湖南省衡阳市第八中学教育集团2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份湖南省衡阳市第八中学教育集团2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

同学们：数学的海洋广阔无垠，承载着你的想象，指引着你的未来．用数学思维，解锁世界的美好吧！
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列实数中是无理数的是（ ）
A. 3.14B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据算术平方根、无理数的定义即可得．
【详解】A、是有限小数，属于有理数，此项不符题意；
B、，是有理数，此项不符题意；
C、是无理数，此项符合题意；
D、是分数，属于有理数，此项不符题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根、无理数，熟记定义是解题关键．
2. 9的算术平方根是（ ）
A. 81B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了算术平方根．根据算术平方根的概念求解．
【详解】解：∵，
∴9的算术平方根是3，
故选：B．
3. 下列计算正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方，根据以上运算法则逐项分析即可．
【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意；
B、，故该选项正确，符合题意；
C、，故该选项不正确，不符合题意；
D、，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
4. 下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平方根和立方根的概念，正确理解平方根和立方根的概念是解答本题的关键．“如果，则x叫做a的平方根，记作，叫做a的算术平方根．”“如果，则x叫做a的立方根，记作．”，根据概念即可解答本题．
【详解】选项A，表示9的算术平方根， ，所以该选项不正确，不符合题意；
选项B，表示的立方根，，所以该选项正确，符合题意；
选项C，表示16的平方根，，所以该选项不正确，不符合题意；
选项D，表示的算术平方根，，所以该选项不正确，不符合题意．
故选：B．
5. 下列能用平方差公式计算的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方差公式的特点即可求解.
【详解】A. =，不符合题意；
B. =，符合题意；
C. =，不能使用平方差公式，故错误；
D. 不能使用平方差公式，故错误；
故选B.
【点睛】此题主要考查平方差公式，解题的关键是熟知平方差公式适用的特点.
6. 下列说法中，不正确的个数是（ ）
①实数包括有理数、无理数和零；②有理数和数轴上的点一一对应；③所有无理数都是无限不循环小数；④；⑤平方根与立方根都等于它本身的数为和．
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了实数的概念和分类，实数与数轴关系，无理数，完全平方公式，平方根和立方根的性质，根据实数的概念和分类，实数与数轴关系，无理数的定义，完全平方公式，平方根和立方根的性质分别判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：①实数包括有理数和无理数，属于有理数，该选项说法错误；
②实数和数轴上的点一一对应，该选项说法错误；
③所有无理数都是无限不循环小数，该选项说法正确；
④，该选项说法错误；
⑤平方根与立方根都等于它本身的数为，该选项说法错误；
∴不正确的个数有个，
故选：．
7. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂运算的性质，及它们的指数相同，只需比较它们的底数的大小，底数大的就大，即可得出答案．
【详解】解：，，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】此题要熟练运用幂运算的性质把它们变成相同的指数，然后根据底数的大小比较两个数的大小．
8. 已知：，计算：的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后将已知等式代入计算即可求出值．
【详解】∵，，
∴
，
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9. 加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算的运算法则是解题关键．先根据题意算出这个多项式，再与相加即可．
【详解】解：由题意可知，这个多项式为：，
正确的计算结果是：，
故选：B．
10. 我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
① ②

③ ④
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．
【详解】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，
故选：．
【点睛】本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11. 在，，，四个实数中，最小的是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数比较大小，掌握实数比较大小的方法是解题的关键，根据负数小于零，零小于正数，负数小于正数的方法即可求解．
【详解】解：，
最小是，
故答案为：．
12. 若实数x，y满足，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性得到，代入即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查绝对值和算术平方根的非负性，熟练掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的关键．
13. 如果是一个完全平方式，那么k的值是________；
【答案】9
【解析】
【分析】求出，再根据完全平方式得出，再求出k即可．
【详解】解：，
∵是一个完全平方式，
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：和．
14. 计算的结果为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查单项式的乘法，熟练掌握单项式的乘法法则：系数乘系数，相同字母按照同底数幂的乘法进行计算，只在一个单项式中出现的字母连同指数写在积里，作为积的一个因式，是解题的关键．利用单项式乘单项式的法则，进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
15. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式以及平方差公式因式分解，即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
16. 若，，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的除法，解题的关键是掌握同底数幂的除法法则．根据同底数幂的除法可得，再代入值计算即可．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17. 若的乘积中不含项，则常数的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的有关性质、多项式乘多项式，令项的系数为得到关于的方程是解题的关键．利用多项式乘多项式的法则运算并合并同类项，再项的系数为得到关于的方程求解即可．
【详解】解：
的乘积中不含项，
，
解得：，
故答案为：．
18. 我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如下所示，它给出了（为非负整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如：
请利用以上规律求出的展开式中的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，数字规律，读懂题意并根据所给的式子寻找规律是解题的关键．根据题中的规律将展开，即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题每题10分，共66分）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算．熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．先进行乘方，开方和去绝对值运算，再进行加减运算．
【详解】解：
20. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了整式混合运算——化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．先计算乘法，再合并同类项，然后把，代入，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
其中，，
原式．
21. 已知的立方根是2，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】本题考查立方根、算术平方根和平方根的定义，无理数的估算．掌握其基本知识点是解题的关键．
（1）利用立方根的定义、算术平方根的定义求出a、b的值，利用无理数的估算方法求出c的值．
（2）将a、b、c的值代入代数式求值后，进一步求得平方根即可．
【小问1详解】
∵的立方根是2，的算术平方根是4，
∴，
解得，
∵，即，c是的整数部分，
∴．
【小问2详解】
由（1）可知，，，
∴，
∴平方根是．
22. 当地时间5月6日，“从北京到巴黎——中法艺术家奥林匹克行”中国艺术大展在巴黎举办．苏绣作品《荷娇欲语》亮相巴黎，向世人展示东方美学的韵味．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为．
（1）求绣布的周长；
（2）刺绣师傅想用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由（π取3）
【答案】（1）
（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，实数的大小比较；
（1）设绣布的长为(3x)，宽为(2x)，由长方形的面积即可求解；
（2）设完整的圆形绣布的半径为r，由圆的面积得，进行估算比较大小，即可求解；
会利用算术平方根求解，实数的大小比较是的解题的关键．
【小问1详解】
解：设绣布的长为(3x)，宽为(2x)，
根据题意，得，
即，
∴，
∵，
∴．
∴，．
∴绣布的长为24，宽为16．
周长为；
【小问2详解】
解：不能够裁出来．
理由如下：设完整的圆形绣布的半径为r，
由题意，得，
∵π取3，
∴，
解得（负值已舍去），
∵，
∴．
∴不能够裁出来．
23. 规定，如：．
（1）若，求x的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是新定义运算的含义，同底数幂的含义，积的乘方的含义，理解新定义运算的含义是解本题的关键；
（1）由新定义运算可得，再建立方程求解即可；
（2）由新定义运算可得计算化，再求解即可；
【小问1详解】
解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
解得：；
【小问2详解】
∵，
∴
．
24. 阅读并解决问题：分解因式．
解：设，则原式．
这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．请用“换元法”对下列多项式进行因式分解：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了换元法、公式法进行因式分解，多项式乘多项式．熟练掌握换元法、公式法进行因式分解是解题的关键．
（1）利用换元法、公式法进行因式分解即可；
（2）先换元，然后多项式乘多项式，最后利用公式法进行因式分解即可．
【小问1详解】
解：，
设，则原式，
∴；
【小问2详解】
解：，
设，则原式
；
∴．
25. 【阅读与思考】
下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：
对于依次排列的多项式，，，（，，，是常数），当他们满足，且是常数时，则称，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．
例：对于多项式，，，来说
，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．
【任务一】
（1）已知，，，是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子的值；
【任务二】
（2）若，，，是一组平衡数，求的值；
【问题解决】
（3）当，，，之间满足怎样的数量关系时，他们是一组平衡数？写出他们之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析
【解析】
【分析】此题考查了整式乘法的混合运算及新定义问题，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）直接根据定义计算的值；
（2）将，，，分别带入多项式中，依据定义计算出的值即可；
（3）根据定义化简计算，可得，，，之间满足的数量关系式．
【详解】解：（1），，，是一组平衡数，
，
，
，
，
，
平衡因子；
（2），，，是一组平衡数，
，
，
，
，
，
是常数，
，
解得：；
（3）当，，，之间满足时，他们是一组平衡数．
证明：，，，是一组平衡数，
的结果为常数，
结果为常数，
，
．
26. 两个边长分别为和的正方形按如图1所示的方式放置，其末叠合部分（阴影）面积为，若再在图1中大正方形的左下角摆放一个边长为的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．
（1）用含a、b的代数式分别表示：_______，_______；
（2）若，，求的值；
（3）当时，求出图3中阴影部分的面积和（即的值）．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，能够运用数形结合，恰当进行代数式的变形是解答本题的关键．
（1）根据正方形面积之间的关系，即可用含的代数式表示；
（2）将（1）中的数据代入，中化简，转化为含有和的式子，代入求值即可；
（3）根据图中面积关系可得，，计算即可．
【小问1详解】
解：根据图1可得：，
根据图2可得：，
故答案为：；；
【小问2详解】
解：
∵， ，
∴；
小问3详解】
解：由图3可得：，，
∴，
∵，