专题05 一元二次不等式与其他常见不等式的解法-2025年新高考艺术生数学突破讲义

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1、一元二次不等式
一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且
（1）当时，二次函数图象开口向上.
（2） = 1 \* GB3 ①若，解集为.
= 2 \* GB3 ②若，解集为.
= 3 \* GB3 ③若，解集为.
(2) 当时，二次函数图象开口向下.
= 1 \* GB3 ①若，解集为
= 2 \* GB3 ②若，解集为
2、分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
3、绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【方法技巧与总结】
1、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．
已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．
4、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．
【典型例题】
例1．（2024·全国·高三专题练习）若实数满足不等式，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】不等式，即，解得，则的取值范围是.
故答案为：.
例2．（2024·全国·高三专题练习）不等式的解集为 ．
【答案】或
【解析】根据分式不等式解法可知等价于，
由一元二次不等式解法可得或；
所以不等式的解集为或.
故答案为：或
例3．（2024·全国·高三专题练习）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】原不等式可以转化为：，
当时，可知，对应的方程的两根为1，，
根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：.
故选：A.
例4．（2024·云南德宏·高三统考期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，方程的两根为2和3，
则，
则为，其解集为.
故选：D.
例5．（2024·广东·高三学业考试）若不等式的解集为，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意知，是方程的两个根，且，
则，解得，
所以.
故选：D.
例6．（2024·全国·高三专题练习）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．且
【答案】B
【解析】根据题意可知；，
由韦达定理可得，解得，
故选：B
例7．（2024·全国·高三专题练习）已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，由题意可得，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
例8．（2024·全国·高三专题练习）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】结合图像易知，
不等式的解集，
故选：A.
例9．（2024·吉林通化·高三校考阶段练习）若不等式对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意，不等式对任意实数x均成立，
即不等式恒成立，
当时，不等式可化为恒成立，
当时，
，解得，
综上所述，的取值范围是.
故选：B
例10．（2024·山东滨州·高三统考期末）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】不等式对任意恒成立，则，成立，
而，当且仅当，即时取等号，因此，
所以实数的取值范围是.
故选：B
例11．（2024·全国·高三期末）若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】D
【解析】因为命题“，”为真命题，
若，即，则，；
若，即，要使得命题为真命题，则，
即，解得或，
又因为，所以此时；
若，即，则满足命题“，”为真命题；
综上，，
故选:D.
例12．（2024·全国·高三专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长（单位：m）的取值范围是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
如图，过作于，交于，易知，即，
则，．所以矩形花园的面积，
解得．
故选:C．
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·全国·高三专题练习）若集合，集合，满足的实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由得：，解得：，即；
由得：，
，，，解得：.
故选：D.
2．（2024·全国·高三专题练习）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为不等式的解集为，
所以和为方程的两根且，
，解得，
则不等式可化为，
因为，所以，解得，
所以不等式的解集为：.
故选：A
3．（2024·全国·高三专题练习）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（ ）
A．B．C．或D．
【答案】B
【解析】当方程没有根时，，即，
解得；
当方程有根，且根都不为负根时，，
解得，
综上，，
即关于x的方程没有一个负根时，，
所以关于x的方程至少有一个负根的充要条件是，
故选:B.
4．（2024·全国·高三专题练习）一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为一元二次方程有一个正根和一负根，设两根为和，
所以，解得，故.
故选：A.
5．（2024·全国·高三专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根且，那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则，解得：，
即的取值范围为.
故选：D.
6．（2024·全国·高三专题练习）某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，得，即，∴，解得．又每盏的最低售价为15元，∴．
故选：B．
7．（2024·全国·高三专题练习）某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为（即每销售100元征税元），若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，要使附加税不少于128万元，
则，
整理得：，
解得：.
所以的取值范围是，
故选：A.
二、多选题
8．（2024·广东广州·仲元中学校考一模）已知关于的不等式的解集是，则（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集是或
【答案】ABD
【解析】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，，
A：由以上可知，故A正确；
B：当时，代入方程可得，故B正确；
C：因为，不等式的解集是，故将代入不等式左边为，故C错误；
D：原不等式可变为，且，约分可得，解集为或，故D正确；
故选：ABD
9．（2024·吉林通化·高三校考阶段练习）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．的解集为或
【答案】ABC
【解析】由不等式和解集的形式可知，
，且方程的实数根为或，
那么，所以，
所以，且，故ABC正确；
不等式，
即，解得:,
所以不等式的解集为，故D错误.
故选：ABC
10．（2024·全国·高三专题练习）对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】由，分类讨论如下：
当时，；
当时，；
当时，或；
当时，；
当时，或.
故选：AB.
11．（2024·广东广州·广州市培正中学校考二模）已知不等式的解集为，不等式的解集为，不等式的解集是，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】由不等式，即，解得，即，
又由，解得，即，
，A正确，B错误；
，则是的两根，
则，，C错误，D正确.
故选：AD
12．（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】，
则对都成立，
又，所以，
观察选项可得命题“”是真命题的一个充分不必要条件是BCD.
故选：BCD.
三、填空题
13．（2024·全国·高三对口高考）已知集合，则 ．
【答案】
【解析】原不等式等价于，化简得，
所以，又等价于，解得：
所以，
故答案为：．
14．（2024·上海·高三上海市进才中学校考期末）不等式 的解集是 ．
【答案】
【解析】不等式等价于 ，解得.
故解集为：.
故答案为：
15．（2024·上海·高三开学考试）不等式的解集是 ．
【答案】或
【解析】由,可得，
即，
解得或．
故答案为：或．
16．（2024·吉林通化·高三校考阶段练习）不等式的解集是 .
【答案】
【解析】由得，
故答案为：.
17．（2024·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】原不等式可化为对恒成立．
（1）当时，若不等式对恒成立，
只需，解得；
（2）当时，若该二次不等式恒成立，
只需，解得，
所以；
综上：.
故答案为：
18．（2024·江西景德镇·高三景德镇一中校考阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令函数，依题意，的两个不等实根满足，
而函数图象开口向上，因此，则，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
19．（2024·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为 ．
【答案】.
【解析】方程
方程两根为，
若要满足题意，则，解得，
故答案为：.
20．（2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测）若命题“”为假命题，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】命题“”的否定为：“”
命题“”为假命题等价于命题“”为真命题；
当时，，成立；
当时，结合一元二次函数的图象可得：，解得，
综上，实数m的取值范围是.
故答案为：.
21．（2024·全国·高三专题练习）若命题，是真命题，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【解析】已知命题，是真命题，
则二次函数图像与轴有交点，所以，
解得或.
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
22．（2024·全国·高三专题练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为，所以由得，
因为关于的不等式在区间上有解，
所以只需小于等于的最大值，
当时，，
当时，，当且仅当时，等号成立，
故的最大值为1，
所以，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
23．（2024·全国·高三专题练习）某地每年销售木材约万m3，每立方米的价格为元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万m3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于万元，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设按销售收入的征收木材税时，税金收入为万元，
则，
令，即，解得.
故答案为：