四川省眉山市东坡区冠城实验学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

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12． 13．0.8 14．
15．【详解】（1）∵
， ……………………2分
最小正周期，……………………4分
由，，
得，，
∴单调递增区间为；…………………………7分
（2）∵，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴在上最大值为，最小值为．…………………………13分
16．【详解】（1）由直方图知：，可得，
∴500名志愿者中年龄在的人数为人. ………………3分
（2）因为，，
所以第百分位数在区间内，若该数为，
∴，解得. ………………6分
（3）由题设，第2组、第4组和第5组的频率之比为，知6名志愿者有2名来自，3名来自，1名来自， ………………8分
不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为，
则抽取两人的基本事件有，
，共15个，
∴抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. ………………15分
17．【详解】（1）甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是，
甲考生通过某校强基招生面试的概率为.………………5分
（2）乙考生通过某校强基招生面试的概率为，
甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为：
. ………………10分
（3）丙考生通过某校强基招生面试的概率为，
甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为：
. ………………15分
18．【详解】（1）因为，
所以，
又，
所以，
所以，
由正弦定理可得，
又，所以，
所以，
即，又，
所以，所以，则. ………………7分
（2）①因为，由正弦定理可得.又，
由，
所以，
解得或(舍去)，所以，
所以.………………12分
②因为，
所以.
所以.
所以
.………………17分
19．【详解】（1）在长方体中，连接交于点O，则O为的中点，如图，

由四边形是正方形，得，
由平面，平面，得，
而平面，，因此平面，
又平面，所以.………………5分
（2）存在一点满足时，使得平面 ，

当点满足，即为的中点，取的中点，连接，
在中，为中点，则，
在长方体中，是的中点， 则且，
于是 且，四边形 为，则，
又平面，平面，所以平面.………………11分
（3）连接，由为矩形边的中点，得，
，则，
由平面，平面，得，
而平面，于是平面，又平面，
因此，是二面角的平面角，，
而二面角的大小为，所以二面角的正切值为.
………………17分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
C
D
A
D
A
A
C
CD
ACD
BCD