初中数学人教版（2024）八年级上册13.3.2 等边三角形精品课后测评

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知识点01 等边三角形的概念与性质
等边三角形的概念：
三条边都 相等 的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的 等腰三角形 。
等边三角形的性质：如图
①等边三角形的三条边都 相等 ，三个角也 相等 ，且三个角都等于 60 °。
②等边三角形三条边都存在 三线合一 。
③等边三角形是一个 轴对称 图形，它有 3 条对称轴，对称轴的交点叫做中心。
题型考点：①等边三角形的性质求角度与线段。
【即学即练1】
1．如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠3＝∠1＝40°，
在等边△ABC中，∠A＝60°，
∴∠2＝180°﹣∠A﹣∠3＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
故选：A．
【即学即练2】
2．如图：等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（ ）
A．45°B．55°C．60°D．75°
【解答】解：∵等边△ABC，
∴∠ABD＝∠C，AB＝BC，
在△ABD与△BCE中，，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠ABE+∠EBC＝60°，
∴∠ABE+∠BAD＝60°，
∴∠APE＝∠ABE+∠BAD＝60°，
∴∠APE＝60°．
故选：C．
【即学即练3】
3．如图，△ABC中，AD为角平分线，若∠B＝∠C＝60°，AB＝8，则CD的长度为 4 ．
【解答】解∵∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵AB＝8，
∴BC＝AB＝8，
∵AD为角平分线，
∴BD＝CD，
∴CD＝4，
故答案为：4．
【即学即练4】
4．如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为 2 ．
【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP＝PF＝AF，
∵PE⊥AC，
∴AE＝EF，
∵AP＝PF，AP＝CQ，
∴PF＝CQ．
∵在△PFD和△QCD中，
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD＝CD，
∵AE＝EF，
∴EF+FD＝AE+CD，
∴AE+CD＝DE＝AC，
∵AC＝4，
∴DE＝．
故答案为：2．
知识点02 含30°角的直角三角形
30°角所对的直角边与斜边的关系：
30°角所对的直角边等于斜边的 一半 。证明如下：
如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC。证明BD＝
∵△ABC是等边三角形
∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝ 60° 。
∵AD⊥BC
∴AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD＝ 30°
BD＝CD＝ BC
∴BD＝ AB。
题型考点：含30°角的直角三角形的性质。
【即学即练1】
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，则CD等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD＝∠A＝30°，
∴BD＝AD＝6，
∴CD＝BD＝6×＝3．
故选：A．
【即学即练2】
6．若等腰三角形的一腰长为a，底角为15°，则这个等腰三角形腰上的高为（ ）
A．2aB．aC．aD．与a无关
【解答】解：如图∠B＝15°，AB＝AC，CD为腰AB上的高，AB＝AC＝a，
∴∠ACB＝∠B＝15°，
∴∠DAC＝∠B+∠ACB＝30°，
∵CD为AB上的高，
∴CD＝AC＝a．
故选：C．
【即学即练3】
7．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为 2 ．
【解答】解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE，
∵PC∥OA，
∴∠CPO＝∠POD，
又∠AOP＝∠BOP＝15°，
∴∠CPO＝∠BOP＝15°，
又∠ECP为△OCP的外角，
∴∠ECP＝∠COP+∠CPO＝30°，
在直角三角形CEP中，∠ECP＝30°，PC＝4，
∴PE＝PC＝2，
则PD＝PE＝2．
故答案为：2．
知识点03 等边三角形的判定
等边三角形的判定：
①定义判定：三条边都 相等 的三角形是等边三角形。
②判定定理1：三个角 相等 的三角形是等边三角形。或有两个角是 60° 的三角形是等边三角形。
③判定定理2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。
题型考点：等边三角形判定证明。
【即学即练1】
8．下列三角形：
①有两个角等于60°；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④
【解答】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；
②这是等边三角形的判定2，故正确；
③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；
④根据线段的垂直平分线的性质．可以证明三边相等，故正确．
所以都正确．
故选：D．
【即学即练2】
9．已知，如图，∠B＝∠C，AB∥DE，EC＝ED，求证：△DEC为等边三角形．
【解答】证明：∵∠B＝∠C，AB∥DE，
∴∠DEC＝∠C，
∵EC＝ED，
∴∠C＝∠EDC，
∴∠DEC＝∠C＝∠EDC＝60°，
∴△DEC为等边三角形．
【即学即练3】
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且DE＝DC．求证：△CEB为等边三角形．
【解答】证明：∵CE⊥AB于点D，且DE＝DC，
∴BC＝BE，
∵AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，
∴∠ECB＝60°，
∴△CEB为等边三角形．
【即学即练4】
11．在△ABC中，已知AB＝AC，BE是角平分线．
（1）若BE＝AE，求证：∠ABC＝2∠A；
（2）若BE⊥AC，求证：△ABC为等边三角形．
【解答】（1）证明：如图所示．
∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2＝∠ABC．
∵BE＝AE，
∴∠A＝∠1，∠A＝∠ABC，
∴∠ABC＝2∠A．
（2）解：如图，
∵∠1＝∠2＝∠ABC，
又∵BE⊥AC，
∴∠BEA＝∠BEC＝90°．
又BE＝BE，
∴△BEA≌△BEC，
∴AB＝BC．
∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC为等边三角形．
题型01 等边三角形的性质计算长度
【典例1】
如图，CD是等边△ABC的中线，DE⊥AC，垂足为点E．若DE的长度为3cm，则点D到BC的距离为 3 cm．
【解答】解：过点D作DF⊥BC，垂足为F，
∵CD是等边△ABC的中线，
∴CD平分∠ACB，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF＝3cm，
∴点D到BC的距离为3cm，
故答案为：3．
【典例2】
如图，将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△A′B′C′，则B′C的长度为 1 ．
【解答】解：由平移得，BB'＝3，
在等边三角形ABC中，BC＝4，
∴B'C＝BC﹣BB'＝4﹣3＝1，
故答案为：1．
【典例3】
如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（ ）
A．3B．4.5C．6D．7.5
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE＝30°，
∵EC＝1.5，
∴CD＝2EC＝3，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴AD＝CD＝3，
∴AB＝AC＝AD+CD＝6．
故选：C．
【典例4】
如图，等边三角形ABC是一块边长为20m的草坪，点P是草坪内的任意一点，过点P有三条小路PD，PE，PF，且满足PE∥AB，PF∥BC，PD∥AC，则三条小路的总长度为（ ）
A．10mB．10mC．20 mD．20m
【解答】解：延长FP交AB于点G，如图所示：
在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵PD∥AC，
∴∠PDG＝∠A＝60°，
∵PF∥BC，
∴∠PGD＝∠B＝60°，∠AFG＝∠C＝60°，
∴∠DPG＝60°，
∴△DPG是等边三角形，
∴DP＝GP，
∵∠A＝∠DGP＝∠AFG＝60°，
∴△AGF是等边三角形，
∴GF＝AG，
∵PE∥AB，PF∥BC，
∴四边形GBEP是平行四边形，
∴PE＝GB，
∴PE+PF+PD＝BG+AG＝AB，
∵等边三角形ABC是一块边长为20m的草坪，
∴AB＝20m，
∴PE+PF+PD＝20m，
故选：C．
题型02 等边三角形的性质计算角度
【典例1】
等边三角形一个内角的平分线与一个外角的平分线相交所成的锐角是 30 度．
【解答】解：如图：△ABC是等边三角形，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝120°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABC＝30°，
∵CF平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ACD＝60°，
∴∠E＝180°﹣∠CBE﹣∠ACB﹣∠ACE＝180°﹣30°﹣60°﹣60°＝30°．
∴等边三角形一个内角的平分线与一个外角的平分线相交所成的锐角是30°．
故答案为：30．
【典例2】
如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（ ）
A．25°B．20°C．15°D．7.5°
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°．
∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，
∴∠CGD+∠CDG＝60°．
∵CG＝CD，
∴∠CGD＝∠CDG＝30°．
∵∠CDG＝∠DFE+∠E，
∴∠DFE+∠E＝30°．
∵DF＝DE，
∴∠E＝∠DFE＝15°．
故选：C．
【典例3】
在△ABC中，点D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，则∠BAC的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【解答】解：∵点D，E是BC的三等分点，
∴BD＝DE＝CE，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE＝DE，∠ADE＝∠AED＝∠DAE＝60°，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠ADE＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠CAE，
∴∠BAD＝30°，∠CAE＝30°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAE+∠CAE＝30°+60°+30°＝120°，
故选：C．
【典例4】
如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，在△ABC外部分别作等边三角形ADB和等边三角形ACE．若∠DAE＝∠DBC，求△ABC三个内角的度数．
【解答】解：∵△ADB和△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB＝∠CAE＝∠DBA＝60°，
∴∠DAE＝∠DAB+∠BAC+∠CAE
＝60°+∠BAC+60°
＝120°+∠BAC，
∠DBC＝∠DBA+∠ABC
＝60°+∠ABC，
∵∠DAE＝∠DBC，
∴120°+∠BAC＝60°+∠ABC，
即：∠ABC＝60°+∠BAC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°+∠BAC，
设∠BAC＝x°，
∵∠BAC+2∠ABC＝180°，
∴x+2（x+60）＝180，
解得x＝20，
∴∠BAC＝20°，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°+∠BAC＝60°+20°＝80°．
∴△ABC三个内角的度数分别为20°，80°，80°．
题型03 含30°角的直角三角形的计算
【典例1】
如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，且AB＝6，则BC＝（ ）
A．3B．4C．6D．不确定
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠A＝30°，且AB＝6，
∴BC＝AB＝3，
故选：A．
【典例2】
如图，在Rt△ABC中，已知，∠ACB＝90°，∠B＝15°，AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D，且BD＝13cm，则AC的长是（ ）
A．13cmB．6.5cmC．30cmD．6cm
【解答】解；∵AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D（已知）
∴AD＝BD（线段垂直平分线的性质）
∴∠DAE＝∠B＝15°且AD＝BD＝13cm（等腰三角形的性质）
∴∠ADC＝30°（外角性质）
∴AC＝AD＝6.5cm．
故选：B．
【典例3】
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC上，AB⊥AD，AD＝2cm，则BC的长为（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AB⊥AD，AD＝2m，
∴BD＝2AD＝4m，∠ADB＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴∠DAC＝∠C，
∴AD＝CD＝2m，
∴BC＝BD+CD＝6cm，
故选：C．
【典例4】
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ）
A．1.5cmB．2cmC．2.5cmD．3cm
【解答】解：连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，
∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，
∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD＝3cm，
∴AB＝＝2cm＝AC，
∵AB的垂直平分线EM，
∴BE＝AB＝cm
同理CF＝cm，
∴BM＝＝2cm，
同理CN＝2cm，
∴MN＝BC﹣BM﹣CN＝2cm，
故选：B．
题型04 等边三角形的判定
【典例1】
下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝∠CB．AB＝AC，∠B＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝60°D．AB＝AC，且∠B＝∠C
【解答】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
【典例2】
已知：在△ABC中，∠A＝60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：
①如果添加条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形；
②如果添加条件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等边三角形；
③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．
上述说法中，正确的有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【解答】解：①若添加的条件为AB＝AC，由∠A＝60°，
利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形；
②若添加条件为∠B＝∠C，
又∵∠A＝60°，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠A＝∠B＝∠C，
则△ABC为等边三角形；
③若添加的条件为边AB、BC上的高相等，如图所示：
已知：∠BAC＝60°，AE⊥BC，CD⊥AB，且AE＝CD，
求证：△ABC为等边三角形．
证明：∵AE⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠AEC＝90°，
在Rt△ADC和Rt△CEA中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），
∴∠ACE＝∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，
∴AB＝AC＝BC，即△ABC为等边三角形，
方法2：根据面积公式，高相等得到边相等，即AB＝BC，
在△ABC中，∠A＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
综上，正确的说法有3个．
故选：A．
【典例3】
如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．
【解答】证明：∵D为AB的中点，
∴AD＝BD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠AED＝∠BFD＝90°．
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），
∴∠A＝∠B，
∴CA＝CB，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC
∴△ABC是等边三角形．
【典例4】
如图，△ABC中，D为AC边上一点，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F，且CD＝CF．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当∠F＝ 30 度时，△ABC是等边三角形？请证明你的结论．
【解答】（1）证明：∵CD＝CF，
∴∠F＝∠CDF，
∵∠ADE＝∠CDF，
∴∠F＝∠ADE，
∵DE⊥AB，
∴∠F+∠B＝90°，∠ADE+∠A＝90°，
∴∠B＝∠A，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：当∠F＝30度时，△ABC是等边三角形，理由如下：
∵DE⊥AB，
∴∠B+∠F＝90°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
由（1）知△ABC是等腰三角形，
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：30．
【典例5】
在边长为9的等边三角形ABC中，点P是AB上一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，设运动时间为t秒．
（1）如图1，若点Q是BC上一定点，BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；
（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？
【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，
∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，
又∠B＝60°，
∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，
∴△BPQ是等边三角形，
∴BP＝BQ，
由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t，
∴9﹣t＝6，
解得：t＝3，
∴当t的值为3时，PQ∥AC；
（2）如图2，①当点Q在边BC上时，
此时△APQ不可能为等边三角形；
②当点Q在边AC上时，
若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ，
由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，
∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t，
即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，
∴当t＝6时，△APQ为等边三角形．
题型05 等边三角形的判定与性质
【典例1】
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，交AB、BC于点D、E连接CD、AE．求证：
（1）△ADC是等边三角形；
（2）点E在线段CD的垂直平分线上．
【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴，
∴AD＝AC，
∴△ADC是等边三角形；
（2）证明：DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，DE⊥AB，
∴∠EAB＝∠B＝30°，则∠EAC＝∠BAC﹣∠EAB＝30°，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴AE平分∠BAC，
∵DE⊥AB，AC⊥BC，
∴DE＝DC，
∵△ADC是等边三角形，
∴AD＝AC，
∴点E在线段CD的垂直平分线上．
【典例2】
已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．
（1）求证：AN＝BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形．
【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，
∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
∵，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN＝BM．
（2）∵△CAN≌△CMB，
∴∠CAN＝∠CMB，
又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠MCF＝∠ACE，
在△CAE和△CMF中，
∵，
∴△CAE≌△CMF（ASA），
∴CE＝CF，
∴△CEF为等腰三角形，
又∵∠ECF＝60°，
∴△CEF为等边三角形．
【典例3】
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；
（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；
（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：如图1所示：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，BC＝．
∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠DBA＝∠A＝30°．
∴DA＝DB．
∵DE⊥AB于点E．
∴AE＝BE＝．
∴BC＝BE．
∴△EBC是等边三角形；
（2）结论：AD＝DG+DM．
证明：
如图2所示：延长ED使得DW＝DM，连接MW，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，
又∵DM＝DW，
∴△WDM是等边三角形，
∴MW＝DM，
在△WGM和△DBM中，
∵
∴△WGM≌△DBM，
∴BD＝WG＝DG+DM，
∴AD＝DG+DM．
（3）结论：AD＝DG﹣DN．
证明：延长BD至H，使得DH＝DN．
由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．
∵DE⊥AB于点E．
∴∠2＝∠3＝60°．
∴∠4＝∠5＝60°．
∴△NDH是等边三角形．
∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．
∴∠H＝∠2．
∵∠BNG＝60°，
∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．
即∠DNG＝∠HNB．
在△DNG和△HNB中，
∴△DNG≌△HNB（ASA）．
∴DG＝HB．
∵HB＝HD+DB＝ND+AD，
∴DG＝ND+AD．
∴AD＝DG﹣ND．
【典例4】
如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
解：
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【典例5】
已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．
【解答】解：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE．
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵等边三角形DCE，
∴∠CED＝∠CDE＝60°，
∴∠ADE+∠BED＝∠ADC+∠CDE+∠BED，
＝∠ADC+60°+∠BED，
＝∠CED+60°，
＝60°+60°，
＝120°，
∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°，
答：∠DOE的度数是60°．
（3）证明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AM＝AD，BN＝BE，
∴AM＝BN，
在△ACM和△BCN中
，
∴△ACM≌△BCN，
∴CM＝CN，
∠ACM＝∠BCN，
又∠ACB＝60°，
∴∠ACM+∠MCB＝60°，
∴∠BCN+∠MCB＝60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△MNC是等边三角形．
1．如图，直线m∥n，等边△ABC的顶点B在直线n上，∠2＝35°，则∠1的度数为（ ）
A．40°B．25°C．30°D．35°
【解答】解：过点C作DE∥m，
∵DE∥m，m∥n，
∴DE∥n，
∴∠DCB＝∠1，
∵DE∥m，
∴∠ACD＝∠2＝35°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣35°＝25°，
∴∠1＝∠DCB＝25°，
故选：B．
2．下列对△ABC的判断，不正确的是（ ）
A．若AB＝AC，∠C＝60°，则△ABC是等边三角形
B．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
C．若∠A＝50°，∠B＝80°，则△ABC是等腰三角形
D．若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝40°
【解答】解：A、若AB＝AC，∠C＝60°，则△ABC是等边三角形，说法正确，不符合题意；
B、若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形，说法正确，不符合题意；
C、若∠A＝50°，∠B＝80°，可得∠C＝50°，则△ABC是等腰三角形，说法正确，不符合题意；
D、若AB＝BC，∠C＝40°，则∠A＝40°，说法错误，符合题意；
故选：D．
3．老师设计了“谁是卧底”游戏，用合作的方式描述下面的题目：
“如图，在△ABC中，∠C＝30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于E；点O在ED上，OA＝OB，OD＝2，OE＝4”，
甲说：CE＝12；
乙说：CB＝20；
丙说：△AOB为等边三角形；
丁说：过点O作OF⊥CB，可以求出BF＝10．
若四个描述中，只有“卧底”的描述是错误的．则“卧底”是（ ）​
A．甲B．乙
C．丙D．四个人都不是卧底
【解答】解：连接OC，作OF⊥BC于点F，
由题意得：DE＝OD+OE＝6，
在Rt△CDE中，∠DCE＝30°，
∴CE＝2DE＝12，∠OEF＝60°，所以甲对；
∵AD＝DC，ED⊥AC，
∴OA＝OC，
∵OA＝OB，
∴OB＝OC，
∵OF⊥BC，
∴CF＝FB，
在Rt△OFE中，∠OEF＝60°，
∴∠EOF＝30°，
∴EF＝OE＝2，
∴CF＝CE﹣EF＝10，
∴CB＝20，所以乙对；
∴BE＝20﹣12＝8，
∴BF＝BC＝10，所以丁对；
在Rt△CDE中，CE＝12，DE＝6，由勾股定理可得CD＝6，
∴AC＝2CD＝12，
过B作BM⊥AC于M点，
∵∠C＝30°，BC＝20，
∴BM＝BC＝10，CM＝BM＝10，
∴AM＝AC﹣CM＝2，
在Rt△ABM中，
由勾股定理可得：AB＝＝4，
在Rt△COD中，CD＝6，OD＝2，
由勾股定理可得：CO＝＝4，
∴CO＝OA＝OB＝4，
∴AB＝AO＝OB，
∴△AOB为等边三角形，丙对，
故四人都不是卧底，
所以D选项说法正确，
故选：D．
4．如图，等边三角形纸片ABC的边长为8，点E，F是BC边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（ ）
​
A．3B．C．6D．8
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且边长为8．
∴∠B＝∠C＝60°，BC＝8，
∵点E，F是BC边的三等分点，
∴，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴，
∴△DEF的周长是：DE+DF+EF＝3EF＝3×＝8．
故选：D．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，则AD的长为（ ）
A．1.5B．2C．3D．4
【解答】解：∵∠DBC＝60°，∠C＝90°，
∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°，
∴BD＝2BC＝2×1＝2，
∵∠C＝90°，∠A＝15°，
∴∠ABC＝90°﹣15°＝75°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝75°﹣60°＝15°，
∴∠ABD＝∠A，
∴AD＝BD＝2．
故选：B．
6．如图，∠ABC＝60°，AB＝6，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线l运动，设点P的运动时间为t秒（t＞0），当△ABP为锐角三角形时，t的取值范围是（ ）
A．t＞3B．t＞6C．6＜t＜12D．3＜t＜12
【解答】解：分两种情况：
当∠APB＝90°，如图：
在Rt△ABP中，∠ABC＝60°，AB＝6，
∴，
当∠BAP＝90°，如图：
在Rt△ABP中，∠ABC＝60°，AB＝6，
∴BP＝2AB＝2×6＝12，
∴当3＜BP＜12时，△ABP为锐角三角形，
∴3＜t＜12，
故选：D．
7．如图，△ABC中，AB＝5，BC＝7，∠B＝60°，现将△ABC沿着射线BC的方向平移2个单位得到△A1B1C1，则△A1B1C的周长是​（ ）
A．15B．21C．17D．19
【解答】解：∵AB＝5，BC＝7，∠B＝60°，将△ABC沿着射线BC的方向平移2个单位得到△A1B1C1，
∴B1C＝BC﹣2＝7﹣2＝5，AB＝AB1＝5，∠A1B1C＝∠B＝60°，
∴A1B1＝B1C，
∴△A1B1C是等边三角形，
∴△A1B1C的周长是：A1B1+B1C+CA1＝5+5+5＝15，
故选：A．
8．如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，连接FH．给出下列结论：①△ACD≌△BCE；②∠AGB＝60°；③BF＝AH；④△CFH是等边三角形．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵△ABC和△DCE是等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，AC＝BC，CE＝CD，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），故①正确；
∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF＝∠CAH．
∵∠BFC＝∠AFG，
∴∠AGB＝∠ACB＝60°，故②正确；
在△BCF和△ACH中，
，
∴△BCF≌△ACH（ASA），
∴CF＝CH，BF＝AH；故③正确；
∵CF＝CH，∠ACH＝60°，
∴△CFH是等边三角形；故④正确．
故选：D．
9．如图，木工师傅从边长为30cm的正三角形ABC木板上锯出一正六边形木板，那么正六边形木板的边长为 10 cm．
【解答】解：图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长，
所以正六边形的周长是正三角形的周长的，正六边形的周长为30×3×＝60cm，
所以正六边形的边长是60÷6＝10（cm）．
故答案为：10．
10．如图，已知∠ABC＝60°，DB＝12，DE＝DF，若EF＝2，则BE＝ 5 ．
【解答】解：过点D作DG⊥BC，垂足为G．
∵DE＝DF，DG⊥BC，EF＝2，
∴．
在Rt△DBG中，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BDG＝30°．
∵DB＝12，
∴．
∴BE＝BG﹣EG＝6﹣1＝5．
故答案为：5．
11．如图，∠AOB＝60°，点C是BO延长线上的一点，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝ 6 s时，△POQ是等边三角形．
【解答】解：点P、Q运动的是ts，由题意得：
t＝2t﹣6，
解得t＝6，
即当P、Q运动的是6s时，△POQ是等边三角形．
故答案为：6．
12．如图，已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′、EB′分别交边AC于点F、G，若∠ADF＝80°，则∠GEC的度数为 40° ．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
由翻折可得∠B′＝∠B＝60°，
∴∠A＝∠B′＝60°，
∵∠AFD＝∠GFB′，
∴△ADF∽△B′GF，
∴∠ADF＝∠B′GF，
∵∠EGC＝∠FGB′，
∴∠EGC＝∠ADF＝80°，
∴∠CEG＝180°﹣∠C﹣∠CGE＝180°﹣60°﹣80°＝40°．
故答案为：40°
13．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．
（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数；
（2）已知△ADE的周长7cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为15cm，求OA的长．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠ABC＝30°，
同理，EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ACB＝40°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝110°﹣30°﹣40°＝40°；
（2）连接OA，OB，OC，
∵△ADE的周长7cm
∴AD+DE+EA＝7（cm），
∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝7（cm）；
∵△OBC的周长为15，
∴OB+OC+BC＝15，
∵BC＝7，
∴OB+OC＝8，
∵OM垂直平分AB，
∴OA＝OB，
同理，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC＝4（cm）．
14．如图，在等边△ABC中，AC＝12cm，点M以2cm/s的速度从点B出发向点A运动（不与点A重合），点N以3cm/s的速度从点C出发向点B运动（不与点B重合），设点M，N同时运动，运动时间为ts．
（1）在点M，N运动过程中，经过几秒时△BMN为等边三角形？
（2）在点M，N运动过程中，△BMN的形状能否为直角三角形，若能，请计算运动时间t；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得：BM＝2t，BN＝12﹣3t．
则当BM＝BN时，△BMN是等边三角形．
∴2t＝12﹣3t．
解得：t＝．
∴经过s时△BMN为等边三角形；
（2）分两种情况：
①如图1，当∠BMN＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BNM＝30°．
∴．
∴．
∴．
②如图2，当∠BNM＝90°时，∠BMN＝30°．
∴．
∴．
∴t＝3．
∴在点M，N运动过程中，当运动时间或t＝3s时，△BMN为直角三角形．
15．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE ＝ DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE ＝ DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
则AE＝DB；
（3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形，
如图所示，同理可得△DBE≌△CFE，
∵AB＝1，AE＝2，
∴BE＝1，
∵DB＝FC＝FB+BC＝2，
则CD＝BC+DB＝3．
故答案为：（1）＝；（2）＝
课程标准
学习目标
①等边三角形的概念与性质
②等边三角形的判定
③含30°角的直角三角形
掌握等边三角形的性质并能够对其熟练应用。
掌握等边三角形的判定方法，能够运用已知条件熟练判定等腰三角形。
掌握含30°角的直角三角形的性质并对其熟练应用。