浙江省温州市乐清市荆山公学2024-2025学年八年级上学期数学第一次月考试题（解析版）-A4

这是一份浙江省温州市乐清市荆山公学2024-2025学年八年级上学期数学第一次月考试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

温馨提示：本试题卷分为选择题和非选择题两个部分，试题卷共4页，答题纸共4页，考试时间90分钟，总分100分．请在答题纸答题区域做答，不得超出答题区域边框线．
选择题部分
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的）
1. 下列四个数在数轴上表示的点，距离原点最近的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的意义，依题意，选项的每个数值的绝对值最小即为距离原点最近， 即可作答．
【详解】解：∵，
，
∴的位置距离原点最近，
故选：C．
2. 如图是常见的化学仪器，其中主视图与左视图不相同的是（ ）
A. 漏斗B. 烧瓶C. 试管D. 锥形瓶
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了常见几何体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键．
【详解】解：A、漏斗的左视图上部分是一个三角形，下部分是一个长方形且靠近下面有一条虚线，主视图上部分是一个长方形，下部分是一个梯形，故此选项不符合题意；
B、烧瓶的主视图与主视图都是，故此选项不符合题意；
C、试管的主视图与主视图都是，故此选项不符合题意；
D、锥形瓶的主视图与主视图都是，故此选项不符合题意；
故选：A．
3. 下列消防标志符号，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心、对称轴是解题的关键；根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可．
【详解】A．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，找不到一条对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；
C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，也可以到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意；
故选：D．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查分式的基本性质，分式加减运算，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，分式加减运算法则，本题属于基础题型．根据分式的基本性质和分式加减运算法则，逐项判断即可．
详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项正确，符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
5. 如图，一根3m长的木头斜靠在垂直于地面的墙上，当端点A离地面的高度为1m时，木头的倾斜角的余弦的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是将题目中的条件进行转化，得到所求问题需要的条件即的长．
根据题意可以求得的长度，从而可得的值．
【详解】解：由题意可知，在中，，
，
，
故答案为：A．
6. 某中学20个班参加春季植树活动，具体植树情况统计如下表
则该校班级种植树木的中位数和众数分别为（ ）
A. 47.5，7B. 50，7C. 47.5，60D. 50，60
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中位数、众数，根据中位数（数据排列后，中间位置的数，如果中间位置有两个数，则求这两个数的平均数，即为中位数）、众数（出现次数最多的数即为众数）的意义求解即可．
【详解】解：由表格可得，
中位数是，
∵60出现的次数最多，且为次
∴众数为60，
故选：D．
7. 不等式组的整数解的个数是（ ）
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集是解答本题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出答案．
【详解】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
故不等式组的解集是，
其整数解有1，2，3，4共4个，
故答案为：B．
8. 四边形具有不稳定性，教材是在平行四边形概念基础上学习矩形定义的，教材提出的情景问题是：“在这些平行四边形中，有没有一个面积最大的平行四边形”，因此通过平行四边形变形可以得到矩形．某同学将平行四边形的边与边分别绕点A、点逆时针旋转，得到矩形，若此时、、恰好共线，cm，cm，那么边扫过的面积为（ ）
A. B. C. D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
连接，，以A为圆心，的长为半径，作,以B为圆心，的长为半径，作,平行四边形的面积就是扫过的面积.
【详解】解：连接，，以A为圆心，的长为半径，作,以B为圆心，的长为半径，作,
扫过的面积为,及，围成的面积，
即平行四边形的面积就是扫过的面积.
由旋转可知，， ，
是平行四边形，
中，，
，
，
故答案为：A．
9. 如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④．其中正确的个数为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的图像与性质，逐一判断即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴交于点A、B，
∴抛物线对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，
即，故①正确；
对称轴为，
整理得4a＋b＝0，故②正确；
由图像可知，当y＞0时，即图像在x轴上方时，
x＜－2或x＞6，故③错误，
由图像可知，当x＝1时，，故④正确．
∴正确的有①②④，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质与一元二次方程的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．
10. 如图，正方形和正方形的点在同一条直线上，点为的中点，连接，则已知下列哪条线段的长度，一定能求出线段的长（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，在正方形中证明三角形全等，并运用全等的性质解题是解题的关键．连接并延长交于，根据“两直线平行，内错角相等”可得，然后利用“角边角”证明，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后根据等腰直角三角形的性质解答．
【详解】解：连接并延长交于，如下图，
∵四边形和四边形是正方形，三点在同一直线上，
∴，，，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴是中点，
∴在中，可有，
∵，，
∴，即，
即为等腰直角三角形，
所以知道的长度，可求出，一定能求出线段的长．
故选：C．
非选择题部分
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式是解题的关键．
直接运用提公因式法因式分解即可．
【详解】
故答案为：
12. 已知扇形的弧长为2πcm，半径为3cm，则该扇形的面积为_____cm2．
【答案】3π
【解析】
【分析】根据公式扇形的面积＝弧长与半径积的一半，即可得出答案．
【详解】解：∵扇形的弧长为2πcm，半径为3cm，
∴扇形的面积是（cm2），
故答案为：3π．
【点睛】本题考查的是扇形的面积，牢记扇形的面积公式是解决本题的关键．
13. 一个游戏转盘如图所示，红色扇形的圆心角为，让转盘自由转动，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率是__________．
【答案】##0.2
【解析】
【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解公式是解题的关键．由图可得红色区域所对的圆心角为，然后根据概率公式可求解．
【详解】解：由图可得：红色区域所对的圆心角为，
∴；
故答案为．
14. 若正比例函数的图象与反比例函数 的图象交于点，则的值为_________．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的对称性，待定系数法求解析式，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据反比例函数的对称性求得，，继而可求和．
【详解】解：反比例函数的图象是关于原点为对称中心的中心对称图形，
点与关于原点对称，
，，
，，
正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，，
∴，
，，
．
故答案为：10．
15. 如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛高为6cm，则像的长__________cm．
\
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用．由题意得，列出比例式，代入数据即可求解．
【详解】解：由题意得，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：3．
16. 如图，是的直径，切于点，的平分线交于点，若，，则的长为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】过点P作于点D，根据勾股定理求出，根据角平分线的性质得出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，最后求出结果即可．
【详解】解：过点P作于点D，如图所示：
∵是的直径，切于点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵的平分线交于点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
17. 在《九章算术》中描述了这样一个问题：今有客马，日行三百里．客去忘持衣，日已三分之一，主人乃觉．持衣追及，与之而还．至家视日四分之三．问：主人马不休，日行几何？翻译成现代语言是：客人的马一天能行三百里．客人早晨离去时，忘记带走自己的衣物．他走了三分之一日，主人才发觉．于是，主人拿着他的衣服骑上马去追．追上交还衣服后又立即返家，此时这一天已过去了四分之三．问：主人的马一天能跑多少里？假如主人骑马的速度不变，则主人骑马的速度为__________里/日．
【答案】780
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设主人的马的速度为x里/日，根据主人追上客人时两人行驶路程相等列方程，即可求解．
【详解】解：设主人的马的速度为x里/日，
根据题意，得，
解得，
即主人骑马的速度为780里/日．
故答案为：780．
18. 如图，在等腰中，，，点在边上运动，连接，将绕点顺时针旋转，交斜边于点．则点从点运动到点的过程中，点运动的路径长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了轨迹、相似三角形的判定和性质 、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
过点E作，再根据等腰三角形的性质得，再证明，，设，，得，整理方程得根据方程有解，得，求出y的最大值和最小值，得，根据再返回B点，即可得出结论。
【详解】过点E作，
等腰中，，
是等腰直角三角形，
且，
，
，
，
设，，则，
，
，
整理得∶ （关于x的方程有解）
，
，且，
令得，
， ，(舍去)
，
即y最小值为0，y最大值为，
，
最大值为
E点从B点出发运动至处，再
返回B点，
E点运动路径为．
故答案为：．
三、解答题（本题有5小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算；根据零指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，绝对值计算即可求解．
【详解】解：原式
20. 如图是的网格，网格边长为1，的顶点在格点上．已知的外接圆，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图（两题都要保留作图痕迹）．
（1）找出的外接圆的圆心，并求的长．
（2）在圆上找点，使得．
【答案】（1）图形见解析，；
（2）见解析．
【解析】
【分析】本题考查三角形的外接圆、弧长公式和圆的性质，
（1）根据外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点即可找到圆心；
（2）作直线平行，交圆于点D和E，得到等腰梯形，从而得到，再根据，即可得到点D即所求点．
【小问1详解】
解：如图点就是所求作的圆心，
∵半径，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图，作直线平行，交圆于点D和E，
得到等腰梯形
可得，
从而．
21. 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和对称轴．
（2）P为y轴上的一点．若点P向左平移n个单位，将与抛物线上的点P1重合；若点P向右平移2n个单位，将与抛物线上的点P2重合．已知n＞0．
①求n的值．
②若点C在抛物线上，且在直线P1P2的上方（不与点P1，P2重合），求点C纵坐标的取值范围．
【答案】（1），抛物线的对称轴为直线x=1
（2）①n=2；②
【解析】
【分析】（1）把点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，可得到抛物线解析式，再化为顶点式，即可求解；
（2）①设点P（0，p），则P1（-n，p），P2（2n，p），根据题意得，解出即可求解；②由①可得，从而得到直线P1P2为y=-5，再由当x=1时，y有最大值4，即可求解．
【小问1详解】
解：把点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1；
【小问2详解】
解：①∵点P向左平移n个单位，将与抛物线上的点P1重合；若点P向右平移2n个单位，将与抛物线上的点P2重合．
∴设点P（0，p），则P1（-n，p），P2（2n，p），
∴，
解得：n1=0，n2=2，
∵n＞0．
∴n=2；
②∵n=2，
∴，
∴，
∴直线P1P2为y=-5，
∵，
∴当x=1时，y有最大值4，
∴点C在抛物线上，且在直线P1P2的上方（不与点P1，P2重合），点C纵坐标的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象和性质，求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
22. 【作品设计】
如图1，是小明为趣味数学课设计的一个．其设计的意思是：三角形具有稳定性，表示大家学习数学的坚定信心，两个有公共顶点的三角形表示积极向上的态度；三个三角形合在一起表示合作学习的重要性．
【数学原理】
如图2，是小明设计时的数学原理图．即将两块形状相同，大小不相同的直角三角形纸片放入中，其中，圆心在直角边上．连接并延长，交于点．
【设计制作】
为参加评比，需要把作品制作出来．如果要求作品的，，那么小明觉得需要解决以下问题：
问题1：需要找多大的圆形材料．
问题2：需要知道点离开点的距离和点离开点的距离．
【问题解决】
（1）求：的半径．
（2）求证：．
（3）求的长．
【答案】（1）的半径为；
（2）见解析； （3）．
【解析】
【分析】（1）由垂径定理得，在中，由勾股定理求得．在中，由勾股定理求得，即，求解即可．
（2）先由余角性质得，再由等腰三角形的性质得，又由，即可由相似三角形的判定定理得出结论；
（3）根据，，可得，解得．在中，．再由（2）知，根据相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：，圆心在边上，
．
在中，
．
在中，
，
，解得．
的半径为．
【小问2详解】
解：，，
．
，
，
．
，
．
【小问3详解】
解：，
，
，解得．
在中，．
，
∴，
，即，
．
【点睛】本题考查垂径定理，余角的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，勾股定理．熟练掌握相关判定与性质是解题的关键．
23. 定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可折四边形”．
例：如图1，在四边形中，，则四边形是“可折四边形”．
利用上述知识解答下列问题．
（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四边形”的有：__________．
（2）在四边形中，对角线平分．
①如图1，若，，求的最小值．
②如图2，连接对角线，若刚好平分，且，求的度数．
③如图3，若，，对角线与相交于点，当，且为等腰三角形时，求四边形的面积．
【答案】（1）菱形、正方形；
（2）①的最小值是4；②；③或．
【解析】
【分析】（1）根据菱形、正方形的对角线平分一组对角可得出答案；
（2）①当，时，与最小，此时最小；利用直角 三角形性质可求解；
②过点D作交延长线于F，于P，交延长线于G，证明，，得出，从而得到平分，即可求解；
③先证明，，，四点共圆，不规则分两种情况：当时，当时，分别求解即可．
【小问1详解】
解：∵平行四边形、矩形的对角线不一定平分平行四边形、矩形的角，
∴平行四边形、矩形不一定是“可折四边形”；
∵菱形、正方形的对角线平分一组对角，
∴菱形、正方形一定是“可折四边形”；
故答案为：菱形、正方形．
【小问2详解】
解：①当，时，与最小，
∴此时最小；
∵，对角线平分．
∴
∴，
∴
答：的最小值为4；
②如图1，过点D作交延长线于F，于P，交延长线于G，
①
又平分，平分
，
②
①×2－②得
∵，，，
又平分，平分
∴，
平分
∴
③如图2
过作，，
又∵平分
∴
∵
∴
∴
∵平分
∴
∴
∴
则，，，四点共圆
∴，
当时，如图3
∴
∴
∴
∴
∴，
∵
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
．
当时，如图4
∵，
∴
∴
∵
∴同理可求得，，，
．
综上，四边形的面积为或．
植树数目
30
40
45
50
60
70
班级数目
1
4
2
5
7
1