2025年中考数学臻选专题圆（原卷版）-A4

这是一份2025年中考数学臻选专题圆（原卷版）-A4，共7页。试卷主要包含了理解圆的基本概念，运用圆的性质和公式，构造模型解决实际问题等内容，欢迎下载使用。

1、理解圆的基本概念
圆的定义与性质：了解圆的定义，掌握圆的半径、直径、周长和面积的计算公式。熟悉圆的对称性，即圆关于其直径对称，以及垂径定理。
圆的位置关系：掌握圆与直线的位置关系，包括相切、相交和相离的情况。了解切线的性质和判定方法。
2、运用圆的性质和公式
圆周角定理：圆周角定理及其推论是解决圆相关问题的重要工具。例如，直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等。
弦切角定理：弦切角定理表明，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角的一半。这一定理在解决弦切角问题时非常有用。
3、构造模型解决实际问题
辅助线的运用：在解决圆的问题时，构造适当的辅助线是一个有效的策略。通过添加辅助线，可以将复杂的问题转化为简单的三角形问题。
特殊四边形的应用：圆的综合题常常与特殊四边形如正方形、矩形、菱形等结合。利用这些特殊四边形的性质，可以简化问题的求解过程。
臻选专题
一、单选题
1．战国时期的著作《墨经》中“……，一中同长也”描述的图形是（ ）
A．等边三角形B．正方形C．正六边形D．圆
2．习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ）．

A．B．C．D．
3．如图，为的两条弦，连接，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．平分弦的直线垂直于弦B．两个长度相等的弧是等弧
C．相等的圆心角所对的弧相等D．的圆周角所对的弦是直径
5．如图，的直径AB与弦DE交于点，且，若所对的圆心角的度数为，则所对的圆心角的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果可能是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，是直径，点、在圆上且，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（ ）

A．B．C．6D．
10．如图，矩形中，，，动点分别从点同时出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿向终点运动，过点作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（ ）
A．B．C．5D．3
二、填空题
11．如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．

12．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 寸．
13．如图，边长为1的正六边形内接于，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
14．如图， 在中， 直径，， 点P 为弦上一点， 点Q在上，．
（1） 若， 则 ；
（2）点P在上移动时，长的最大值为 ．
三、解答题
15．的顶点都在正方形网格格点上，如图所示，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图．

(1)将绕点顺时针方向旋转得到（点对应点），画出．
(2)请找出过，，三点的圆的圆心，标明圆心的位置．
16．如图，在中，，求∠2的度数．
17．如图，在中，C，D分别是半径，的中点，求证：．
18．如图，点为上的三个点，连接，延长交于点，，若，求的度数．
19．如图，在给定的圆上依次取点，，，，连结，，，设，交于点．
(1)求证：．
(2)若，，求的度数．
20．如图，在中，，点D，E在上，．过A，D，E三点作，连接并延长，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，求的半径长．
21．如图，是的直径，弦于点，连接，

(1)求证：．
(2)作于点，若的半径为，，求的长．
22．如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，．
(1)求证：与相切；
(2)若，求的长．
23．【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面．喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
【探索发现】
（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率______．
（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；，以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求关于的函数表达式，并求当取得最小值时的值．
【问题解决】
（4）该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率？（直接写出结果即可）