浙江省绍兴市新昌县七星中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份浙江省绍兴市新昌县七星中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知抛物线，则它的对称轴为（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的对称轴，根据对称轴公式计算即可求解，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线，
∴它的对称轴为直线，
故选：．
2. 若的半径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与的位置关系是（ ）
A. 点A在圆上B. 点A在圆内C. 点A在圆外D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用点与圆的位置关系进而判断得出答案，点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外；假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：，点在圆内，点在圆上，点在圆外．本题主要考查了点与圆的位置关系，正确把握判定方法是解题关键．
【详解】解：∵的半径为，点A到圆心O的距离为，，
∴点A与的位置关系是点A在圆内，
故选：B．
3. 下列说法正确的是（ ）
A. “明天的降水概率为30%”是指明天下雨的可能性是30%；
B. 连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25次；
C. 连续三次掷一颗骰子都出现了奇数，则第四次出现的数一定是偶数；
D. 某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：A．“明天的降水概率为30%”是指明天下雨的可能性是30%，该选项正确；
B．连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数不一定是25次，该选项不正确；
C．连续三次掷一颗骰子都出现了奇数，则第四次出现的数不一定是偶数，也可能出现奇数，该选项不正确；
D．某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张有可能会中奖，也可能不中奖，该选项不正确；
故选A.
考点：概率统计
4. 已知扇形的圆心角为，半径为，则弧长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据扇形的弧长公式计算即可．
【详解】∵扇形的圆心角为 30° ，半径为 2cm ，
∴弧长cm
故答案为：D．
【点睛】本题主要考查扇形的弧长，熟记扇形的弧长公式是解题的关键．
5. 如图，AB为⊙O的直径，点 C、D、E均在⊙O上，且∠BED=30°，那么∠ACD的度数是（ ）．
A. 60°B. 50°C. 40°D. 30°
【答案】A
【解析】
【详解】
连接OD则∠BOD=2∠BED=60°
∴∠AOD=120°
又∵∠AOD=2∠ACD=120°
∴∠ACD=60°
故选A
6. 已知抛物线的图象如图所示，则下列选项判断正确的是（ ）

A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线开口方向向下，
∴，
∵抛物线与轴交于正半轴，
∴，
故选：．
7. 已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象与x轴有交点，得出判别式△≥0，从而解得a≥-2，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，可得a≤3，从而得出选项．
【详解】解：
∵图象与x轴有交点，
∴△=（-2a）2-4（a2-2a-4）≥0
解得a≥-2；
∵抛物线的对称轴为直线
抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，
∴a≤3，
∴实数a的取值范围是-2≤a≤3．
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．
8. 阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由的度数与的长度m确定，有序数对称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过B作轴于C，根据正六边形的性质，得到与都是含的直角三角形，根据含的直角三角形的性质先得到的长度，再得到的长度，然后根据“极坐标”的定义写出即可．
【详解】解：如图，过B作轴于C，
∵六边形是正六边形，
∴，
∴，
∴在中，，，
在中，．
∴正六边形的顶点B的极坐标应记为．
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形，坐标确定位置，主要利用了正六边形的性质，读懂题目信息，理解“极坐标”的定义是解题的关键．
9. 如图，在等边中，，分别以为直径作圆，则图中阴影部分面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，设A、E、F分别是各边中点，因为，所以，，，又据此回答即可．
【详解】解：设A、E、F分别是各边中点，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质及扇形的面积公式，能将阴影部分的面积转化为求扇形面积和等边三角形面积是解本题的关键．
10. 如图，已知正方形的边长为1，延长到，使得，延长到，使得，以同样的方式得到，连接，得到第2个正方形，再以同样方式得到第3个正方形，……，则第2020个正方形的边长为（ ）
A. 2020B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合题意分析每个正方形的边长，从而发现数字的规律求解
【详解】解：由题意可得：第1个正方形的边长为
∵
∴
∴第2个正方形的边长为
由题意，以此类推，，
∴第3个正方形的边长为
…
∴第n个正方形的边长为
∴第2020个正方形的边长为
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理及图形类规律探索，题目难度不大，正确理解题意求解每个正方形边长的规律是解题关键．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 某班有25名男生和20名女生，随机抽签确定一名学生代表，则抽到女生的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】用女生的人数除以所有学生的人数即为所求的概率．
【详解】解：抽到女生的概率为：，
故答案为：
【点睛】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12. 如图，是的圆周角，，则的度数为____．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆周角定理计算即可；
【详解】∵，
∴；
故答案是．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，准确分析计算是解题的关键．
13. 将抛物线y=x2﹣2向左平移1个单位后所得抛物线的表达式为________．
【答案】y=（x+1）2﹣2
【解析】
【分析】根据二次函数左加右减，上加下减平移规律进行解答．
【详解】由“左加右减”的原则可知，把抛物线y=x2-2向左平移1个单位，
则平移后的抛物线的表达式为y=（x+1）2-2，
故答案为y=（x+1）2-2．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键.
14. 已知半径为的中，弦，则弦AB所对的圆周角______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定与性质，在上取点，连接，，，，，，
由，得是等边三角形，则，根据圆周角定理得，再由圆内接四边形得性质得出，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，在上取点，连接，，，，，，
∵半径为的中，弦，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴弦所对的圆周角或，
故答案为：或．
15. 如图，在半径为的中，弦，为弦AB所对的优弧上一动点（不与点，重合），若，则的取值范围______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，连接，过作于点，求出，由，得，则，即，然后当三点共线时，最大，从而求出的取值范围，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：连接，过作于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
当三点共线时，最大，
∴，即，
∴，
故答案为：．
16. 如图，点A是抛物线对称轴上一动点，连接，以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到，当恰好落在抛物线上时，点A的坐标为______．
【答案】或##或
【解析】
【分析】根据抛物线对称轴解析式设点A坐标为，作轴于点，作直线，证△得、，则点坐标为，将点坐标代入抛物线解析式得到关于的方程，解之可得的值，即可得答案．
【详解】解：抛物线对称轴为直线，
设点A坐标为，
如图，作轴于点，作直线于点Q，
，
，
，
，
又，
，
在和△中，
，
△，
，，
则点坐标为，
代入得：，
解得：或，
点A坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变换旋转，全等三角形的判定与性质，函数图形上点的特征，根据全等三角形的判定与性质得出点的坐标是解题的关键．
三、解答题（本大题有8小题，第17-19小题每小题6分，第20、21每小题8分，第22，23小题每小题10分，第24小题12分，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．）
17. 根据下列条件求二次函数的表达式．
（1）图象过点，，．
（2）顶点为，过点．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（）设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，把、、代入计算即可求解；
（）设二次函数的表达式为，可得，，再把点代入计算即可求解；
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的一般式和顶点式是解题的关键．
【小问1详解】
解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，
∵图象过点，，，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：设二次函数的表达式为，
∵顶点为，
∴，，
∴，
∵过点，
∴，
∴，
∴二次函数的表达式为．
18. 如图，正方形网格的每个小正方形边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都在格点上．现将绕点按逆时针方向旋转90°得到．
（1）在正方形网格中画出．
（2）计算线段在变换到的过程中扫过区域的面积．
【答案】（1）作图见解析
（2）
【解析】
【分析】（）根据旋转的性质作图即可；
（）利用勾股定理求出，再根据扇形的面积公式计算即可求解；
本题考查了旋转作图，勾股定理，扇形面积，掌握旋转的性质和扇形的面积计算公式是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：由勾股定理可得，，
∴线段在变换到的过程中扫过区域的面积为．
19. 在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球共4个，这些球除颜色外没有其它差别．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一些统计数据：
（1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到0.1）口袋中白球有______个；
（2）经确认，实验结果中白球的个数与实际一致．若小明从4个球中先摸出一球后不放回，再从余下的球中摸出一球，请用列表或树状图的方法，求小明两次摸到的球颜色相同的概率．
【答案】（1），2
（2）
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法，利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定值左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（1）根据统计数据，当 n 很大时，摸到白球的频率接近0.5;根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.5，然后利用概率公式计算白球的个数；
（2）先利用树状图展示所有等可能的结果数，再找出两次摸到的球颜色相同的结果数，然后根据概率公式求解．
【小问1详解】
解：由题可知：当很大时，摸到白球的频率将会接近，
口袋里装有黑、白两种颜色的球共4个，摸到白球的频率为，
口袋中白球有：（个），
故答案为：；
【小问2详解】
树状图如下：
由树状图可知：共有种等可能结果，其中颜色相同的共有4种；
小明两次摸到的球颜色相同的概率为：．
20. 如图，抛物线经过点．
（1）求该抛物线顶点P的坐标
（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标；
（3）平移该二次函数的图象，使点A恰好落在点C的位置上，直接写出平移后抛物线的解析式．
【答案】（1）该抛物线顶点P的坐标为；
（2）A，B；
（3）平移后抛物线的解析式为．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线的解析式，再配成顶点式，即可求得顶点P的坐标；
（2）令，解方程，即可求解；
（3）找到平移规律，得到平移后的抛物线的坐标为，据此即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，
，
∴该抛物线顶点P的坐标为；
【小问2详解】
解：令，则，
解得，，
∴该抛物线与x轴的交点坐标A，B；
【小问3详解】
解：平移该二次函数的图象，使点A恰好落在点的位置上，
即向右平移3个单位，向上平移3个单位，
∴平移后的抛物线顶点的坐标为
∴平移后抛物线的解析式为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的性质、二次函数图象与几何变换．解题的关键是正确运用配方法对抛物线解析式进行变换处理．
21. 已知：在中，点E是直径上一点，弦过点E，且，
（1）如图1，当时，求的长
（2）如图2，当时，求的长
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，利用勾股定理求出即可解决问题．
（2）过点O作，垂足为F，连接，根据直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出，最后利用垂径定理求出即可．
【小问1详解】
解：连接，，
，
，，
，
，
，
在中，，
．
【小问2详解】
如图，过点O作，垂足为F，连接，
，
，
∴，
，
．
【点睛】此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，做此类题时要多观察，多分析，才能发现线段之间的联系．
22. 图1中窗户的上部分是由4个全等小正方形组成的大正方形，下部分是矩形，如图2．如果制作一个窗户（如图2）边框的材料总长度为，设小正方形的边长为，窗户的透光面积为．
（1）求关于的函数表达式．
（2）取何值时，透光面积最大？最大透光面积是多少？
【答案】（1）；（2）时，透光面积最大，最大透光面积是．
【解析】
【分析】（1）先表示出下部分矩形的长，然后根据矩形面积列式求解；
（2）根据二次函数的性质求最值
【详解】解：（1）下部分矩形的长．
由，得．
（2）
．
在范围内．
∴当时取到最大值，
最大值为．
答：时，透光面积最大，最大透光面积是
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．
23. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F 是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E.
⑴ 求证：AB＝AC.
⑵ 若BD＝11，DE＝2，求CD的长.
【答案】⑴ 证明见解析⑵ 7
【解析】
【详解】试题分析：（1）同弧所对圆周角相等∠BCA=∠ADB,四边形的外接圆性质，可以得∠ADF=∠ABC,利用AD平分∠BDF,可以得到AB=AC.
(2)试题解析：过A作BD的垂线于G，构造两个全等三角形，
GD＝ED,BG＝CE ,可得CD长.
试题解析：
⑴ ∵ AD平分∠BDF ，
∴ ∠ADF＝∠ADB，
∵ ∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADF＝180°，
∴ ∠ADF＝∠ABC,
∵ ∠ACB＝∠ADB,
∴ ∠ABC＝∠ACB,
∴ AB＝AC .
⑵ 过点A作AG⊥BD，垂足为点G.
∵ AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD.
∴ AG＝AE，∠AGB＝∠AEC＝90°，
在Rt△AED和Rt△AGD中,
,
∴ Rt△AED≌Rt△AGD（HL）,
∴ GD＝ED＝2,
在Rt△AEC和Rt△AGB中,
,
∴ Rt△AEC≌Rt△AGB（HL）,
∴ BG＝CE ,
∵ BD＝11,
∴ BG＝BD－GD＝11－2＝9 .
∴ CE＝BG＝9.
∴ CD＝CD－DE＝9－2＝7.
点睛：（1）题目中遇到角平分线，可以做边的垂线，构造全等三角形.
如图已知平分，过点作，，则.
（2）圆中涉及等腰三角形，内接四边形，同弧所对角，（弦切角），经常要倒角，都是做此类题型需要熟练掌握的知识点.
24. 如图，已知抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在和中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时，求点P的坐标；
（3）若的外接圆恰好经过点A，求此时点C的坐标．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）先确定出，，再分两种情况解绝对值方程即可；
（3）利用四个点在同一个圆上，得出过点，，的外接圆的圆心既是线段的垂直平分线上，也在线段的垂直平分线上，建立方程即可．
【小问1详解】
解：抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，
，，
，
抛物线解析式为；
【小问2详解】
，，
设直线解析式为，
则，解得：，
直线解析式为，
设，
，，
，
，，
①当时，
，
即：，
或（舍）或（舍），
②当时，
，
即：，
或（舍）或（舍），
即点P的坐标为：或；
【小问3详解】
直线解析式为，，，
线段的中点为，
线段的垂直平分线的解析式为，
过点，，的外接圆恰好经过点，
过点，，的外接圆的圆心既在线段的垂直平分线上，也在线段的垂直平分线上，
是直角三角形，
过点，，，的圆心是的中点，
，
，
，，
点在直线的垂直平分线上，
，
（舍）或，
此时点C的坐标为．
摸球的次数
2048
4040
10000
12000
24000
摸到白球的次数
1061
2048
4979
6019
12012
摸到白球的频率
0.518
0.5069
0.4979
05016
0.5005