浙江省金华市义乌市四校（稠城中学，北苑中学，稠江中学，望道中学）2024-2025学年八年级上学期10月联考数学试题（解析版）-A4

这是一份浙江省金华市义乌市四校（稠城中学，北苑中学，稠江中学，望道中学）2024-2025学年八年级上学期10月联考数学试题（解析版）-A4，共24页。
1. 下图给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意，
B．不是轴对称图形，不符合题意，
C．不是轴对称图形，不符合题意，
D．是轴对称图形，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 若三角形的三边长分别是2，7，，则的取值可能是（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据三角形三边之间的关系即可进行解答．
【详解】解：∵三角形的三边长分别是2，7，，
∴，即，
∴的取值可能是6，
故选：A．
3. 如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ）

A. 120°B. 90°C. 100°D. 30°
【答案】C
【解析】
【详解】∠A=∠ACD﹣∠B
=120°﹣20°
=100°，
故选C．
4. 在下列命题中，为真命题的是（ ）
A. 相等的角是对顶角B. 同旁内角互补
C. 负数的立方根是负数D. 垂线段叫做点到直线的距离
【答案】C
【解析】
【分析】有公共顶点，且角的两边互为方向延长线的两个角叫做对顶角，据此可判断A；根据平行线的性质可判断B；根据立方根的定义可判断C；点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，据此可判断D．
【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意；
C、负数立方根是负数，原命题是真命题，符合题意；
D、点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原命题是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了判断命题真假，立方根的定义，对顶角的定义，平行线的性质，点到直线的距离的定义，熟知相关知识是解题的关键．
5. 如图，在中，，，平分，，，则的面积为（ ）
A. 14B. 12C. 10D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式进行计算．
【详解】解：过点作于，如图，
平分，，，
，
．
故选：D
6. 如图，三条公路将三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A. 三条高线的交点B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点D. 三边垂直平分线的交点
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了垂直平分线的应用，理解并掌握垂直平分线段的性质是解题关键．根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，即可获得答案．
【详解】解：作、的垂直平分线并交于点，
则有，，
则有，，
∴，
∴要使集贸市场到三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三边垂直平分线的交点．
故选：D．
7. 如图，△ACE≌△DBF，AD=8，BC=2，则 AC=（ ）
A. 2B. 8C. 5D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质可得AC=DB，再由AB+BC=DC+BC进行求解即可．
【详解】解：∵△ACE≌△DBF，
∴AC=DB，
∴AB+BC=DC+BC，即AB=DC，
∵AD=8，BC=2，
∴AB+BC+DC=8，
∴2AB+2=8，
∴AB=3，
∴AC=AB+BC=5，
故选C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，线段的和差，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质．
8. 如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，若，，则的周长为（ ）
A. 4B. 5C. 9D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键．由垂直平分线的性质可知，，，进而得到的周长，即可得到答案．
【详解】解：垂直平分，垂直平分，
，，
的周长，
故选：C．
9. 如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论.
【详解】
由折叠得：∠A=∠A'，
∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，
∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，
∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，
故选A.
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键.
10. 如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②2∠DAE＝∠ABD－∠ACE；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE＋∠ACB．其中正确的结论有（ ）个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】如图，①根据三角形的内角和即可得到∠DAE=∠F；②根据角平分线的定义得∠EAC=∠BAC，由三角形的内角和定理得∠DAE=90°-∠AED，变形可得结论；③根据三角形的面积公式即可得到S△AEB：S△AEC=AB：CA；④根据三角形的内角和和外角的性质即刻得到∠AGH=∠BAE+∠ACB．
【详解】解：如图，AE交GF于M，
①∵AD⊥BC，FG⊥AE，
∴∠ADE=∠AMF=90°，
∵∠AED=∠MEF，
∴∠DAE=∠F；故①正确；
②∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠EAC=∠BAC，
∠DAE=90°-∠AED
=90°-（∠ACE+∠EAC）
=90°-（∠ACE+∠BAC）
=（180°-2∠ACE-∠BAC）
=（∠ABD-∠ACE），
∴2∠DAE＝∠ABD－∠ACE；
故②正确；
③∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴点E到AB和AC的距离相等，
∴S△AEB：S△AEC=AB：CA；故③正确，
④∵∠DAE=∠F，∠FDG=∠FME=90°，
∴∠AGH=∠MEF，
∵∠MEF=∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH=∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH=∠BAE+∠ACB；故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义和性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11. 我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，如图，有一个正五边形木框，要使五边形木架不变形，至少要钉_________根木条．

【答案】2
【解析】
【分析】根据三角形具有稳定性，五边形可以分成3个三角形，需要两根木条．
【详解】解：∵三角形具有稳定性，其它多边形都不具有稳定性，
∴要使五边形木架不变形，根据同一顶点出发的对角线把五边形分成3个三角形，需连两条对角线，每条对角线用一根木条，
∴至少要钉2根木条；
故答案为：2．
【点睛】本题考查三角形的稳定性．熟练掌握三角形具有稳定性，是解题的关键．
12. 将命题“内错角相等”，写成“如果……，那么……”的形式：________________________________.
【答案】如果两个角是内错角，那么这两个角相等
【解析】
【分析】根据命题的构成，题设是内错角，结论是这两个角相等写出即可．
【详解】解：“内错角相等”改写为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等．
【点睛】本题考查命题与定理，根据命题的构成准确确定出题设与结论是解题的关键．
13. 已知等腰三角形两边长是5和12，则它的周长是__________．
【答案】29
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，题目给出等腰三角形有两条边长为5和12，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：当腰为5时，，不能构成三角形，因此这种情况不成立，
当腰为12时，，能构成三角形，
此时等腰三角形的周长为．
故答案为：29．
14. 如图，点是的三条中线，，的交点，若阴影部分的面积，则的面积为______.
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查三角形的中线，根据中线的性质可得，由此得到，，，，即可求解．
【详解】解：∵点是的三条中线，，的交点，
∴，
∴，，，，
∴，，
∴，
故答案为：6．
15. 如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，最短路径问题，解题的关键是通过转化思想，利用轴对称，把较难求的最值问题通过两点之间线段最短转化为求线段的最值问题；在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质可证是的垂直平分线，可得，根据两点之间线段最短可知，的最小值即为的最小值，再根据垂线段最短求解即可．
【详解】解：在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，
，是的平分线，
，
是的垂直平分线，
，
，
当C，P，三点共线，且时，的值最小，即为的值，
，
，
，
的最小值是，
故答案为：．
16. 如果三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，B、C为直线l上两点，且．若P是l上一点，且是“准直角三角形”，则的所有可能的度数为_________________．
【答案】或或
【解析】
【分析】根据“准直角三角形”的定义，分类讨论即可解决问题．本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，“准直角三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
【详解】当点P在点 B右侧时：∵，且，
∴，
①，，由得：，
∴，
；
②，，由得：，
∴，
∴；
③，， 得：，
∴，
这与已知矛盾，假设不成立；
④，， 得：，
∴，
这与已知矛盾，假设不成立；
当点P在点B的左侧时，
⑤，， 得：，
∴，
解得：，
∴；
⑥，，得：，
∴，
解得：，
∴；
综上，的所有可能的度数为或或，
故答案为：15°或22.5°或120°．
三、解答题（第17—21每题8分，第22—23每题10分，第24题12分）
17. 如图，在中，．
（1）尺规作图：作的平分线，交于点D；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查作角平分线和三角形内角和定理，
（1）根据作已知角的角平分线作图即可；
（2）根据三角形内角和定理求得，结合角平分线求得，再利用三角形内角和即可求得答案．
【小问1详解】
解：如图，线段即为所求．
【小问2详解】
解：，，
∴，
∵平分，
，
∴．
18. 如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2．
（1）求证：；
（2）证明：∠1=∠3．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据三角形全等的判定定理即可得证；
（2）先根据三角形全等的性质可得，再根据对顶角相等可得，然后根据三角形的内角和定理、等量代换即可得证．
【详解】（1），
，即，
在和中，，
；
（2）由（1）已证：，
，
由对顶角相等得：，
又，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、对顶角相等、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
19. 在等腰中，，边上的中线把三角形的周长分成和的两部分，求等腰三角形底边的长．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系和分类讨论思想是解题的关键，根据题意由在等腰中，，边上的中线把三角形的周长分成和的两部分，，，然后分别从与去分析求解即可得到答案．
【详解】解：如图，

∵是边上的中线，
即
∴，
，
若，则，
又∵，
∴联立方程组解得：，，
三边能够组成三角形；
若，则，
又∵，
∴联立方程组解得：，，
三边能够组成三角形；
∴三角形的底边长为或．
20. 根据下列命题画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程．
命题：等腰三角形两腰高相等．
已知：如图，______________________．
求证：____________．
证明：
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了命题证明及全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键，根据命题证明的步骤，根据题意画出图形，写出已知，求证，进而根据等腰三角形性质和全等三角形的判定及性质证明即可。
【详解】根据下列命题画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程．
命题：等腰三角形两腰的高相等．
已知：如图，中，和是和边上高．
求证：．
证明：∵如图，在中，，且．
∵，
∴
∵
∴
在与中，
，
∴
∴．
21. 如图，的外角的平分线与的外角的平分线相交于点.
（1）若，求的度数；
（2）求证：点到三边，，所在直线的距离相等.
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查角平分线的性质，三角形内角和的性质，三角形外角；
（1）先根据三角形内角和求出，再根据三角形外角求出，结合角平分线的性质即可求出答案；
（2）过点P作，，，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可证明．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵外角的平分线与的外角的平分线相交于点，
∴，
∴
【小问2详解】
证明：过点P作，，，如图，
∵外角的平分线与的外角的平分线相交于点，
∴，
∴，
∴点到三边，，所在直线的距离相等
22. 如图，在中角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O．
（1）若是中线，，，则与的周长差为 ；
（2）若，是高，求的度数；
（3）若是角平分线，求的度数．
【答案】（1）1 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义及三角形高的定义和中线的性质．
（1）由是中线，可得，再分别求出与的周长，再求差即可；
（2）根据是高，可得，再根据角平分线的定义求出，再根据三角形外角的性质即可求解；
（3）先利用三角形内角和定义求得，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形内角和即可求解．
【小问1详解】
解：∵是中线，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：1；
【小问2详解】
解：∵是的高，
∴，
∵，是的角平分线，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∵、是的角平分线，
∴，，
∴，
∴．
23. 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，是的中点，求边上的中线的取值范围．
【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据SAS可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若，则．）
【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，
试说明：；
【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，判断线段与的数量关系与位置关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3），见解析
【解析】
【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题．
（1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论；
（2）延长到点F，使得，连接．证明，得出，得出，得出，即可证明结论．
（3）延长，使，连接BM，证明，得出，，证明，得出，再进一步证明，即可证明结论．
【详解】解：（1）如图1，延长到点，使，

∵是的中点，
，
，
，
，
在中，，
，
；
（2）如图2，延长至点，使得，连接，则，
∵是的中点
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴
∴
（3），
理由：如图3，延长交于点，延长到，使得，连接，
由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，
由（2）可知，//，
∴，
∵、，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
∵
∴，
∴．
24. 已知，在四边形中，，、分别是边、上的点，且．
（1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，
当时．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路．
小明的解题思路：先证明__________；再证明了__________，即可得出之间的数量关系为__________．
（2）如图②，在四边形中，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中，，分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：______________．
【答案】（1）；；
（2）成立，过程见解析
（3）或或
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形．
（1）依据题意，补图，补充思路即可；
（2）延长到，使，连接，证明即可；
（3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，证明即可，再进行线段和差计算．
【小问1详解】
解：补全图形，如图：
小明的解题思路：先证明，再证明了，即可得出之间的数量关系为，
故答案为：，，；
【小问2详解】
解：（1）中的结论仍然成立．
理由是：如图2，延长到，使，连接．
∵
∴，
∵在与中，
，
∴．
∴，
∴．
∴．
又，
∴．
∴．
∵．
∴；
【小问3详解】
解：①分别在边上，则有成立，第（2）问已证明；
②点在边延长线上，点在边延长线上，此时；
证明：在上截取，使，连接．
∵,
∴．
∵在与中，
,
∴
∴．
∴．
∴．
∵，
∴
∴
∵
∴；
③当点在延长线，点在延长线，如图，在上截取，连接，
同上可证明：，
∴，
∴，
即，
综上所述：线段之间的数量关系为或或，
故答案为：或或．