浙江省绍兴市柯桥区联盟学校2024-2025学年八年级上学期期中联考数学试题-A4

这是一份浙江省绍兴市柯桥区联盟学校2024-2025学年八年级上学期期中联考数学试题-A4，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10个小题，每题2分，共20分）
1．以下四个运动图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ）
A．4，3，4B．6，8，10C．5，6，12D．6，6，6
3．若x>y，下列不等式不成立的是（ ）
A．x+8>y+8B．3x>3y
C．x7>y7D．1-2x>1-2y
4．对于命题“若a>b，则a2>b2.”能说明它属于假命题的反例是（ ）
A．a=3，,b=1B．a=-1，,b=-3
C．a=-3，,b=-1D．a=3，,b=-1
5．用直尺和圆规作线段的垂直平分线，下列作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为15，AB＝5，BC＝4，则DF的长为（ ）
A．4或5B．5C．4D．6
7．如图，在△ABC中，∠A＝50度，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．230B．180C．320D．120
8．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，则BD的长为（ ）
A．3B．1.5C．2.5D．2
9．如图，在5×7的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD为△ABC的中线，则AD的长为（ ）
A．524B．522C．5104D．5102
10．如图，两块大小不同的等腰直角三角板的直角顶点C重合，连接AD，BE，当点B，D，E在同一条直线上时，则下列结论：①AD＝BE；②BD⊥AD；③BD平分∠ABC；④S△ABD＝S△ABC﹣S△DCE，其中正确的是（ ）
A．①②B．①④C．①③④D．①②④
二、填空题（本大题共10个小题，每题3分，共30分）
11．关于m的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为 ．
12．如图，AB＝AC，BC＝8，AD⊥BC于D，则BD＝ ．
13．如图，△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，∠A＝25°，则∠BCD的度数是 ．
14．如图，已知∠1＝∠2，要用AAS来证明△ABD≌△CDB，还需添加的一个条件为 ．
15．如图，∠A＝30°，∠B＝55°，∠C＝20°，则∠ADC的度数为 ．
16．如图，已知AE为△ABC的中线，AB＝8cm，AC＝6cm，△ACE的周长为20cm，则△ABE的周长为 cm．
17．如图，△ABC的面积是10，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△EFG的面积是 ．
18．若关于x的不等式5x﹣2m＜3x只有3个正整数解，则m的取值范围是 ．
19．如图，在锐角△ABC中，BC＝10，∠ABC＝60°，∠ABD＝30°，直线BD交边AC于点D，点P、Q分别在线段BD、BC上运动，则PQ+PC的最小值是 ．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，点D在BC边上，△ABD、△AFD关于AD所在的直线对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG．△DFG为等腰三角形时，∠BAD= 。
三、解答题（本大题共7个小题，其中第21-24题，每题6分，第25、26题，每题8分，第27题10分.）
21．解不等式组：4x+1>2(x-1)①x-32-x≥-2②，并写出它的所有整数解．
22．在△ABC中，∠A＝30°，∠DCE=15°，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，求∠B的度数．
23．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AE＝CF．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）若∠BCE＝30°，∠CBF＝20°，求∠CED的度数．
24．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝6，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED＝EC，若AE＝5，求BD的长.
25．如图①、图②、图③均是2×2的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点M、N均在格点上．
（1）在图①中，画出线段AB关于MN对称后的线段CD．
（2）在图②中，画出线段AB关于MN对称后的线段EF．
（3）在图③中，画出点P关于MN对称后的点Q．
26．根据以下素材，探索完成任务．
27．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC=α，D是直线BC上一点（不与点B，C重合），以AD为边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）【发现】如图1，点D在线段BC上．
①求证：△ABD≌△ACE；
②当∠BAC＝100°时，求∠BCE的度数；
（2）【探究】在点D的运动过程中，当DE垂直于△ABC的某边所在直线时，求∠DEC的度数．（用含α的式子表示）
答案解析部分
浙江省绍兴市柯桥区联盟学校2024-2025学年八年级上学期期中联考数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每题2分，共20分）
1．以下四个运动图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的定义“沿着某条直线折叠，两边的图形能够重合的图形是轴对称图形”逐项判断即可.
2．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ）
A．4，3，4B．6，8，10C．5，6，12D．6，6，6
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、4+3>4，能构成三角形，不符合题意；
B、6+8>10，能构成三角形，不符合题意；
C、5+6<12，不能构成三角形，符合题意；
D、6+6>6，能构成三角形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据构成三角形的条件“两个较小边的和大于较大边”判断即可.
3．若x>y，下列不等式不成立的是（ ）
A．x+8>y+8B．3x>3y
C．x7>y7D．1-2x>1-2y
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由x>y 两边同时加上8，可得x+8>y+8 ，成立；
B、由x>y 两边同时乘以3，可得3x>3y ，成立；
C、由x>y 两边同时除以7，可得x7>y7 ，成立；
D、由x>y 两边同时乘以-2再加上1，可得1-2x<1-2y ，原式不成立；
故选：D.
【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可解题.
4．对于命题“若a>b，则a2>b2.”能说明它属于假命题的反例是（ ）
A．a=3，,b=1B．a=-1，,b=-3
C．a=-3，,b=-1D．a=3，,b=-1
【答案】B
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：对于命题“若 a>b,则 a2>b2”，能说明它属于假命题的反例是( a=-1,b=-2,a>b,但 -12<-22,
故答案为： B.
【分析】反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出正确的选项.
5．用直尺和圆规作线段的垂直平分线，下列作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：(1)．以AB为圆心，大于12AB为半径作弧相交于E、F，
(2)．过EF作直线即为AB的垂直平分线．
故选C．
【分析】利用尺规作图画出AB的垂直平分线，即可据此作出选择．
6．若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为15，AB＝5，BC＝4，则DF的长为（ ）
A．4或5B．5C．4D．6
【答案】D
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC的周长为15， AB=5,BC=4,
∴AC=15-5-4=6,
∵△ABC≌△DEF,
∴DF=AC=6,
故答案为：D.
【分析】先求出AC，根据全等三角形的性质得出 DF=AC,即可得出选项.
7．如图，在△ABC中，∠A＝50度，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．230B．180C．320D．120
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠1=∠ADE+∠A，∠2=∠AED+∠A，
∴∠1+∠2=∠ADE+∠A+∠AED+∠A=180°+50°=230°，
故答案为：A.
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和解题即可.
8．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，则BD的长为（ ）
A．3B．1.5C．2.5D．2
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】
解：∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD =∠DCE，
∵BE⊥CD，
∴∠BDC =∠EDC =90°，
又∵CD=CD，
∴△CDB≌△CDE(ASA)，
∴BD=DE， CE=BC=6， 即△BCE为等腰三角形，
∴AE=AC-CE=4，
又∵∠A=∠ABE，
∴BE=AE，
∴BD=DE=12BE=2，
故答案为： D.
【分析】根据题意可得△BCE为等腰三角形，CE=BC=6， BE=AC-CE=4， 即可求解.
9．如图，在5×7的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD为△ABC的中线，则AD的长为（ ）
A．524B．522C．5104D．5102
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：AB=22+62=210，AC=12+32=10，BC=12+72=52，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
又∵AD为△ABC的中线，
∴AD=12BC=522，
故答案为：B.
【分析】先根据勾股定理的逆定理得到∠BAC=90°，然后利用直角三角形的斜边上的中线等于写变得一半解题即可.
10．如图，两块大小不同的等腰直角三角板的直角顶点C重合，连接AD，BE，当点B，D，E在同一条直线上时，则下列结论：①AD＝BE；②BD⊥AD；③BD平分∠ABC；④S△ABD＝S△ABC﹣S△DCE，其中正确的是（ ）
A．①②B．①④C．①③④D．①②④
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：依题意得： ∠ACB=∠DCE=90°， CA=CB，CD=CE， ∠ABC =∠BAC =∠DEC=45°，
∴∠ACD+ACE=∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，
故①正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠DBA+∠CAD=∠DBA+∠CBE=∠ABC=45°
∴∠DBA+∠DAB=∠DBA+∠CAD+∠BAC= 45°+45°= 90°
∴∠ADB=180°-(∠DBA+∠DAB)=90°，
∴BD⊥AD，
故②正确；
不妨假设BD平分 ∠ABC,则∠CBE=12∠ABC=22.5°,
∵∠DEC=∠CBE+∠BCE,
∴45°=22.5+∠BCE,
∴∠BCE=22.5°,
∴∠CBE=∠BCE=22.5°,
∴CE=BE,
即当 CE=BE时， BD平分 ∠ABC,
∴故③错误；
设BD与AC交于点F，如图所示：
设 S△ABF=S1,S△CEF=S2,S△BCE=S3,S△ADF=S4,S△CDF=S5,
则 S△ACD=S4+S5,S△ABD=S1+S4,S△DCE=S2+S5,
∵△ACD≌△BCE,
∴S△ACD=S△BCE,
∴S3=S4+S5,
∴S△ABC-S△DCE=S1+S2+S3-S2+S5
=S1+S2+S3-S2-S5
=S1+S3-S5
=S1+S4+S5-S5
=S1+S4∴S△ABD=S△ABC-S△DCE,
故④正确；
故选： D.
【分析】
先证∠ACD =∠BCE， 进而可依据“ SAS"判定△ACD和△BCE全等，然后根据全等三角形的性质可对①判断；根据△ACD≌△BCE得∠CAD=∠CBE， 进而得∠DBA+∠CAD=∠ABC =45°， 则∠DBA+∠DAB=90°， 据此可对②判断；不妨假设BD平分∠ABC，则∠CBE=22.5°， 进而可求出∠BCE=22.5°， 则CE= BE， 因此当CE= BE时， BD平分∠ABC，据此可对③判断；设BD与AC交于点F，设S△ABF=S1,S△CEF=S2,S△BCE=S3,S△ADF=S4,S△CDF=S5,则 S△ACD=S4+S5,S△ABD=S1+S4,S△DCE=S2+S5，S3=S4+S5,进而得S△ABC-S△DCE=S1+S4，据此可对④判断，综上所述即可得出答案.
二、填空题（本大题共10个小题，每题3分，共30分）
11．关于m的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为 ．
【答案】0≤m<2
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
12．如图，AB＝AC，BC＝8，AD⊥BC于D，则BD＝ ．
【答案】4
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC ，
∴BD=12BC=4，
故答案为：4.
【分析】根据等腰三角形的“三线合一”解题即可.
13．如图，△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，∠A＝25°，则∠BCD的度数是 ．
【答案】25°
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】
解：∵CD是 Rt△ABC斜边AB的高，
∴∠ADC=90°,
又· ∵∠A=25°,
∴∠ACD=90°-∠A=65°,
∵∠ACB=90°,
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=25°,
故答案为： 25°.
【分析】先根据三角形高的定义得出 ∠ADC=90°,进而根据直角三角形的两个锐角互余得. ∠ACD=65°,然后再根据 ∠BCD=∠ACB-∠ACD即可得出答案.
14．如图，已知∠1＝∠2，要用AAS来证明△ABD≌△CDB，还需添加的一个条件为 ．
【答案】∠A=∠C
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】
解：由题意得， BD=DB,∠1=∠2,则要用AAS来证明 △ABC≌△CDA,，还需要条件一角相等 (不能使BD=DB是两组相等角的夹边) ， 即 ∠A=∠C,所以还需添加的一个条件是 ∠A=∠C.
故答案为： ∠A=∠C.
【分析】根据题意可知 ∠1=∠2,BD=DB,则需要添加一角相等，据此求解即可.
15．如图，∠A＝30°，∠B＝55°，∠C＝20°，则∠ADC的度数为 ．
【答案】105°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】
解：延长AD交BC于点E，如图所示：
∵∠ADC是△CDE的一个外角，
∴∠ADC =∠C+∠CED，
又∵∠CED是△ABE的一个外角，
∴∠CED =∠A+∠B，
∴∠ADC =∠C+∠A+∠B，
∵∠A =30°， ∠B =55°， ∠C =20°，
∴∠ADC=20°+30°+55°=105°.
故答案为：105°.
【分析】延长AD交BC于点E，根据三角形外角性质得∠ADC=∠C+∠CED， ∠CED=∠A+∠B，则∠ADC =∠C+∠A+∠B， 由此可得∠ADC的度数.
16．如图，已知AE为△ABC的中线，AB＝8cm，AC＝6cm，△ACE的周长为20cm，则△ABE的周长为 cm．
【答案】22
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】∵AE为△ABC的中线，
∴BE=CE，
又∵ △ACE的周长为20cm，AC＝6cm，
∴AE+EC=AE+BE=20-6=14cm，
∴ △ABE的周长为AB+BE+AE=14+8=22cm，
故答案为：22.
【分析】根据中线的定义得到BE=CE，然后根据△ACE的周长可得AE+EC=AE+BE=20-6=14cm，然后计算△ABE的周长即可.
17．如图，△ABC的面积是10，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△EFG的面积是 ．
【答案】54
【知识点】三角形的面积；三角形的中位线定理；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵点D是BC的中点，
∴S△ABD=S△ACD=12S△ABC=5，
又∵点E是AD 的中点，
∴S△EBD=12S△ABD=52，S△ECD=12S△ACD=52，
∴S△EBC=S△EBD+S△ECD=52+52=5。
又∵F、G是BE，CE的中点，
∴FG是△EBC的中位线，
∴S△EFG=14S△EBC=54，
故答案为：54.
【分析】根据三角形的中位线分得的三角形的面积是原三角形面积的一半解题即可.
18．若关于x的不等式5x﹣2m＜3x只有3个正整数解，则m的取值范围是 ．
【答案】3＜m≤4
【知识点】一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：移项，得： 5x-3x<2m,
合并同类项，得： 2x<2m,
系数化为1，得： x∵不等式只有3个正整数解，
∴3故答案为： 3【分析】首先解不等式，然后根据不等式只有3个正整数解即可得到一个关于m的不等式，求得m的范围.
19．如图，在锐角△ABC中，BC＝10，∠ABC＝60°，∠ABD＝30°，直线BD交边AC于点D，点P、Q分别在线段BD、BC上运动，则PQ+PC的最小值是 ．
【答案】53
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在AB上截取BE=BQ，连接EP，过点C作CF⊥AB于点F，
又∵ ∠ABC＝60°，∠ABD＝30°，
∴∠CBD=∠ABD=30°，
又∵BP=BP，
∴△EBP≌△QBP，
∴EP=PQ，
∴PC+PQ=PC+PE，
根据垂线段最短可得PQ+PC的最小值是 PF的长，
∵∠ABC＝60°，
∴∠FCB=30°，
∴BF=12BC=5，
∴CF=BC2-BF2=102-52=53，
故答案为：53.
【分析】在AB上截取BE=BQ，连接EP，过点C作CF⊥AB于点F，则△EBP≌△QBP，即可得到EP=PQ，进而可得PQ+PC的最小值是 PF的长，解勾股定理即可.
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，点D在BC边上，△ABD、△AFD关于AD所在的直线对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG．△DFG为等腰三角形时，∠BAD= 。
【答案】40°或32.5°或25°
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】
解：在△ABC中， AB=AC， ∠BAC=130°，
∴∠B=∠C =25°，
∵△ABD、△AFD关于AD所在的直线对称，
∴△ADB≌△ADF，
∴∠B =∠AFD=25°， AB = AF，
∵AB=AC，
∴AF = AC，
∵∠FAC的角平分线交BC边于点G，
∴∠FAG=∠CAG，
又∵AG=AG，
∴△AGF≌△AGC(SAS)，
∴∠AFG=∠C.
∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，
∴∠DFG=∠B+∠C =25°+25°= 50°；
令AF与BC交点为Q，分三种情况讨论：
①当GD=GF时，
∴∠GDF=∠GFD=50°，
∵∠ADG=25°+∠BAD，
∴在△ADF中： 50°+25°+25°+∠BAD+∠BAD=180°，
∴∠BAD=40°；
②当FD=GF时，
∴∠GDF=∠FGD，
∵∠DFG=50°，
∴∠FDG =∠FGD =65°，
在△ADF中，利用三角形内角和定理可知
65°+25°+25°+∠BAD+∠BAD=180°，
∴∠BAD=32.5°；
③当FD=GD时，
∴∠DFG=∠FGD=50°，
∴∠FDG=80°，
在△ADF中，利用三角形内角和定理可知
80°+25°+25°+∠BAD+∠BAD= 180°，
∴∠BAD=25°；
综上所述： 当∠BAD= 40°， 32.5°或25°时， △DFG为等腰三角形.
故答案为：40°或32.5°或25°.
【分析】先求出 ∠B=∠C=25°,，再利用轴对称性质得 △ADB≌△ADF,即 ∠B=∠AFD=25°,再证明 △AGF≌△AGCSAS,，继而得到 ∠DFG=50°,△DFG为等腰三角形时分三种情况讨论，①当 GD=GF'时， ②当 FD=GF时， ③当 FD=GD时，分别求出∠BAD即可.
三、解答题（本大题共7个小题，其中第21-24题，每题6分，第25、26题，每题8分，第27题10分.）
21．解不等式组：4x+1>2(x-1)①x-32-x≥-2②，并写出它的所有整数解．
【答案】解：解不等式①，得x>-32，
解不等式②，得：x≤1，
∴该不等式组的解集为-32∴该不等式组的整数解为：﹣1，0，1．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解两个不等式求出解题，根据“同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，小小大大找不到”求出解题即可.
22．在△ABC中，∠A＝30°，∠DCE=15°，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，求∠B的度数．
【答案】解：∵CD是△ABC的高，∠DCE＝＝15°，
∴∠CED=90°-15°=75°，
∵∠A＝30°
∴∠ACE=75°-30°=45°，
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠BCE=∠ACE=45°，
∴∠ACB=90°，
∴∠B＝60°，
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据高线可得∠CED的度数，再根据三角形的外角求得∠ACE的度数，进而根据角平分线得到∠BCE=∠ACE，即可求出∠B的度数即可.
23．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AE＝CF．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）若∠BCE＝30°，∠CBF＝20°，求∠CED的度数．
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠DCE，
∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
又∵AB＝CD，
∴△ABF≌△CDE（SAS）．
（2）解：∵∠BCE＝30°，∠CBF＝20°，
∴∠AFB＝∠BCE+∠CBF＝30°+20°＝50°，
∵△ABF≌△CDE，
∴∠CED＝∠AFB＝50°．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质得到∠BAF＝∠DCE，然后得到AF＝CE，根据SAS证明即可；
（2）先根据三角形的外角得到∠AFB的度数，然后根据全等三角形的对应角相等解题即可.
24．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝6，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED＝EC，若AE＝5，求BD的长.
【答案】解：过点E作EF⊥BC于F．
在Rt△BEF中，
∵∠BFE＝90°，∠B＝60°，
∴∠BEF＝30°，
∵AB＝3，AE＝5，
∴BF＝12BE＝12（AB+AE）＝12×（3+5）＝4，
∵BC＝6，
∴CF＝BC﹣BF＝6﹣4＝2．
∵ED＝EC，EF⊥BC于F，
∴DC＝2CF＝4，
∴BD＝BC﹣DC＝6﹣4＝2．
【知识点】含30°角的直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】过点E作EF⊥BC于F.先在 Rt△BEF中利用 30°角所对的直角边等于斜边的一半得出 BF=12BE=4,于是CF=BC-BF=2,，再根据等腰三角形三线合一的性质得出 DC=2CF=4,然后根据 BD=BC-DC即可求解.
25．如图①、图②、图③均是2×2的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点M、N均在格点上．
（1）在图①中，画出线段AB关于MN对称后的线段CD．
（2）在图②中，画出线段AB关于MN对称后的线段EF．
（3）在图③中，画出点P关于MN对称后的点Q．
【答案】（1）解：如图，线段CD即为所求；
（2）解：如图，确定B关于MN的对称点F，记AB与格线的交点为O，连接FO并延长交格线于E，则EF即为所求；
理由：由正方形的性质可得：BN=FN，ON⊥BF，AM∥BF，
∴OB=OF，∠EAO=∠OBF，∠AEO=∠BFO，
∴∠OBF=∠OFB，
∴∠AEO=∠OAE，
∴OE=OA，
∵OM⊥AE，
∴AM=ME，
∴线段AB的对称线段为EF．
（3）解：如图，连接BP交MN于K，确定B关于MN的对称点T，连接TK并延长交格线于Q，则Q即为所求；
由正方形的性质可得：∠MTK=∠MBK，∠TMQ=90°，MT=MB，
∴△MTQ≌△MBP，
∴MQ=MP，
∴P关于MN的对称点为Q．
【知识点】线段垂直平分线的性质；正方形的性质；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）分根据正方形的对称性作图即可；
（2）找到点B的对称点，根据关于轴对称的两条边或延长线的交点在对称轴上作图即可；
（3）根据正方形的对称性作图即可.
（1）解：如图，线段CD即为所求；
（2）解：如图，确定B关于MN的对称点F，记AB与格线的交点为O，连接FO并延长交格线于E，则EF即为所求；
理由：由正方形的性质可得：BN=FN，ON⊥BF，AM∥BF，
∴OB=OF，∠EAO=∠OBF，∠AEO=∠BFO，
∴∠OBF=∠OFB，
∴∠AEO=∠OAE，
∴OE=OA，
∵OM⊥AE，
∴AM=ME，
∴线段AB的对称线段为EF．
（3）解：如图，连接BP交MN于K，确定B关于MN的对称点T，连接TK并延长交格线于Q，则Q即为所求；
由正方形的性质可得：∠MTK=∠MBK，∠TMQ=90°，MT=MB，
∴△MTQ≌△MBP，
∴MQ=MP，
∴P关于MN的对称点为Q．
26．根据以下素材，探索完成任务．
【答案】解：任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车（8﹣a）辆，
根据题意得：50a+35(8-a)⩾305450a+300(8-a)⩽2900，
解得：53⩽a⩽103，
又∵a为正整数，
∴a可以为2，3，
∴共有2种租车方案，
方案1：租用A型车2辆，B型车6辆；
方案2：租用A型车3辆，B型车5辆；
任务2：选择方案1所需总租金为450×2+300×6＝2700（元）；
选择方案2所需总租金为450×3+300×5＝2850（元）．
∵2700＜2850，2900﹣2700＝200（元），
∴花费最少的是方案1，节省了200元．
【知识点】一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】
任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车( 8-a辆，根据总载客量不少于305人且总租金不超过2900元，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出各租车方案；
任务2：求出选择各租车方案所需总租金，比较后，用2900元减去花费最少的总租金，即可得出结论.
27．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC=α，D是直线BC上一点（不与点B，C重合），以AD为边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）【发现】如图1，点D在线段BC上．
①求证：△ABD≌△ACE；
②当∠BAC＝100°时，求∠BCE的度数；
（2）【探究】在点D的运动过程中，当DE垂直于△ABC的某边所在直线时，求∠DEC的度数．（用含α的式子表示）
【答案】（1）解： ①∵∠BAC=α，
∴∠DAE=∠BAC=α，
∵AB=AC， AD=AE，
∴∠B=∠ACB=180°-α2， ∠ADE=∠AED=180°-α2，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
②∵∠BAC =100°， AB=AC， AD = AE，∠DAE =∠BAC，
∴∠B=∠ACB=40°，
同理△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ACE=∠B=40°，
∴∠BCE =∠ACB+∠ACE=80°；
（2）解：如图，当DE⊥AC时，AC平分∠DAE，
∵△ABD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠ACE，
∴∠DEC＝∠DAC＝12α．
如图，当DE⊥BC时，
∠CED＝∠CAD＝∠ACB﹣∠ADC＝12（180°﹣α）﹣[90°﹣12（180°﹣α）]＝90°﹣α．
如图，当DE⊥AB时，
∠DEC＝∠AEC+∠AED＝∠ADB+∠AED＝∠ABC﹣∠DAB+∠AED＝12（180°﹣α）﹣12α+12（180°﹣α）＝180°﹣32α．
综上所述，满足条件∠EDC的值为12α或90°﹣α或180°﹣32α．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）发现： ①由“SAS”可证△BAD≌△CAE；
②同理由“SAS”可证△BAD≌△CAE，得∠ABC =∠ACE=40°， 可求∠BCE的度数；
（2）探究： 分三种情形： DE⊥AC、DE⊥BC和DE⊥AB时，利用三角形内角和定理以及全等三角形的性质求解即可.
背景
某学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动．
素材1
A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元．
素材2
八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内．
问题解决
任务1
根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案．
任务2
在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？
背景
某学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动．
素材1
A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元．
素材2
八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内．
问题解决
任务1
根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案．
任务2
在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？