流的最高点到地面的距离为，
此时抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
将代入，得，
解得，
，
当时，，
解得，（负值舍去），
水流的射程约为．
25. 在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．
（1）同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由；
（2）你还有其他的设计方案吗？请在图1-3中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明.
【答案】（1）不符合.理由见解析 （2）有其它的设计方案，图形见解析
【解析】
【分析】（1）利用等量关系花园的长×花园的宽=荒地面积的一半得到路的宽度，跟小芳所给的道路比较即可；
（2）利用同底等高的三角形的面积等于矩形的面积的一半，可得另一方案；保证阴影部分的面积等于荒地面积的一半即可．
【详解】（1）不符合．
设小路宽度均为xm，根据题意得：
（16-2x）（12-2x）=×12×16，
解这个方程得：x1=2，x2=12．
但x2=12不符合题意，应舍去，
∴x=2．
∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2m．
（2）答案不唯一．
例如：
左边的图形，取上边长得中点作为三角形的顶点，下边的长的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积等于矩形面积的一半；
右图横竖两条小路，且小路在每一处的宽都相同，其小路的宽为4米时，除去小路剩下的面积为矩形面积的一半．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，抓住等量关系花园的面积等于荒地面积的一半是解决问题的关键．
26. 综合与实践
【问题提出】
某数学兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，探究S与t的关系．
【初步感知】
（1）如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当时，S＝________；
②求S关于t的函数解析式．
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数解析式（并写出自变量的取值范围）及线段AB的长．
【延伸探究】
（3）若存在3个时刻，，（）对应的正方形的面积均相等．
①_______；
②当时，求正方形的面积．
【答案】（1）①；②；（2），；（3）①4；②3
【解析】
【分析】（1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求解即可；②仿照①先求出，进而求出，则；
（2）由（1）知，抛物线过点，顶点为：，可得，当时，则，解方程即可求解；
（3）在题干图中画出，从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1，若存在3个时刻，，（）对应的正方形的面积均相等，则，，如图所示，此时符合题意：①从图象看，，关于x=2对称，则，则；②从图象看，关于对称，则②，而③，由①②③得：，解得：，当时，，即可求解．
【详解】（1）解：①∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，
∴当时，点P在上，且，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）由（1）知，抛物线过点，顶点为：，
则抛物线的表达式为：，
将代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
当时，则，
解得：（舍去）或8，
则；
（3）在题干图中画出，如下图：
从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1，
若存在3个时刻，，（）对应的正方形的面积均相等，
则，，如上图所示，此时符合题意．
①从图象看，，关于x=2对称，
则，
则①，
故答案为：4；
②从图象看，关于对称，
则②，
而③，
由①②③得：，
解得：，
当时，，
即正方形的面积为3．