浙江省台州市路桥区2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷-A4

这是一份浙江省台州市路桥区2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷-A4，共23页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选
1．（3分）“二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，如图四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“小满”，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）在△ABC中，若∠A+∠B＝∠C，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．锐角三角形
3．（3分）点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，1）
4．（3分）一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数为（ ）
A．6B．5C．4D．8
5．（3分）如图，点B，C在AD上，△ACE≌△DBF，AD＝8，BC＝4，则AB的长为（ ）
A．1.5B．2C．3D．4
6．（3分）如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD．只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是（ ）
A．AO＝DOB．AO＝BOC．∠A＝∠BD．∠AOC＝∠BOD
7．（3分）如图，△ABC中，点D在边AB上，若∠ACD＝∠B+∠BCD，则下列结论正确的是（ ）
A．AC＝BCB．AD＝CDC．AC＝CDD．AD＝AC
8．（3分）一平面镜与水平面成45°角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以1m/s的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（ ）
A．以1m/s的速度，做竖直向上运动
B．以1m/s的速度，做竖直向下运动
C．以2m/s的速度，做竖直向上运动
D．以2m/s的速度，做竖直向下运动
9．（3分）如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（ ）
A．30°B．40°C．60°D．70°
10．（3分）尺规作图源于古希腊的数学课题，蕴含着丰富的几何原理．如图，在△ABC中，按如下步骤尺规作图：①以点B为圆心，BC为半径作弧交边AB于点D；②以点A为圆心，AD为半径作弧交AC于点E；③连结CD与DE．若要求∠CDE的度数，则只需知道（ ）
A．∠A的度数B．∠B的度数
C．∠ACB的度数D．∠DCE的度数
二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知等腰三角形的一边长等于5，另一边长等于2，则它的周长为 ．
12．（3分）如图1是某款雨伞的实物图，图2是该雨伞部分骨架示意图．测得AB＝AC，点E，F分别是AB，AC的三等分点，ED＝FD，那么△AED≌△AFD的依据是 ；
13．（3分）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线l与AC交于点D，垂足为点E．试比较BD与CE的大小：BD CE．（填“＞”“＜”或“＝”）
14．（3分）如图，一形状为四边形的风筝（四边形ABCD）中，已知AD＝CD，AB＝BC，则此风筝的骨架AC与BD（即四边形ABCD的两对角线）有怎样的关系？答： ．
15．（3分）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AC平分∠DAB，∠BAC＝36°，DE⊥AC，垂足为E，且DE＝BC，则∠CDE的度数是 ．
16．（3分）你留意过吗？如图1，硬币上出现的这个多边形是正九边形．现请你仔细分析正九边形的相关特征，完成下面的问题：
如图2．正九边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9中，边A9A1，A4A3的延长线交于点B．
（1）则∠A1BA3＝ 度；
（2）若A1A2＝a，A1A3＝b，A1A5＝c，则a，b，c满足怎样的数量关系？答： ．
三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（8分）如图，在5×5的正方形网格中，点A，B在网格线的交点上．
（1）仅用无刻度直尺，画出以AB为腰的等腰△ABC．
（2）仅用无刻度直尺，画出以AB为底的等腰△ABD．
18．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）若AC＝3，BC＝4，AB＝5，求CD的长．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，且BD＝CE．求证：△ADE是等腰三角形．
20．（8分）如图，一艘轮船由海平面上C地出发向南偏西25°的方向行驶20海里到达B地，再由B地向北偏西35°的方向行驶20海里到达A地，求A，C两地相距多少海里？
21．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°
（1）用无刻度的直尺与圆规作出△ABC的角平分线BD（保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，求证：AD＝2CD．
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：CF＝AD；
（2）已知AD＝2，BC＝6．当AB为何值时，点E在∠B的平分线上？请说明理由．
23．（10分）已知命题“如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，请按以下步骤完成此命题的证明．
（1）根据题意，画出图形：画△ABC及AB边上的中线CD，且满足；（画图工具不限）
（2）结合（1）中画出的图形，请写出已知与求证；
（3）证明：写出证明过程．
24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°；CD⊥AB于点D，点E，F分别在AC，BC上，且EF⊥BC，EF与CD交于点N．
（1）如图1（图在答题卷上），当点E与点A重合时，
①求证：△ADN≌△CDB；
②直接写出的值．
（2）如图2（图在答题卷上），当点E在AC边上时，
①依题意补全图2；
②的值是否发生变化，请说明理由．
2024-2025学年浙江省台州市路桥区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选
1．（3分）“二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，如图四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“小满”，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
【解答】解：A、图形是轴对称图形，故A符合题意；
B、C、D中的图形不是轴对称图形，故B、C、D不符合题意．
故选：A．
2．（3分）在△ABC中，若∠A+∠B＝∠C，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．锐角三角形
【答案】B
【分析】先根据∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°可得出∠C的度数，进而得出结论．
【解答】解：∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故选：B．
3．（3分）点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，1）
【答案】C
【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣1，﹣2），
故选：C．
4．（3分）一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数为（ ）
A．6B．5C．4D．8
【答案】C
【分析】利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可．
【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意
（n﹣2）•180°＝360°，
解得n＝4．
故选：C．
5．（3分）如图，点B，C在AD上，△ACE≌△DBF，AD＝8，BC＝4，则AB的长为（ ）
A．1.5B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由全等三角形的性质推出AC＝DB，得到AB＝CD，而AD＝8，BC＝4，即可求出AB＝2．
【解答】解：∵△ACE≌△DBF，
∴AC＝DB，
∴AB＝CD，
∵AD＝8，BC＝4，
∴AB+CD＝8﹣4＝4，
∴AB＝2．
故选：B．
6．（3分）如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD．只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是（ ）
A．AO＝DOB．AO＝BOC．∠A＝∠BD．∠AOC＝∠BOD
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定方法，逐项进行判断即可．
【解答】解：∵AC∥BD，
∴∠A＝∠B，∠C＝∠D．
A．添加AO＝DO不能判断△AOC≌△BOD，故此选项错误；
B．添加AO＝BO可以根据AAS或AAS能够判断△AOC≌△BOD，故此选项正确；
C．添加∠A＝∠B，不能判断△AOC≌△BOD，故此选项错误；
D．添加∠AOC＝∠BOD，不能判断△AOC≌△BOD，故此选项错误．
故选：B．
7．（3分）如图，△ABC中，点D在边AB上，若∠ACD＝∠B+∠BCD，则下列结论正确的是（ ）
A．AC＝BCB．AD＝CDC．AC＝CDD．AD＝AC
【答案】D
【分析】由三角形外角的性质推出∠ADC＝∠B+∠BCD，得到∠ADC＝∠ACD，推出AD＝AC．
【解答】解：∵∠ADC＝∠B+∠BCD，∠ACD＝∠B+∠BCD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴AD＝AC，
故选：D．
8．（3分）一平面镜与水平面成45°角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以1m/s的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（ ）
A．以1m/s的速度，做竖直向上运动
B．以1m/s的速度，做竖直向下运动
C．以2m/s的速度，做竖直向上运动
D．以2m/s的速度，做竖直向下运动
【答案】A
【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，在平面镜中的顺序与现实中的恰好相反，且关于镜面对称，
则小球在平面镜中的像是以1m/s的速度，做竖直向上运动．
故选：A．
9．（3分）如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（ ）
A．30°B．40°C．60°D．70°
【答案】B
【分析】连接BC，设BE与CD交于点M，在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠MBC+∠MCB＝40°，结合三角形内角和定理及对顶角相等，即可求出∠D+∠E的度数．
【解答】解：连接BC，设BE与CD交于点M，如图所示．
在△ABC中，∠A＝70°，∠ABM＝40°，∠ACM＝30°，
∴∠MBC+∠MCB
＝180°﹣∠A﹣∠ABM﹣∠ACM
＝180°﹣70°﹣40°﹣30°
＝40°．
又∵∠D+∠E+∠DME＝180°，∠MBC+∠MCB+∠BMC＝180°，∠DME＝∠BMC，
∴∠D+∠E＝∠MBC+∠MCB＝40°．
故选：B．
10．（3分）尺规作图源于古希腊的数学课题，蕴含着丰富的几何原理．如图，在△ABC中，按如下步骤尺规作图：①以点B为圆心，BC为半径作弧交边AB于点D；②以点A为圆心，AD为半径作弧交AC于点E；③连结CD与DE．若要求∠CDE的度数，则只需知道（ ）
A．∠A的度数B．∠B的度数
C．∠ACB的度数D．∠DCE的度数
【答案】C
【分析】由作图得到BD＝BC，AD＝AE，根据等腰三角形的性质得出∠BDC＝∠BCD，∠ADE＝∠AED，在△ADE和△BDC中根据三角形内角和定理分别求出∠A、∠B的度数，继而求出∠A+∠B的度数，从可求出∠CDE与∠ACB的关系，即可得出答案．
【解答】解：由题意得，BD＝BC，AD＝AE，
∴∠BDC＝∠BCD，∠ADE＝∠AED，
在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，
即∠A＝180°﹣2∠ADE，
在△BDC中，∠B+∠BDC+∠BCD＝180°，
即∠B＝180°﹣2∠BDC，
∴∠A+∠B＝180°﹣2∠ADE+180°﹣2∠BDC＝360°﹣2（∠ADE+∠BDC），
∵∠ADE+∠BDC＝180°﹣∠CDE，
∴∠A+∠B＝360°﹣2（180°﹣∠CDE）＝2∠CDE，
在△ABC中，∠A+∠B＝180°﹣∠ACB，
∴2∠CDE＝180°﹣∠ACB，
即∠CDE＝90°﹣，
∴若要求∠CDE的度数，则只需知道∠ACB的度数，
故选：C．
二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知等腰三角形的一边长等于5，另一边长等于2，则它的周长为 12 ．
【答案】12．
【分析】题中没有指明哪个边是底哪边是腰，故应该分情况进行讨论．
【解答】解：当5是腰时，周长＝5+5+2＝12；
当2是腰长时，因为2+2＜5，所以不能构成三角形；
故答案为：12．
12．（3分）如图1是某款雨伞的实物图，图2是该雨伞部分骨架示意图．测得AB＝AC，点E，F分别是AB，AC的三等分点，ED＝FD，那么△AED≌△AFD的依据是 SSS ；
【答案】见试题解答内容
【分析】由点E，F分别是AB，AC的三等分点，AB＝AC，得出AE＝AF，根据三边对应相等，证明△AED≌△AFD．
【解答】解：∵点E，F分别是AB，AC的三等分点，
∴，
∵AB＝AC，
∴AE＝AF，
在△AED与△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（SSS），
故答案为：SSS．
13．（3分）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线l与AC交于点D，垂足为点E．试比较BD与CE的大小：BD ＞ CE．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】＞．
【分析】根据线段垂直平分线的定义得到DE⊥BC，BE＝EC，根据同一个直角三角形中直角边和斜边的大小关系判断即可．
【解答】解：∵直线l是边BC的垂直平分线，
∴DE⊥BC，BE＝EC，
∴BD＞BE，
∴BD＞CE，
故答案为：＞．
14．（3分）如图，一形状为四边形的风筝（四边形ABCD）中，已知AD＝CD，AB＝BC，则此风筝的骨架AC与BD（即四边形ABCD的两对角线）有怎样的关系？答： BD垂直平分AC ．
【答案】BD垂直平分AC．
【分析】由“SSS”证明△ADB≌△CDB，得∠ADB＝∠CDB，再由等腰三角形的三线合一性质即可得出结论．
【解答】解：BD垂直平分AC，理由如下：
在△ADB和△CDB中，
，
∴△ADB≌△CDB（SSS），
∴∠ADB＝∠CDB，
又∵AD＝CD，
∴BD垂直平分AC，
故答案为：BD垂直平分AC．
15．（3分）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AC平分∠DAB，∠BAC＝36°，DE⊥AC，垂足为E，且DE＝BC，则∠CDE的度数是 18° ．
【答案】18°．
【分析】根据AAS证明△ABC≌△AED，由全等三角形的性质可得AC＝AD，∠BAC＝∠DAE＝36°，根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵DE⊥AC，∠B＝90°，
∴∠B＝∠AED＝90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠EAD，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（AAS），
∴AC＝AD，∠BAC＝∠DAE＝36°，
∴∠ACD＝∠ADC＝×（180°﹣36°）＝72°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE＝90°﹣∠DAE＝54°，
∴∠CDE＝∠ADC＝∠ADE＝18°，
故答案为：18°．
16．（3分）你留意过吗？如图1，硬币上出现的这个多边形是正九边形．现请你仔细分析正九边形的相关特征，完成下面的问题：
如图2．正九边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9中，边A9A1，A4A3的延长线交于点B．
（1）则∠A1BA3＝ 60 度；
（2）若A1A2＝a，A1A3＝b，A1A5＝c，则a，b，c满足怎样的数量关系？答： c＝a+b ．
【答案】（1）60；
（2）a+b＝c．
【分析】（1）分别计算出正九边形的外角和内角度数，进而求得∠A2A1A3和∠A2A3A1的度数，即可判断出∠BA1A3＝∠BA3A1＝60°，根据三角形的内角和为180°可得∠A1BA3的度数；
（2）连接A4A9，易得A4A9＝A1A5，证明△BA9A4是等边三角形，可判断A4A9＝BA9，整理后即可得到a，b，c满足的数量关系．
【解答】解：（1）∵正九边形每个外角的度数为：＝40°，
∴正九边形每个内角的度数为：180°﹣40°＝140°，
即：∠BA1A2＝∠BA3A2＝40°，∠A1A2A3＝140°，
∵多边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9是正九边形，
∴A1A2＝A2A3，
∴∠A2A1A3＝∠A2A3A1＝20°，
∴∠BA1A3＝∠BA3A1＝60°，
∴∠A1BA3＝60°．
故答案为：60；
（2）连接A4A9，由图形可知：A4A9＝A1A5，
由（1）得：∠BA1A3＝∠BA3A1＝60°，∠A1BA3＝60°，
∴△BA1A3为等边三角形，
∴A1B＝A3B＝A1A3，
∵多边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9是正九边形，
∴A1A9＝A4A3，
∴BA9＝BA4，
∴△BA9A4是等边三角形，
∴A4A9＝BA9，
∴A1A5＝BA1+A1A9＝A1A3+A1A2，
∵A1A2＝a，A1A3＝b，A1A5＝c，
∴c＝a+b．
故答案为：c＝a+b．
三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（8分）如图，在5×5的正方形网格中，点A，B在网格线的交点上．
（1）仅用无刻度直尺，画出以AB为腰的等腰△ABC．
（2）仅用无刻度直尺，画出以AB为底的等腰△ABD．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
【分析】（1）根据等腰三角形的判定按要求画图即可．
（2）根据等腰三角形的判定按要求画图即可．
【解答】解：（1）如图，等腰△ABC即为所求（答案不唯一）．
（2）如图，等腰△ABD即为所求（答案不唯一）．
18．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）若AC＝3，BC＝4，AB＝5，求CD的长．
【答案】（1）见解答；
（2）．
【分析】（1）利用同角的余角相等求出∠CAD＝∠BCD；
（2）利用三角形面积公式即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，则∠A+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD；
（2）解：∵S△ABC＝AB•CD＝BC•AC，
∴CD＝．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，且BD＝CE．求证：△ADE是等腰三角形．
【答案】证明见解析．
【分析】由等腰三角形的性质得∠B＝∠C，再证明△ABD≌△ACE（SAS），得AD＝AE，即可得出结论．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∵∠B＝∠C，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，
∴△ADE为等腰三角形．
20．（8分）如图，一艘轮船由海平面上C地出发向南偏西25°的方向行驶20海里到达B地，再由B地向北偏西35°的方向行驶20海里到达A地，求A，C两地相距多少海里？
【答案】A，C两地相距20海里．
【分析】由方位角得∠ABC＝60°，AB＝BC＝20海里，即可求解．
【解答】解：如图，连接AC，
∵一艘轮船由海平面上C地出发向南偏西25°的方向行驶20海里到达B地，
再由B地向北偏西35°的方向行驶20海里到达A地，
∴∠ABC＝60°，
∵AB＝BC＝20海里，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝20海里，
即A，C两地相距20海里．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°
（1）用无刻度的直尺与圆规作出△ABC的角平分线BD（保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，求证：AD＝2CD．
【答案】（1）图形见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）根据角平分线的作法即可作∠ABC的平分线BD，交AC于点D；
（2）根据角平分线的定义和等腰三角形的判定，证得AD＝BD，根据含30度直角三角形的性质得到BD＝2CD，即可解决问题．
【解答】（1）解：如图所示，BD即为所求；
（2）证明：在△ABC中，∠C＝90°．
∵∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠A＝30°，
∴AD＝BD，
在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，
∴CD＝BD，
∴BD＝2CD，
∴AD＝2CD．
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：CF＝AD；
（2）已知AD＝2，BC＝6．当AB为何值时，点E在∠B的平分线上？请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）当AB＝8时，点E在∠ABC的平分线上，理由见解析．
【分析】（1）由平行线的性质推出∠D＝∠ECF，∠DAE＝∠F，由AAS判定△DAE≌△CFE（AAS），推出CF＝AD；
（2）由△DAE≌△CFE（AAS），推出AE＝FE，由等腰三角形的性质推出BE平分∠ABC，得到点E在∠ABC的平分线上．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠D＝∠ECF，∠DAE＝∠F，
∵E为CD中点，
∴DE＝CE，
∴△DAE≌△CFE（AAS），
∴CF＝AD；
（2）解：当AB＝8时，点E在∠ABC的平分线上，理由如下：
连接BE，
由（1）知CF＝AD＝2，
∵BC＝6，
∴BF＝BC+CF＝8，
∵AB＝8，
∴AB＝BF，
∵△DAE≌△CFE（AAS），
∴AE＝FE，
∴BE平分∠ABC，
∴点E在∠ABC的平分线上．
23．（10分）已知命题“如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，请按以下步骤完成此命题的证明．
（1）根据题意，画出图形：画△ABC及AB边上的中线CD，且满足；（画图工具不限）
（2）结合（1）中画出的图形，请写出已知与求证；
（3）证明：写出证明过程．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）见解析．
【分析】（1）画△ABC的AB边上的中线CD即可；
（2）结合（1）中画出的图形，写出已知与求证即可；
（3）延长CD至E，使DE＝CD，连接AE、BE，证明四边形ACBE是矩形，根据矩形的性质解答即可．
【解答】（1）解：如图，CD即为所求；
（2）解：已知：△ABC中，CD是边AB的中线，CD＝AB；
求证：△ABC是直角三角形；
（3）证明：如图，延长CD至E，使DE＝CD，连接AE、BE，
∵AD＝DB，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵CD＝AB，CD＝CE，
∴AB＝CE，
∴四边形ACBE是矩形，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°；CD⊥AB于点D，点E，F分别在AC，BC上，且EF⊥BC，EF与CD交于点N．
（1）如图1（图在答题卷上），当点E与点A重合时，
①求证：△ADN≌△CDB；
②直接写出的值．
（2）如图2（图在答题卷上），当点E在AC边上时，
①依题意补全图2；
②的值是否发生变化，请说明理由．
【答案】（1）①见解析；
②；
（2）①见解析；
②的值不变，理由见解析．
【分析】（1）可证得△ACD是等腰直角三角形，进而证得△ADN≌△CDB，从而得出AD＝BC＝2CF，进而得出结果；
（2）①作EF⊥BC于F，交CD于N；
②作EG∥AB，交BC于G，可得出∠EGC＝∠ABC，∠CEG＝∠BAC＝45°，可证得∠CEF＝∠CEG，∠EGC＝∠ACB，根据（1）得出结论．
【解答】（1）①证明：∵AB＝AC，EF⊥BC，
∴∠CAF＝∠CEF＝∠BAC，
∴AF⊥BC，BC＝2CF，
∴∠AFC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∵∠BCA＝45°，
∴∠ACD＝∠BAC＝45°，
∴AD＝CD，
∵∠ADC＝∠AFC＝90°，∠AND＝∠CNF，
∴∠BAF＝∠BCD，
∴△ADN≌△CDB（ASA），
②∵△ADN≌△CDB，
∴AD＝BC＝2CF，
即：＝；
（2）①如图1，
作EF⊥BC于F，交CD于N；
②的值不变，理由如下：
作EG∥AB，交BC于G，
∴∠EGC＝∠ABC，∠CEG＝∠BAC＝45°，
∵∠CEF＝∠BAC，
∴∠CEF＝∠CEG，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠EGC＝∠ACB，
∴EG＝EC，