浙江省衢州市江山市SNE联盟2024--2025学年上学期八年级数学期中考试卷（解析版）-A4

这是一份浙江省衢州市江山市SNE联盟2024--2025学年上学期八年级数学期中考试卷（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：．∵，
∴，故本选项不符合题意；
．∵，
∴，
∴，故本选项符合题意；
．∵，
∴，故本选项不符合题意；
．∵，
∴，故本选项不符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键，①不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
2. 满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）
A. AC＝1，BC＝，AB＝2B. AC：BC：AB＝3：4：5
C. ∠A：∠B：∠C＝1：2：3D. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理可判定即可．
【详解】解：A、∵12+（）2＝4，22＝4，
∴12+（）2＝22，
∴AC＝1，BC＝，AB＝2满足△ABC是直角三角形；
B、∵32+42＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴AC：BC：AB＝3：4：5满足△ABC是直角三角形；
C、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝×180°＝90°，
∴∠A：∠B：∠C＝1：2：3满足△ABC是直角三角形；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝×180°＝75°，
∴∠A：∠B：∠C＝3：4：5，△ABC不是直角三角形．
故选：D．
【点睛】本题主要考查直角三角形的判定，解题关键是掌握直角三角形的判定方法.
3. 能说明命题“对于任何实数，都有”是假命题的反例是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把数值逐一代入给定的不等式中，让不等式不能成立的数就是需要的反例．
【详解】∵时，，
∴A选项不符合题意；
∵时，，不等式不成立，
∴B选项符合题意；
∵时，，
∴C选项不符合题意；
∵时，，
∴D选项不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了命题的定义、幂的运算，理解命题的定义，正确转为所求问题是解题关键．
4. 下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A. 两直线平行，内错角相等B. 若，那么
C. 对顶角相等D. 若，那么
【答案】A
【解析】
【分析】先写出逆命题，后结合对顶角的性质，平行线的性质和判定，绝对值的意义，乘方的运算，判断正误即可．
【详解】解：A．逆命题：内错角相等，两直线平行，该逆命题是真命题，故A符合题意；
B．逆命题：若，则，
∵若，则，
∴该逆命题是假命题，故B不符合题意；
C．逆命题：相等的角是对顶角，是假命题，故C不符合题意；
D．逆命题：若，则，
∵若，则，
∴该逆命题是假命题，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了命题，逆命题，正确写出逆命题，并正确判断正误是解题的关键．
5. 如图，已知，，，其中点，，分别为斜边，，的中点，连接，，．则线段，，的数量关系是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，可以得到，然后根据勾股定理可以得到，从而可以得到的数量关系．
【详解】解：∵点F，G，H分别为的斜边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
化简，得：，
故选：C．
6. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D. 以上均不正确
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的判定定理，过两把直尺的交点作，，由题意得出，从而得出平分，即可得解，熟练掌握角平分线的判定定理是解此题的关键．
【详解】解：如图所示：过两把直尺的交点作，，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴，
∴平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：A．
7. 已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A. 50°B. 130°C. 50°或130°D. 65°或130°
【答案】C
【解析】
【分析】分别从此等腰三角形是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．
【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1，
∵∠ABD＝40°，BD⊥AC，
∴∠A＝90°−40°＝50°，
∴三角形的顶角为50°；
②当为钝角三角形时，如图2，
∵∠ABD＝40°，BD⊥AC，
∴∠BAD＝90°−40°＝50°，
∵∠BAD＋∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝130°
∴三角形的顶角为130°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．
8. 如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（ ）．
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，掌握等边三角形三线合一的性质是解题关键．连接，由等边三角形的性质，得出，进而得到，即当、、三点共线时，有最小值，再利用三线合一性质，得到，即可得到的度数．
【详解】解：如图，连接，
是等边三角形，是边上的高，
是中点，即垂直平分，
，
，
即当、、三点共线时，有最小值，
点是边的中点，
，
，
∵等边中，，
∴，
∵，
∴此时，
∴．
故选：C．
9. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ）

A. 60°B. 65°C. 75°D. 80°
【答案】D
【解析】
【分析】根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC据三角形的外角性质即可求出∠ODC数，进而求出∠CDE的度数．
【详解】∵，
∴，，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
故答案为D.
【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
10. 如图，在中，，，，点，，分别在边，，上，连结，．已知点和点关于直线对称．若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，如图，连接，过点作于点，证明，利用面积法求出，再利用勾股定理即可求出．解题的关键是学会利用面积法解决问题．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，
∵点和点关于直线对称，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为．
故选：A．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 用不等式表示：“x的2倍与1的差小于3”是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据“x2倍与1的差小于3”，即可列出不等式．
【详解】解：根据题意得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列不等式，理解题意，找准数量关系是解决本题的关键．
12. 写出一个解为的一元一次不等式：__________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】只要满足解集为x＞2即可，答案不唯一，如x-2＞0，2x-4＞0等．
【详解】由不等式的性质得，2x−4>0等，答案不唯一.
故答案.
【点睛】考查不等式的性质，熟练掌握不等式的3个性质是解题的关键.
13. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．
【答案】5或
【解析】
【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论．
【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，
第三边的长为：；
②长为3、4的边都是直角边时，
第三边的长为：；
∴第三边的长为：或5，
故答案为：或5．
14. 如图，在中，是边上的高线，若，则的度数为______．
【答案】##18度
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求得，推出，再利用余角的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），….分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为_____.
【答案】（11，60，61）
【解析】
【分析】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…可得第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，进而得出（11，60，61）．
【详解】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），可得
第4组勾股数中间的数为4×（9+1）=40，即勾股数为（9，40，41）；
第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，即（11，60，61）．
故答案为：（11，60，61）．
【点睛】本题主要考查了勾股数，解题的关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理．
16. 如图，点P是在正内一点．，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接、，四边形的面积为___．
【答案】
【解析】
【分析】由旋转的性质可证是等边三角形，过点作于点，证明，得到，利用勾股定理逆定理，得出，再根据四边形求解．
【详解】解：由旋转的性质可知，，，
是等边三角形，
，，
如图，过点作于点，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，，，
，
，
，
四边形的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转和等边三角形的性质是解题关键．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17. （1）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫做格点．请你以下图中的格点为顶点画一个面积为10的正方形；
（2）请在数轴上找出表示的点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，无理数，解题的关键是能准确识图，能够构造边长为的正方形．
（1）画出边长为的正方形即可；
（2）以圆心，为半径作弧交数轴于点即可．
【详解】解：（1）如图，正方形即为所求；
其中，，
∴面积为；
（2）如图，点即为所求，其中．
18. 解下列不等式．
（1），并将解表示在数轴上；
（2）．
【答案】（1），数轴表示见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
（1）不等式移项，合并同类项，把系数化为，求出解集，表示在数轴上即可；
（2）根据解一元一次不等式的步骤去分母、去括号、移项、合并同类项系数化为1，求解即可．
【小问1详解】
解：移项得：，
合并同类项得：，
原不等式的解集是；
在数轴上表示为：
【小问2详解】
解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
解得：．
19. 把下列证明过程补充完整．
已知：如图，在中，，是边上的中线，于点E．求证：．
证明：∵，
∴ ，
∵是边上的中线，
∴ （ ）．
∴．
∴ ，
∵，
∴．
∵ ，
∴．（ ）
【答案】，，等腰三角形三线合一，，，等角的余角相等．
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一求证即可，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，
∵是边上的中线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．（等角的余角相等）
故答案为：，，等腰三角形三线合一，，，等角的余角相等．
20. 如图，已知和均为等边三角形，点在的延长线上，连结．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形，全等三角形．熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，是解决本题的关键．
（1）根据等边三角形性质推出，根据即可证明；
（2）根据（1）结论得到，根据，即得．
【小问1详解】
∵，为等边三角形，
∴，，
，，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴．
21. 已知，如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质是解答本题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形三线合一的性质，即可得到结论．
【详解】证明：如图，连接，
∵是边上的高线，
∴．
∵是边上的中线，
∴．
∵，
∴．
∵于G，
∴．
22. 如图，直角三角形纸片的两直角边，，现将直角边沿AD折叠，使它落在斜边AB上，点C与点E重合，求CD的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了翻折变换及勾股定理，由折叠的性质知，，根据题意在中运用勾股定理求，熟练掌握运用勾股定理列出方程是解决此题的关键．
【详解】∵是直角三角形，， ，
∴，
∵是翻折而成，
∴，，
设，
∴，
在中，
∵，
∴，
解得，
故的长为．
23. 概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．

理解概念：
（1）如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”；
概念应用：
（2）如图2，在中，为角平分线，，．求证：为的等角分割线；
动手操作：
（3）在中，若，是的等角分割线，请求出所有可能的的度数．
【答案】（1）与，与，与是“等角三角形”；（2）见解析；（3）或或或
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质等等，正确理解题意利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）根据垂线的定义和三角形内角和定理分别证明，即可得到结论；
（2）先利用三角形内角和定理求出，则由角平分线的性质得到，则，，可证明，再求出，得到，由此即可证明为的等角分割线；
（3）分当是等腰三角形，时，当是等腰三角形，时，当是等腰三角形，时，当是等腰三角形，时，当是等腰三角形，时，五种情况根据三角形内角和定理以及三角形外角的性质和等边对等角进行讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴与，与，与是“等角三角形”；
（2）∵在中，，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，，，，
∴为的等角分割线；

（3）当是等腰三角形，时，如图，

则，
∴；
当是等腰三角形，时，如图，

则，，
∴；
当是等腰三角形，的情况不存在；
当是等腰三角形，时，如图，

则，
∴；
当是等腰三角形，时，如图，

则，
设，则，
则，
由题意得，，
解得，，
∴，
∴，
综上所述：的度数为或或或．
24. 在中，，点D是直线上一点（不与B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
（1）如图1，当点D在线段上时，如果，则 °．
（2）设．
①如图2，当点D在线段上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由．
②当点D在直线上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出结论．
【答案】（1）
（2）①，理由见解析；②或，对应图形见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，涉及了分类讨论的思想方法，解题关键是发现全等三角形．
（1）证明，得到，再进行等量代换，最后利用三角形内角和定理即可求证；
（2）①证明，得到，再进行等量代换，最后利用三角形内角和定理即可求证；②分别讨论当点D在线段上移动时，当点D在线段的延长线上移动时，当点D在线段的反向延长线上移动时，三种情况即可．
【小问1详解】
；
理由：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
①；
理由：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②或；
当点D在线段上移动时，，证明见小问①；
当点 D在线段线的延长线上时,如图1，，
证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点D在射线的反向延长线上时,如图2，，
证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．