专题04 基本不等式及其应用-2025年新高考艺术生数学突破讲义

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1、基本不等式
如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；
基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号．
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．
【方法技巧与总结】
1、几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）．
特例：（同号）．
（3）其他变形：
①（沟通两和与两平方和的不等关系式）
②（沟通两积与两平方和的不等关系式）
③（沟通两积与两和的不等关系式）
④重要不等式串：即
调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．
2、均值定理
已知．
（1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．
（2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．
3、常见求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立；
模型三：，当且仅当时等号成立；
模型四：，当且仅当时等号成立．
【典型例题】
例1．（2024·北京大兴·高三统考期末）已知且，则下列结论中不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2024·全国·高三专题练习）下列不等式证明过程正确的是（ ）
A．若，则
B．若x＞0，y＞0，则
C．若x＜0，则
D．若x＜0，则
例3．（2024·湖北武汉·高三统考期末）已知正数，满足，则（ ）
A．B．C．D．
例4．（2024·全国·高三专题练习）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．9B．10C．12D．13
例5．（2024·甘肃武威·高三统考期末）若，且，则的最小值为（ ）
A．6B．9C．4D．8
例6．（2024·全国·高三专题练习）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例7．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）已知正实数m，n满足，则的最大值是（ ）
A．2B．C．D．
例8．（2024·山西运城·高三校考期末）某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员分装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男､女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（ ）
A．10B．15C．30D．45
例9．（2024·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知，向量，则的最大值为 .
例10．（2024·全国·高三专题练习）函数在上的最大值为 ．
例11．（2024·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最小值为 ．
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·全国·高三专题练习）若，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·全国·高三专题练习）已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·广东·高三学业考试）已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A．7B．8C．9D．10
4．（2024·江苏徐州·高三沛县湖西中学学业考试）若，，则的最小值是（ ）
A．2B．4C．3D．8
5．（2024·陕西西安·统考一模）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·全国·高三专题练习）下列函数中，最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024·陕西商洛·统考模拟预测）设某批产品的产量为（单位：万件），总成本（单位：万元），销售单价（单位：元/件）．若该批产品全部售出，则总利润（总利润销售收入-总成本）最大时的产量为（ ）
A．7万件B．8万件C．9万件D．10万件
8．（2024·全国·高三专题练习）已知，则m，n不可能满足的关系是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2024·全国·高三专题练习）已知，，且，则ab的最小值为（ ）
A．4B．8C．16D．32
二、多选题
10．（2024·全国·高三专题练习）十六世纪中叶，英国数学家哈利奥特用“”“”表示不等号，并逐渐被数学界所接受，不等号的引入对不等式发展影响深远.若某同学从一楼到五楼原路往返的速度分别为和，记两速度的算术平均值为，全程的平均速度为，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·全国·高三专题练习）已知，若，则（ ）
A．B．
C．的最小值为8D．的最大值为
12．（2024·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考开学考试）已知，若，则（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的最小值为8
13．（2024·山东聊城·高三统考期末）下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最小值为4
B．若，则的最小值为4
C．若，，，则的最大值为1
D．若，，且满足，则的最小值为
14．（2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）若，则下列说法一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．若，则
15．（2024·甘肃·高三统考阶段练习）已知，若，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为1
C．的最小值为8D．的最小值为
16．（2024·山东枣庄·高三枣庄八中校考阶段练习）已知正数a，b满足，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为4D．的最小值为2
17．（2024·广东湛江·高三统考期末）下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为2
C．若，则的最大值为2
D．若，则
18．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）设，，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
19．（2024·全国·高三专题练习）若正数，满足，则的最小值为 ．
20．（2024·全国·高三专题练习）函数的最小值为 ．
21．（2024·全国·高三专题练习）函数 的最大值为 .
22．（2024·全国·高三专题练习）已知正数x、y满足，求的最小值为 ；
23．（2024·江苏无锡·高三江苏省江阴长泾中学校考阶段练习）已知正实数x，y满足，则的最小值为 .
24．（2024·全国·高三专题练习）某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为平方米的泳池，池的深度为米，池的四周墙壁建造单价为每米元，中间一条隔壁建造单价为每米元，池底建造单价每平方米元(池壁厚忽略不计)．则泳池的长设计为 米时，可使总造价最低．