山东省菏泽市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题（B） 含解析

这是一份山东省菏泽市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题（B） 含解析，共15页。试卷主要包含了11， 经过两点的直线的倾斜角为， “”是“方程表示椭圆”的， 已知直线和直线平行，则等内容，欢迎下载使用。
2024.11
注意事项：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（ ）
A. 2B. 3C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】利用两点之间的距离公式计算即得.
【详解】点和点之间的距离为.
故选：D.
2. 经过两点的直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据两点的斜率公式求出斜率,结合斜率与倾斜角的关系可得倾斜角.
【详解】因为,所以过两点的直线斜率为,
所以倾斜角为.
故选：A.
3. 经过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用两直线垂直求出所求直线的斜率，再用点斜式方程即得.
【详解】由题意，直线的斜率为2，故与之垂直的直线的斜率为，
又所求直线过点2,1，故其直线方程为，即.
故选：C.
4. 下列关于圆锥曲线的描述中，正确的是（ ）
A. 椭圆的离心率大于1B. 抛物线的准线一定与轴垂直
C. 双曲线的离心率小于1D. 椭圆的焦点总在其内部
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆锥曲线的性质一一判断即可.
【详解】椭圆的离心率的取值范围为，双曲线的离心率的取值范围为，故A、C错误；
抛物线的准线垂直于轴，故B错误；
椭圆的焦点总在其内部，故D正确.
故选：D
5. “”是“方程表示椭圆”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆的标准方程的要求得到不等式组，求得的范围，再利用充要条件的判定方法即得.
【详解】由方程表示椭圆，可得，解得且，
显然且是的真子集，
故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：A.
6. 椭圆的标准方程为，其焦点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆方程确定焦点位置，写出，求得值即得.
【详解】由，可知椭圆的焦点在轴上，且，
则，故椭圆焦点的坐标为.
故选：D.
7. 已知椭圆和双曲线的左、右顶点为，过作斜率为的直线交于另一点，交于另一点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别将直线的方程与椭圆、双曲线方程联立，求得点的坐标，利用推得点是的中点，建立关于的方程，解之即得.
【详解】
如图，点,直线的方程为，
将其代入椭圆方程，整理得：,
依题意，,即得,
再将代入双曲线方程，整理得：，
依题意，,即得，
由，可知是的中点，则，
即，解得.
故选：B.
8. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，离心率分别为，，点为与在第一象限的公共点，且，若，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出椭圆的方程，再由椭圆的定义及余弦定理求出，即可求出双曲线的方程.
【详解】因为椭圆的焦点，且离心率，
所以椭圆的方程为，又，，，
由余弦定理，
即，又，
所以，，
所以，又，
所以，
又双曲线的焦点为，，
所以双曲线的方程为.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知直线和直线平行，则（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用两直线平行的判断方法，列出方程和不等式，求出的值并检验即得.
【详解】因，故得且，
可推得，解得或,经检验均符合题意.
故选：BC.
10. 关于双曲线，下列说法正确的是（ ）
A. 的渐近线方程为B. 的离心率为
C. 的焦点坐标为D. 的实轴长是虚轴长的4倍
【答案】AB
【解析】
【分析】根据双曲线方程求出、、，再根据双曲线的几何意义一一判断即可.
【详解】双曲线，则，，，
所以渐近线为，故A正确；
离心率为，故B正确；
焦点坐标为，故C错误；
实轴长为，虚轴长为，所以实轴长是虚轴长的倍，故D错误.
故选：AB
11. 已知，是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线与交于，两点，且，则（ ）
A. 椭圆的焦点在轴上B. 的周长为6
C. 的周长为6D. 椭圆的方程为
【答案】ACD
【解析】
【分析】依题意知，设代入方程可得．求得，根据和a,b,c的关系可得值，即可得椭圆的方程以及的周长和的周长．
【详解】椭圆的焦点在y轴上，A正确；
设椭圆C的方程为，．
因为过且垂直于轴的直线与椭圆交于A，B两点，
设，代入方程可得，求得．
由于，所以，，所以
椭圆的方程为，D选项正确；
的周长为，B选项错误；
的周长为，C选项正确．
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 抛物线的准线方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线方程判断焦点位置，求得的值，即得准线方程.
【详解】由可得抛物线的焦点在轴正半轴上，且，即，
故抛物线的准线方程为.
故答案为：.
13. 焦点在轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】结合题意，求出，利用双曲线焦点位置，即可写出其标准方程.
【详解】依题意，，解得
故该双曲线方程为：.
故答案为：.
14. 如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，，．“果圆”与轴的交点分别为、，若在“果圆”轴右侧半椭圆方程为，则两个半椭圆离心率的乘积为________．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出两个半椭圆的离心率，即可得解.
【详解】因为轴右侧半椭圆方程为，则所对应的离心率为；
轴左侧半椭圆方程为，则所对应的椭圆的离心率为，
所以两个半椭圆离心率的乘积为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知圆是以点和点2,0为直径端点圆，圆是以点和点0,2为直径端点的圆．
（1）求圆，的方程；
（2）已知两圆相交于，两点，求直线的方程及公共弦AB的长.
【答案】（1）：，：
（2），
【解析】
【分析】（1）求出圆心及半径即可得圆的方程；
（2）联立两圆方程，即可求出两圆交点坐标，即可得直线的方程及公共弦AB的长.
【小问1详解】
的圆心为1,0，半径，故：，
的圆心为0,1，半径，故：；
【小问2详解】
联立，解得或，
则，则，.

16. 已知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与该抛物线交于，两点，且．
（1）求该抛物线的方程、焦点坐标、准线方程；
（2）求所在的直线方程．
【答案】（1）抛物线的方程为，焦点，准线方程为：；
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据给定条件求出p值即可求解；
（2）设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理并借助弦长公式求解即得.
小问1详解】
因点抛物线方程上，则，所以，
所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为：；
【小问2详解】
显然，直线不垂直y轴，设直线方程为：，
由消去x得：，
设，则有，
因为，
则，
解得，即直线AB：，
所以所在的直线方程：或.
17. 已知圆M经过，两点，且与x轴相切，圆O：.
（1）求圆M的一般方程；
（2）求圆M与圆O的公切线方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）通过求圆心和半径来求得圆的标准方程，再转化为一般方程.
（2）利用公共切线斜率与圆心连线斜率相等，再利用圆心到直线距离等于半径求解即可.
【小问1详解】
由题意设圆心为，
，得，
故圆心，，
圆M的标准方程为：，
圆M的一般方程为：.
【小问2详解】
由于圆M和圆O的半径均为2，
公切线与OM平行，则，设公切线方程为，
则，得或，
故公切线方程为或.
18. 已知双曲线的离心率为，点为上一点．
（1）求的标准方程；
（2）若直线与相交于，两点，且的垂直平分线过点，求证：为定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）依题意得到关于、、的方程组，解得、，即可得解；
（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，即可表示出的中点的坐标，再根据两直线垂直斜率之积为计算可得.
【小问1详解】
依题意可得，解得，
所以双曲线的标准方程为；
【小问2详解】
设Ax1,y1，Bx2,y2，
由，得，显然，
∴，
即，且，
则，
∴的中点，
又的中垂线过点，且，
∴，整理得，即为定值.
19. 已知椭圆的离心率为，其上顶点与两焦点连线围成的三角形面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，试用含的代数式表示；
（3）在（2）的条件下，为椭圆左顶点，过点作垂直于轴的直线与直线相交于点，证明：线段的中点在定直线上．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据离心率及长轴顶点列方程组得出,即可得出椭圆方程；
（2）联立方程组，得出韦达定理再把代入求解；
（3）设点直曲联立，利用整体法求出中点坐标与的关系，进而得出结论；
【小问1详解】
依题意可得，所以,
所以椭圆C的方程为.
【小问2详解】
依题意过点且斜率为的直线为：,即,
联立方程组,
所以,
因为Px1,y1，Qx2,y2，所以,
所以，
则.
【小问3详解】
设直线为,过点P作垂直于x轴的直线与直线AQ相交于点M，
所以,又因为Px1,y1， 的中点，
于是,
所以，，即．
则有，
又因为，
所以，
于是，
即，
即，即，
即点在直线上，即线段的中点在定直线上．
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是整体思想在圆锥曲线的定直线和定点问题中的应用.