黑龙江省哈尔滨市虹桥初级中学校　2023-2024学年 上学期八年级10月月考数学(五四制)试卷（解析版）-A4

这是一份黑龙江省哈尔滨市虹桥初级中学校　2023-2024学年 上学期八年级10月月考数学(五四制)试卷（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中，是轴对称图形的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进行判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 下列运算中，正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方以及幂的乘方法则，解题的关键是掌握以上运算法则．
根据合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方以及幂的乘方法则进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项是错误的，不符合题意；
B、，故该选项是正确的，符合题意；
C、，故该选项是错误的，不符合题意；
D、，故该选项是错误的，不符合题意；
故选：B．
3. 点关于轴的对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果．
【详解】解：根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴点M（-5，3）关于x轴的对称点的坐标是（-5，-3），
故选：A．
【点睛】本题主要考查了两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，属于基础题，比较简单．
4. 若，，则等于（ ）
A. 7B. 1C. D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，熟知是解题的关键．根据同底数幂乘法的逆运算法则求解即可．
【详解】解：，
故选：D．
5. 如图，将一张长方形纸片按图中折叠，折痕为，，，则重叠部分的面积为（ ）
A. 80B. 20C. 40D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定、折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了三角形的面积公式．根据折叠的性质得到，根据可得，继而可得，易得，然后根据三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：由折叠的性质可得：，
∵四边形是长方形，
，
，
，
，
，，
∴
重叠部分的面积．
故选：C
6. 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD＝5，点F是AD边上的动点，则BF＋EF的最小值为（ ）
A. 7.5B. 5C. 4D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，证△ADB≌△CEB得CE=AD=5，即BF+EF=5．
【详解】解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF，
∵等边△ABC中，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），
∴C和B关于直线AD对称，
∴CF=BF，即BF+EF=CF+EF，
∴当C、E、F共线且CE⊥AB时CF+EF有最小值CE，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
在△ADB和△CEB中，
∠ADB=∠CEB∠ABD=∠CBEAB=CB，
∴△ADB≌△CEB（AAS），
∴CE=AD=5，
即BF+EF=5．
故选B．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．
7. 如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形的个数（ ）
A. 3个B. 5个C. 6个D. 7个
【答案】B
【解析】
【分析】根据角平分线的定义，以及平行线的性质可得与，与的关系，根据等腰三角形的判定，可得与，与的关系．本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质进行推导是解决问题的关键．
【详解】解：平分，平分，
，．
，
，，
，，
，，即，都为等腰三角形．
又，，
，且，
，都为等腰三角形．
，与的平分线相交于点，
，
，即是等腰三角形．
故等腰三角形有：，，，，，
故选：B．
8. 下列说法正确的是（ ）
A. 两个全等的三角形一定关于某直线对称
B. 等腰三角形的高线，中线，角平分线互相重合
C. 到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点
D. 等腰三角形顶角的角平分线是对称轴
【答案】C
【解析】
【分析】利用对称轴的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质，线段垂直平分线的判定分别判断后即可确定正确的选项．本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
【详解】解：A、两个全等三角形不一定关于某条直线对称，故该选项是不符合题意；
B、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，故该选项是不符合题意；
C、到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点，故该选项是符合题意；
D、等腰三角形顶角的角平分线是线段，而对称轴是直线，故该选项是不符合题意；
故选：C
9. 如图，在中，于点，则与的周长之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查的知识点是含30度角的直角三角形，关键是先由已知得出，再根据含30度角的直角三角形的性质求解．已知中，，，于点，可得，根据含30度角的直角三角形的性质，可得：，，，从而求出与的周长之比．
【详解】解：已知中，，，
，
，
，，，
，
与的周长之比为：，
故选：A．
10. 如图，在第1个中，，；在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到，使，得到第3个……按此做法继续下去，则第n个三角形中以为顶点的内角度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，根据题意得出，及的度数，找出规律是解答此题的关键．
先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个三角形中以为顶点的底角度数．
【详解】解：在中，，，
，
，是△的外角，
；
同理可得，，
第个三角形中以为顶点的底角度数是．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共24分）
11 若，则________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂相乘的运算法则，根据，得出，解出的值，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：2．
12. 化简________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了单项式乘多项式，则，即可作答．
【详解】解：依题意，，
故答案为：．
13. 若一个等腰三角形两边的长分别为和，则这个等腰三角形的周长是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰长．
因为等腰三角形的两边分别为和，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论，再根据三角形三边关系进行判断，最后将三边相加即可．
【详解】解：当等腰三角形的腰长为时，其底边长为，两条腰长均为，
∵
∴，，不可以构成三角形；
当等腰三角形的腰长为时，其底边长为，两条腰长均为，
∵
∴，，可以构成三角形，
∴等腰三角形的周长为：，
故答案为：．
14. 如图，在中，，，，则的度数为________度．
【答案】40
【解析】
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，，，再根据等边对等角的性质，，代入数据计算即可求出的度数．本题主要利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质，等边对等角，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：如图，，，
，
，
，
，
，
即，
，
．
故答案为40．
15. 等腰三角形的一个外角为，则底角为________度．
【答案】70或40
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质，要注意分两种情况讨论求解．学会分类讨论思想解决数学问题是解题的关键．
根据题意得出与这个外角相邻的内角是，然后分两种情况求解即可．
【详解】解：一个外角是，
与这个外角相邻的内角是，
当角是顶角时，它的底角度数是，
当角是底角时，它的底角度数是，
综上所述，它的底角度数是或．
故答案为：70或40．
16. 如图，是一钢架，，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管、、，添钢管长度都与相等，则最多能添加这样的钢管_____根．

【答案】5
【解析】
【分析】利用三角形外角性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算求解．
【详解】如图所示，∵，，
∴，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
故，不能再添加了．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
17. 如图，在中，，点D、E在上且，，则________度．
【答案】35
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形和三角形内角和定理．熟练掌握是解题的关键．
由三角形内角和得，由等腰三角形，求出，得，再根据，即可求出．
【详解】∵中，，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
解得．
故答案为：35．
18. 如图，四边形中，，，，，则的面积是________．
【答案】8
【解析】
【分析】题目主要考查勾股定理解三角形，根据题意作出辅助线，利用含30度角的直角三角形的性质求解是解题关键．
过点A作于点E，设，根据含30度角的直角三角形的性质得出，再由勾股定理确定，继续利用勾股定理得出，，然后求面积即可．
【详解】解：过点A作于点E，如图所示：
设，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∴，
∴的面积为：，
故答案为：8．
三、解答题（19题10分，20题8分，21题10分，22题8分，23、24、25每题10分）
19. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方，合并同类项法则，成为解答本题的关键．
（1）根据同底数幂相乘，合并同类项，计算即可．
（2）根据同底数幂相乘、积乘方、幂的乘方，合并同类项运算法则计算即可．
【小问1详解】
．
【小问2详解】
．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】按照去括号、合并同类项的顺序化简，然后代入求值即可．
【详解】18．解：原式，
当时，
原式．
【点睛】本题考查了代数式的化简求值；熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解题的关键．
21. 在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示．
（1）请画出关于y轴对称的（其中、、分别是A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）直接写出、、三点的坐标：（ ）、（ ）、（ ）．
（3）连接A、，直接写出的面积________．
【答案】（1）见详解 （2），，
（3）10
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的画法及对直角坐标系的认识，其中掌握画法是做题的关键．
（1）从三角形各顶点向轴引垂线并延长相同的长度，线段的端点就是要找的三顶点的对应点，顺次连接；
（2）直接从（1）的图写出、、三点的坐标，即可作答．
（3）从画出的图形上找出三角形的三顶点的坐标，利用面积解答即可．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
解：依题意，，，；
【小问3详解】
解：的面积．
22. 如图，点D、E在的边上，，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了三线合一定理，过点A作C于P，利用三线合一得到P为及的中点，再根据线段之间的关系即可得证．
【详解】证明：如图，过点A作C于P．
∵
∴；
∵，
∴，
∴，
∴．
23. 阅读理解：规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．
例如：因为，所以．
（1）根据上述规定，填空：
①________；
②若，则________；
③若，则________．
（2）若，，．请探索a，b，c之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）①2；②2；③81
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查有理数的乘方，幂的乘方及其逆用，同底数幂乘法的逆用．理解题意，掌握新规定的运算法则是解题关键．
（1）根据规定的运算法则结合有理数的乘方和负整数指数幂解答即可；
（2）由题意可得出，，，结合，即得出，再根据幂的乘方及其逆用法则和同底数幂乘法的逆用法则计算即可求解．
【小问1详解】
解：①∵，
∴．
故答案为：2；
②∵，
∴．
故答案为：2；
③∵，
∴．
故答案为：81．
【小问2详解】
，，，
，，，
，
，
，
，
．
24. 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
（1）发现问题：如图1，和是顶角相等的等腰三角形，、分别是底边．求证：；
（2）解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断线段，，之间的数量关系并说明理由．
（3）尝试探究：如图3，在（2）问的条件下，延长交于点P，与交于点N，连接，，，，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2），见解析
（3）
【解析】
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据等腰三角形的性质得出，，，再结合图形及全等三角形的判定和性质即可证明；
（2）由（1）知且，结合图形及等腰直角三角形的性质求解即可；
（3）作，垂直于的延长线于，根据全等三角形的判定得出，，，再由全等三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
证明：和是顶角相等的等腰三角形
，，，
即
在和中，
，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）知且，
是等腰直角三角形，且，
，
，
；
小问3详解】
作，垂直于的延长线于，
，
，
，同理，
在和中，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
∵，
∴，
在和中，
，
，
，，，
设，
，
，
，
，
解得，
．
25. 已知，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，的顶点都在坐标轴上，，．
（1）如图1，求A点坐标．
（2）如图2，点D在上，连接，若，，求证平分．
（3）如图3，在（2）的条件下，以为腰作等腰直角，线段与y轴交于点G，当时，求的长度．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）或
【解析】
【分析】（1）根据三角形的面积列式计算，即可作答．
（2）设，则，运用三角形的内角和性质得，再结合直角三角形两个锐角互余以及三角形外角性质，得出，再得出，即可作答．
（3）要进行分类讨论且分别作图，即当时．则；当时，，证明过程要运用全等三角形的判定与性质，得出对应边相等，以及运用勾股定理算出，，再结合线段的和差，算出对应边的长度，即可作答．
【小问1详解】
解：，，
，
点坐标为；
【小问2详解】
解：设，
∵
则，
作于，如图：
∴，
∵，
∴，
则，
∵，
∴，
，
，
又∵，，
∴，
，
平分；
【小问3详解】
解：作于，如图所示：
当时．则；
设，
则
，
，
，
则，，
又平分，，
，
即
即，
，
在和中
，
，
作于，连接，作于，如图所示：
当时，，
则，
∴，，
∴
∵
∴，
∴，，
∵
∴，，
即
即，
，
的长度是5或．
【点睛】本题考查了图形与坐标，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．