专题22 平面向量 -2025年新高考艺术生数学突破讲义

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一、向量的基本概念
1、向量概念
既有大小又有方向的量叫向量，一般用，，来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如（其中A为起点，B为终点）.
注：谈到向量必须说明其方向与大小.
向量的大小，有就是向量的长度（或称模），记作或.
2、零向量、单位向量、相等向量、平行（共线）向量
零向量：长度为零的向量，记为，其方向是不确定的.
单位向量：模为1个单位长度的向量.当时，向量是与向量共线（平行）的单位向量.
相等向量：长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为.
平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上.
规定零向量与任何向量平行（共线），即.
注：①数学中研究的向量都是自由向量，可以任意平移；②向量中的平行就是共线，可以重合，而几何中平行不可以重合；③， ，不一定有，因为可能为.
二、向量的线性运算
1、向量的加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法，已知向量，，在平面内任取一点A，作，，则向量叫做向量与的和（或和向量），即.

向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则.如图所示，向量=.
2、向量的减法
（1）相反向量.
与长度相等、方向相反的向量叫做的相反向量，记作.
（2）向量的减法.
向量与的相反向量的和叫做向量与的差或差向量，即=.
向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则.如图所示，，则向量.
3、向量的数乘
（1）实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，它的长度和方向规定如下：
①
②当λ>0时，的方向与的方向相同；当λ<0时，的方向与的方向相反；当时，方向不确定；时，方向不确定.
（2）向量数乘运算的运算律.
设、为任意向量，、为任意实数，则 ；；.
三、平面向量基本定理和性质
1、共线向量基本定理
如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使.
2、平面向量基本定理
如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为.叫做向量关于基底的分解式.
3、三点共线定理
平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，O为平面内一点.
四、平面向量的坐标表示及坐标运算
（1）平面向量的坐标表示.
在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对（）叫做向量的坐标，记作=（）.
(2)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
向量（）向量点（）.
（3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
若=（），为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标.
（4）设A，B，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标.
五、向量的平行
设，.的充要条件是.除了坐标表示外，下面两种表达也经常使用：当时，可表示为；
当时，可表示为，即对应坐标成比例.
六、平面向量的数量积
(1) 已知两个非零向量和，作＝，＝，叫作向量与的夹角．记作，并规定.如果与的夹角是，就称与垂直，记为.
(2)叫作与的数量积，记作，即.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量与垂直的充要条件是=0.
两个非零向量与平行的充要条件是.
七、平面向量数量积的几何意义
数量积等于的长度| |与在方向上的射影| |cs θ的乘积．即＝| || |cs θ.( 在方向上的射影| |cs θ;在方向上的射影| |csθ).
八、平面向量数量积满足的运算律
（1）（交换律）；
（2）为实数）；
（3）（分配律）。
数量积运算法则满足交换律、分配律，但不满足结合律，不可约分.
九、平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量由此得到
（1）若；
（2）设两点间距离
（3）设的夹角，则
【典型例题】
例1．（2024·广东深圳·模拟预测）已知点，，，，则与向量同方向的单位向量为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意，所以，
从而与向量同方向的单位向量为.
故选：A.
例2．（2024·高三·江苏扬州·阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【解析】对于A：若，则只是大小相同，并不能说方向相同，A错误；
对于B：向量不能比较大小，只能相同，B错误；
对于C：若，则方向相同，C 正确；
对于D：若，如果为零向量，则不能推出平行，D错误.
故选：C.
例3．（2024·广西南宁·一模）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，可得，
所以，即点为线段的中点，
又因为的外接圆圆心为，所以为直角三角形，所以
因为，可得，所以为等边三角形，
故点作，可得，所以，
因为向量在向量同向，所以向量在向量上的投影向量为.
故选；A.
例4．（2024·高一·四川资阳·期中）已知是两个不共线的向量，且，则（ ）
A．三点共线B．三点共线
C．三点共线D．三点共线
【答案】A
【解析】，故，则，
又因为两向量有公共点，
故三点共线.
故选：A.
例5．（2024·四川·模拟预测）如图，平行四边形中，，设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
．
故选:B．
例6．（2024·江西赣州·一模）在平行四边形中，，则（ ）
A．16B．14C．12D．10
【答案】A
【解析】因为，
所以
.
故选：A
例7．（2024·全国·模拟预测）在等腰梯形中，，，点是线段上靠近的三等分点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
如图等腰梯形中，取中点，连接，则,,
于是，
.
故选:D.
例8．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，，，，则 .

【答案】
【解析】由题意可得，，
所以，所以.
故答案为：.
例9．（2024·高三·全国·专题练习）已知点，且，则点的坐标是 ．
【答案】
【解析】如图，连接，
设为坐标原点，建立平面直角坐标系，，
整理得．
故答案为：
例10．（2024·河南·模拟预测）在平行四边形中，，，点为线段 的中点，则 .
【答案】
【解析】，以为原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
，则，
有，，，，，
.
故答案为：
例11．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）在中，，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】以C为坐标原点，分别以CB、CA所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，
则，，，
为所在平面内的动点，且，点在为以C为圆心2为半径的圆上，
设，，则，
，
其中，
由，所以的取值范围是.
故答案为：．
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）在中，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】在中，因为，所以为的中点，
又因为，所以为线段的靠近的三等分点，
所以．
故选：D．
2．（2024·内蒙古包头·二模）若非零向量满足，则向量与向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图：若，则为等边三角形
则向量与向量的夹角为.
故选：C.
3．（2024·高三·全国·专题练习）如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】.
故选：A
4．（2024·高三·江苏扬州·阶段练习）设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，是两个不共线的向量，由，共线，
则存在实数，使得，则，解得或，则.
故选：B.
5．（2024·浙江·模拟预测）已知向量是平面上两个不共线的单位向量，且，则（ ）
A．三点共线B．三点共线
C．三点共线D．三点共线
【答案】C
【解析】对于A，因为，若三点共线，
设，则，无解，所以三点不共线，故A错误；
对于B，若三点共线，
设，则，无解，所以三点不共线，故B错误；
对于C，因为，
因为有公共点，所以三点共线，故C正确.
对于D，因为，
，设，
则，无解，所以三点不共线，故D错误；
故选：C.
6．（2024·高一·广东云浮·阶段练习）如图，已知是的边上的中线，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为是的边上的中线，
所以，所以
.
故选：C
7．（2024·陕西咸阳·二模）已知在边长为的菱形中，角为，若点为线段的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】.
故选：C.
8．（2024·浙江金华·模拟预测）在边长为1的正方形中，E为线段的中点，F为线段上的一点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，，，
所以，
.
故选：D
9．（2024·陕西安康·模拟预测）在中，是的中点，与相交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设，由是的中点，得，
由，得，
所以，且，
由与相交于点可知，点在线段上，也在线段上，
由三点共线的条件可得，解得，所以.
故选：B
10．（2024·山西运城·一模）已知所在平面内一点，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，即，即，
解得，
故选：B.
11．（2024·广东佛山·模拟预测）在中，，若，线段与交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】如下图所示：
由可得分别为的中点，
由中线性质可得，
又，所以，
因此.
故选：B
12．（2024·高三·山东德州·开学考试）在中，点在直线上，且满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，
所以
故选：A.
13．（2024·高三·江苏常州·期末）已知扇形的半径为5，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，弧的中点为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则，
，解得，
即，又，
又，解得，，
，即，
所以.
故选：B．
14．（2024·北京延庆·一模）已知正方形的边长为，点满足，则（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【解析】建立坐标系如图，正方形的边长为2，
则，，，可得，
点满足，所以．
故选：C.
15．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】因为，所以.
因为，所以，解得.
故选：B.
16．（2024·高三·全国·专题练习）已知向量，，，．若，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】因为，，，
所以，解得，
所以．
因为，所以．
，，
，
，则，
即，解得．
故选：D．
17．（2024·贵州毕节·模拟预测）已知向量，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以，
因为，，
所以，
所以，
故选：A.
18．（2024·云南昆明·一模）已知下图网格中面积最小的正方形边长为1，平面向量，如图所示，则（ ）

A．2B．C．D．1
【答案】C
【解析】根据题意，如图建立坐标系，
则，，
则，故．
故选：C．
19．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）若，，，则向量与的夹角为
（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，，，
则，
而，即得，
所以，又，
所以.
故选：A.
20．（2024·重庆·模拟预测）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，
整理得.
故选：B.
21．（9-10高三·河北唐山·阶段练习）若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则（ ）
A．2B．5C．2或5D．或5
【答案】C
【解析】由向量，，两两的夹角相等，得或，
当时，，
当时，
.
故选：C
二、多选题
22．（2024·高三·江苏扬州·阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．在正三角形中，，的夹角为
B．若，且，则
C．若且，则
D．对于非零向量，“”是“与的夹角为锐角”的充分不必要条件
【答案】ACD
【解析】对于A，在正三角形中，的夹角为，故A错误；
对于B，若，且，则，故B正确；
对于C，若，则，当时，可以有，故C错误；
对于D，当时，与的夹角为锐角或零角，故充分性不成立，
当与的夹角为锐角时，，故必要性成立，
所以“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件，故D错误.
故选：ACD.
23．（2024·高三·全国·专题练习）给出下列命题，其中假命题为（ ）
A．向量的长度与向量的长度相等
B．向量与平行，则与的方向相同或相反
C．⇔与方向相反
D．若非零向量与非零向量的方向相同或相反，则与，之一的方向相同
【答案】BCD
【解析】对于A，向量与向量，长度相等，方向相反，命题成立；
对于B，当时，命题不成立；
对于C，当，之一为零向量时，命题不成立；
对于D，当时，的方向是任意的，它可以与，的方向都不相同，命题不成立；
故选：BCD.
24．（2024·高三·全国·专题练习）在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】
由，可得，又，N是线段OD的中点，
∴，∴，∴D错误；
∵，∴C正确；
∵，
∴A正确，B错误．
故选：AC．
25．（2024·高三·山东济宁·开学考试）已知为坐标原点，向量是线段的三等分点，则的坐标可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】因为，，可得，
又因为点是线段的三等分点，则或，
所以或，
即点的坐标为或.
故选：AC.
26．（2024·高三·浙江·开学考试）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．B．与的夹角为
C．D．在上的投影向量是
【答案】BCD
【解析】对于A：，故A错误.
对于B：，因为，所以，故B正确；
对于C：，则，故C正确；
对于D：在上的投影向量是，故D正确.
故选：BCD.
27．（2024·广东·二模）若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则与同向的单位向量为
C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
D．若，则的最小值为
【答案】BD
【解析】由，，
A选项：，
则，解得，则，，
所以不存在，使，即，不共线，A选项错误；
B选项：，则，解得，
即，，，
所以与同向的单位向量为，B选项正确；
C选项：时，，
又与的夹角为锐角，
则，解得，且，
即，C选项错误；
D选项：由，得，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，D选项正确；
故选：BD.
28．（2024·高三·江苏南京·期中）已知平面向量，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则向量在上的投影为
B．若，则，
C．若且，，则
D．若，则向量与的夹角为锐角
【答案】BC
【解析】平面向量，
对于A中，当时，，可得且，
所以向量在上的投影为，所以A正确；
对于B中，由，可得，即，
则方程有无数组解，所以B不正确；
对于C中，由且，可得，当 时，方程组有无数组解，所以C不正确；
对于D中，设向量与的夹角为，由，
当时，可得，则，
若，可得，解得，所以时，向量与不共线，
所以向量与的夹角为锐角，所以D正确.
故选：BC.
29．（2024·高三·全国·专题练习）【多选题】已知，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为2
D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
【答案】AB
【解析】已知，
若，则，解得，A选项正确；
若，则，解得，B选项正确；
，，
当时，有最小值，C选项错误；
当时，，，
向量与向量的夹角为，D选项错误.
故选：AB.
30．（2024·高三·黑龙江大庆·期末）已知，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
【答案】ABC
【解析】对于A，若，则，解得，故A正确；
对于B，若，则，解得，故B正确；
对于C，，
则，
当时，，故C正确；
对于D，因为向量与向量的夹角为钝角，
所以且不共线，
由，得，
由得，
所以的取值范围为，故D错误.
故选：ABC.
31．（2024·全国·模拟预测）已知两个不等的平面向量满足，其中是常数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若，则在上的投影向量的坐标是
C．当取得最小值时，
D．若的夹角为锐角，则的取值范围为
【答案】BC
【解析】选项A：若，则，解得或，但当时，，与题意不符合，故A错误；
选项B：若，则，解得，
因此，，则在上的投影向量为，故B正确；
选项C：，
则当时，取得最小值，此时，，故C正确；
选项D：若的夹角为锐角，则与不同向，
得，解得且，故D错误．
故选：BC
32．（2024·全国·模拟预测）已知向量．若，则（ ）
A．B．
C．在方向上的投影向量为D．与反向的单位向量是
【答案】ABC
【解析】．
．
，即．
，即，解得，则．
对于A，，故A正确；
对于B，因为，故B正确；
对于C，在方向上的投影向量为，故正确；
对于D，与反向的单位向量是，故D错误．
故选:ABC．
33．（2024·全国·模拟预测）已知向量，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
【答案】ABD
【解析】对于A，由，，得，解得，A正确；
对于B，，则，于是，B正确；
对于C，，，则与不垂直，C错误；
对于D，，
则在上的投影向量为，D正确．
故选：ABD
三、填空题
34．（2024·高三·全国·专题练习）向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则 .

【答案】4
【解析】以向量和的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1)，
则，
所以.
因为，所以.
所以.
所以.
故答案为：4
35．（2024·全国·模拟预测）已知向量，，，若，则 ．
【答案】
【解析】由题意知，，
由于，则，
则，解得．
故答案为：.
36．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形中，已知，点满足，且，则 ．
【答案】/
【解析】由题意得，，，
，
故，．
故答案为：
37．（2024·全国·模拟预测）已知向量满足，则 ．
【答案】/
【解析】由，得，又，得，
则．
故答案为：
38．（2024·高三·陕西安康·阶段练习）在中，，，则 ．
【答案】
【解析】，，
，，，
.
故答案为：.
39．（2024·高三·江苏扬州·阶段练习）如图，正八边形，其外接圆半径为2，则= .

【答案】
【解析】正八边形，故，
故；
则.
故答案为：.
40．（2024·全国·模拟预测）在正六边形中，已知，则 ．
【答案】/
【解析】在正六边形中，，，
，
．
其中≌，
由余弦定理可得，
．
故答案为：
41．（2024·全国·模拟预测）如图，某物体作用于同一点的三个力使物体处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为 ．（牛顿是物理的力学单位）
【答案】
【解析】由题意知三力平衡得，化简得，
两边同平方得，即，
即，解得.
故答案为：.
42．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）已知正的边长为2，点为所在平面内的动点，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由已知，点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆．取线段的中点，
则，
又因为，，所以，
则．
故答案为：.
43．（2024·高一·广东湛江·期中）在中，，，点为边的中点，点在边上运动，则的最大值为 .
【答案】
【解析】以A为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，
，
设直线BC方程为，则，
解得，所以BC方程为，设，
所以，
得.
故答案为：.
44．（2024·高三·全国·专题练习）已知正方形的边长为1，点E是边上的动点，则的值为 ；的最大值为 ．
【答案】 1
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
故，设，，
故，
，故的最大值为1，此时.
故答案为：-1，1
四、解答题
45．（2024·高三·江苏扬州·阶段练习）已知平行四边形中，，点是线段的中点.
(1)求的值；
(2)若，且，求的值.
【解析】（1）
（2），
，
，
，
即，解得：.
46．（2024·高一·云南大理·期末）已知点，，，M是线段的中点.
(1)求点M和的坐标：
(2)若D是x轴上一点，且满足，求点D的坐标.
【解析】（1）是线段的中点，
点的坐标为，
故；
（2）设，则，
因为与平行，所以
解得，
点的坐标是.