专题09 指数与指数函数-2025年新高考艺术生数学突破讲义

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1、指数及指数运算
（1）根式的定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．
（2）根式的性质：
当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．
当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数．
（3）指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘．
（4）有理数指数幂的分类
①正整数指数幂；②零指数幂；
③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．
（5）有理数指数幂的性质
①，，；②，，；
③，，；④，，．
2、指数函数
【方法技巧与总结】
1、指数函数常用技巧
（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．
（2）当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．
当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．
（3）指数函数与的图象关于轴对称．
【典例例题】
例1．（2024·内蒙古包头·一模）已知是奇函数，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
例2．（2024·高三·重庆长寿·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．B．C．0D．
例3．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知为奇函数，为偶函数，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
例4．（2024·高一·吉林长春·期中）函数是指数函数，则有（ ）
A．或B．
C．D．，且
例5．（2024·高三·江西·开学考试）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
例6．（2024·高三·山东济南·开学考试）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
例7．（2024·高三·安徽合肥·期中）将甲桶中的升水缓慢注入空桶乙中，后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线.假设过后甲桶和乙桶的水量相等，若再等min甲桶中的水只有升，则的值为（ ）
A．5B．6C．8D．10
例8．（2024·高一·四川成都·期中）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
例9．（2024·高三·江苏连云港·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求的最大值和最小值；
(2)若，使成立，求实数的取值范围.
例10．（2024·高一·河北保定·期中）已知函数．
(1)若，求的单调区间
(2)若有最大值3，求的值
(3)若的值域是，求的值
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·江苏南通·二模）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·内蒙古包头·一模）已知是奇函数，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．（2024·辽宁葫芦岛·一模）标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式．标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的，若视力4.0的视标边长约为10cm，则视力4.9的视标边长约为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·江苏·一模）德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：，其中M为太阳质量，G为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（ ）
A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍
5．（2024·高三·北京顺义·阶段练习）世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是标准地震的振幅.某地发生了地震，速报震级为里氏级，修订后的震级为里氏级，则修订后的震级与速报震级的最大振幅之比为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·高三·山西运城·期末）已知是奇函数，则（ ）
A．B．C．2D．1
7．（2024·黑龙江·二模）已知且，若函数为偶函数，则实数（ ）
A．3B．9C．D．
8．（2024·高三·广东广州·阶段练习）若为奇函数，则（ ）
A．1B．0C．D．
9．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·高三·浙江丽水·开学考试）函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·高三·湖南衡阳·阶段练习）集合则集合的元素个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
12．（2024·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
13．（2024·高三·北京·阶段练习）若函数有最小值，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14．（2024·高二·河北·学业考试）已知函数．若函数的最大值为1，则实数（ ）
A．B．C．D．
15．（2024·高三·湖南常德·阶段练习）设函数（，且）的值域是，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
16．（2024·高三·广东中山·阶段练习）若函数，则下述正确的有（ ）
A． 在R上单调递增B．的值域为
C． 的图象关于点对称D． 的图象关于直线对称
17．（2024·高三·湖南衡阳·阶段练习）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在14℃的保鲜时间是48小时，则下列说法正确的是（ ）
参考数据：，
A．
B．若该食品储藏温度是21℃，则它的保鲜时间是16小时
C．
D．若该食品保鲜时间超过96小时，则它的储藏温度不高于7℃
三、填空题
18．（2024·广东·模拟预测）若，则 ．
19．（2024·高三·内蒙古鄂尔多斯·期末）德国大数学家高斯被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，此方法也称为高斯算法.现有函数，则= .
20．（2024·高三·上海浦东新·期中）已知是奇函数，当时，，则的值是 .
21．（2024·高三·北京顺义·期末）已知函数在上是奇函数，当时，，则 .
22．（2024·高三·河北张家口·开学考试）若函数是上的偶函数，则实数 ．
23．（2024·高一·全国·课时练习）函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是指数函数的是 ．
24．（2024·高三·北京·开学考试）函数的值域为 .
25．（2024·高三·全国·专题练习）由命题“存在,使”是假命题,得的取值范围是,则实数的值是 .
26．（2024·高三·上海浦东新·期中）已知，则不等式的解集为 .
27．（2024·高三·河南信阳·阶段练习）设函数且在区间单调递减，则的取值范围是 .
28．（2024·高一·江苏宿迁·期末）若命题“，”是假命题，则的取值范围为 .
29．（2024·高三·河南三门峡·期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式，求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.若现有的物体，放在的空气中冷却，以后物体的温度是，则 （参考值，）
30．（2024·高一·湖北黄冈·期中）当物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中称为环境温度，称为半衰期，现有一杯的热水，放在的房间中，如果水温降到需要分钟．那么在16环境下，水温从降到时，需要 分钟．
四、解答题
31．（2024·高一·山西·期中）已知函数（且，为常数）的图象经过点，.
(1)求的值；
(2)设函数，求在上的值域.
32．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．求函数的解析式.
图象
性质
①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数
在定义域上是单调增函数
⑤时，；时，
时，；时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数