专题27 统计的应用-2025年新高考艺术生数学突破讲义

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一、抽样方法
三种抽样方式的对比
二、样本分析
（1）样本平均值：．
（2）样本众数：样本数据中出现次数最多的那个数据．
（3）样本中位数：将数据按大小排列，位于最中间的数据或中间两个数据的平均数．
（4）样本方差：．
众数、中位数、平均数都是描述一组数据集中趋势的量，方差是用来描述一组数据波动情况的特征数．
三、频率分布直方图的解读
（1）频率分布直方图的绘制
①由频率分布表求出每组频数ni；
②求出每组频率（n为样本容量）；
③列出样本频率分布表；
④画出样本频率分布直方图，直方图横坐标表示各组分组情况，纵坐标为每组频率与组距比值，各小长方形的面积即为各组频率，各小长方形的面积总和为1．
（2）样本估计总体
步骤：总体→抽取样本→频率分布表→频率分布直方图→估计总体频率分布．
样本容量越大，估计越精细，样本容量无限增大，频率分布直方图无限无限趋近概率分布密度曲线．
（3）用样本平均数估计总体平均数，用样本标准差估计总体标准差．
公式：，s2（aX+b）=a2s2（X）．
【典型例题】
例1．（四川省百师联盟2024届高三冲刺卷（二）全国卷理科数学试题）某市教育主管部门为了解高三年级学生学业达成的情况，对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了1000名学生，他们的学业达成情况按照从高到低都分布在五个层次内，分男､女生统计得到以下样本分布统计图，则下列叙述正确的是（ ）
A．样本中层次的女生比相应层次的男生人数多
B．估计样本中男生学业达成的中位数比女生学业达成的中位数小
C．层次的女生和层次的男生在整个样本中频率相等
D．样本中层次的学生数和层次的学生数一样多
例2．（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学文科猜题卷（五））如图为某中型综合超市年的年总营业额（单位：万元）的统计图，则下列说法错误的是（ ）

A．年的年总营业额的极差为2200万元
B．年的年总营业额波动性比年的年总营业额波动性小
C．年的年总营业额逐年上升，2021年跌落低谷，之后每年又呈上升趋势
D．年的年总营业额的中位数是2019年和2020年的年总营业额的平均数
例3．（山东省菏泽市2024届高三学期一模考试数学试题）已知样本数据为、、、、、、，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是（ ）
A．极差B．平均数C．中位数D．方差
例4．（贵州省六校联盟2024届高考实用性联考（三）数学试题）在某学校的期中考试中，高一､高二､高三年级的参考人数分别为.现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算得高一､高二､高三年级数学成绩的样本平均数分别为，则全校学生数学成绩的总样本平均数为（ ）
A．92B．91C．90D．89
例5．（四川省南充高级中学2024届高三第二次模拟试卷试题）某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2∶3∶5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本.若样本中A型号的产品有30件，则样本容量n为（ ）
A．150B．180C．200D．250
例6．（2024年东北三省高考模拟数学试题（一））一组数据：155，156，156，157，158，160，160，161，162，165的第75百分位数是（ ）
A．161B．160.5C．160D．161.5
例7．（陕西省西安市未央区、莲湖区等区2024届高三学期二模模拟检测）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（ ）
A．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天
B．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3
C．估计该学生每日完成作业时间的平均数为2.75小时
D．估计该学生每日完成作业时间的中位数与平均数相等
例8．（高三数学临考冲刺原创卷（三））已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本容量分别为，，，样本平均数分别为，，，样本方差分别为，，，若，则（ ）
A．
B．
C．总体样本平均数
D．当时，总体方差
例9．（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学文科猜题卷（九））以“建设包容、普惠、有韧性的数字世界——携手构建网络空间命运共同体”为主题的2023年世界互联网大会乌镇峰会于11月8日至10日在中国浙江省乌镇举行．为保障大会顺利进行，世界互联网大会的秘书处从招募的志愿者中随机抽取100名进行了一次互联网知识竞赛，所得成绩（单位：分）均在内，并制成如下频数分布表：
(1)根据频数分布表，在下图中作出频率分布直方图；

(2)以样本估计总体，记竞赛成绩不低于86分的志愿者为优秀志愿者，则优秀志愿者的占比能否达到20%？
例10．（广东省肇庆市封开县江口中学2024届高三学期第五次月考数学试题）某班成立了两个数学兴趣小组，组人，组人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，组的平均成绩为分，方差为，组的平均成绩为分，方差为．则在这次测试中全班学生方差为 ．
例11．（云南三校2024届高三高考备考实用性联考卷（六）数学试题）为进一步提升物业管理和服务质量，某小区随机抽取100名住户开展了年度幸福指数测评活动，将其测评得分（均为整数）分成六组：，，…，，并绘制成如图所示的频率分布直方图.由此估计此次测评中居民幸福指数的第75百分位数为 .

例12．（重庆市第八中学等多校2024届高三学期3月适应性月考卷（六）数学试题）在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为，那么这组数据的第25百分位数为 .
【过关测试】
一、单选题
1．（陕西省西安市第一中学2024届高三学期第九次模拟考试文科数学试题）国家统计局发布的2018年至2022年我国居民消费水平情况如图所示，则下列说法正确的是（居民消费水平）（ ）

A．2018年至2022年我国居民消费水平逐年提高
B．2018年至2022年我国城镇居民消费水平逐年提高
C．2018年至2022年我国居民消费水平数据的极差为6463元
D．2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多
2．（高三数学临考冲刺原创卷（二））如图是我国2017~2022年人用疫苗进出口均价，下列结论不正确的是（ ）

A．疫苗进口均价最低约为2100美元/千克
B．疫苗出口均价的极差小于3700美元/千克
C．疫苗进口均价的中位数大于2750美元/千克
D．疫苗出口均价的方差大于疫苗进口均价的方差
3．（广东省广州市第六十五中学2024届高三学期2月月考数学试题）树人中学国旗班共有50名学生，其中男女比例，平均身高174cm，用等比例分层随机抽样的方法，从中抽取一个容量为20的样本，若样本中男生的平均身高为178cm，样本中女生人数与女生平均身高的估计值分别为( )
A．8人 168cmB．8人 170cmC．12人 168cmD．12人 170cm
4．（河南省部分省示范高中2024届高三学期3月联考数学试卷）高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，成绩都在内，估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为（ ）

A．65B．75C．85D．95
5．（甘肃省2024届高三学期3月月考（一模）数学试题）小李一周的总开支分布如图（1）所示，其中一周的食品开支如图（2）所示，则以下判断错误的是（ ）

A．小李这一周用于肉蛋奶的支出高于用于娱乐的支出
B．小李这一周用于食品中其他类的支出在总支出中是最少的
C．小李这一周用于主食的支出比用于通信的支出高
D．小李这一周用于主食和蔬菜的总支出比日常支出高
6．（陕西省部分学校2024届高三学期二模考试（文科）数学试题）某医院有医生750人，护士1600人，其他工作人员150人，用分层抽样的方法从这些人中抽取一个容量为50的样本，则样本中，医生比护士少（ ）
A．19人B．18人C．17人D．16人
7．（2024年全国高考名校名师联席命制数学押题卷（六））某老师对比甲、乙两名学生最近5次数学月考成绩，甲：，乙：，则下列结论正确的是（ ）
A．甲成绩的平均数较小B．乙成绩的中位数较大
C．乙成绩的极差较大D．乙比甲的成绩稳定
8．（湘豫名校联考2024届高三学期第二次模拟考试数学试卷）人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平.下图为2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则（ ）
A．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增
B．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增
C．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差大
D．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为21180元
9．（陕西省西安地区八校2024届高三学期联考数学试题）某工厂甲、乙、丙三个车间，生产了同一种产品，数量分别为件、件、件，为了解各车间的产品是否存在显著差异，按车间分层抽样抽取一个样本进行检测．若在甲、乙两车间共抽取了件，在乙、丙两车间共抽取了件．则（ ）．
A．B．C．D．
10．（黑龙江省齐齐哈尔市2024届高三学期二模考试数学试题）样本数据16，20，21，24，22，14，18，28的分位数为（ ）
A．16B．17C．23D．24
11．（安徽省安庆市2024届高三模拟考试（二模）数学试题）在一次学科核心素养能力测试活动中，随机抽取了100名同学的成绩（评分满分为100分），将所有数据按，，，，，进行分组，整理得到频率分布直方图如图所示，则估计这次调查数据的第64百分位数为（ ）
A．80B．78C．76D．74
12．（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学文科猜题卷（八））小军小朋友参加少儿体操选拔赛，8位教练员的评分分别为13，14，16，18，18，20，22，23，按比赛规则，计算选手最后得分时，要去掉一个最高分和一个最低分.去掉这组得分中的一个最高分和一个最低分后，下列会发生变化的是（ ）
A．平均数B．极差C．中位数D．众数
13．（2024年全国高考名校名师联席命制数学押题卷（五））已知一组数据：，则这组数据的（ ）
A．极差为9B．第70百分位数为49C．平均数为49D．方差为
14．（湖北省高中名校联盟2023-2024学年高三学期3月月考数学试题）某运动爱好者最近一周的运动时长数据如下表：
则（ ）
A．运动时长的第30百分位数是30B．运动时长的平均数为60
C．运动时长的极差为120D．运动时长的众数为60
15．（湖南省衡阳市田家炳实验中学2023-2024学年高三学期3月测试数学试题）某统计数据共有11个样本，它们依次成公差的等差数列，若第位数为，则它们的平均数为（ ）
A．B．C．D．
16．（湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三学期适应考试（二）数学试题）已知样本数据的平均数和标准差均为4，则数据的平均数与方差分别为（ ）
A．B．C．D．
17．（辽宁省葫芦岛市2024届高三学期第一次模拟数学试题）从某班所有同学中随机抽取10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，这组数据的众数是（ ）
A．9B．8C．7D．4
18．（湖南省长沙市第一中学2024届高三学期月考（七）数学试题）样本数据15、13、12、31、29、23、43、19、17、38的中位数为（ ）
A．19B．23C．21D．18
19．（河北省2024届高三大数据应用调研联合测评（Ⅵ））有一组正数共5个，其平均值为，这5个正数再添加一个数28，其平均值为，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
20．（四川省成都市成实外教育集团2024届高三联考数学文科试题（二））高三某班学生每天完成作业所需的时间的频率分布直方图如图，为响应国家减负政策，若每天作业布置量在此基础上减少小时，则减负后完成作业的时间的说法中正确的是（ ）
A．减负后完成作业的时间的标准差减少
B．减负后完成作业的时间的方差减少
C．减负后完成作业的时间在小时以上的概率大于
D．减负后完成作业的时间的中位数在至之间
21．（湖南省邵阳市2024届高三第二次联考数学试题）一组数据：的第30百分位数为（ ）
A．30B．31C．25D．20
22．（陕西省西安市长安区2024届高三学期第一次模拟考试文科数学试卷）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．623B．328C．072D．457
23．（云南、广西、贵州2024届“3 3 3”高考备考诊断性联考（二）数学试卷）本次月考分答题卡的任务由高三16班完成，现从全班55位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加，将这55位学生按进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第6个号码所对应的学生编号为（ ）
A．51B．25C．32D．12
二、多选题
24．（辽宁省丹东市2024届高三学期总复习质量测试（一）数学试卷）已知甲乙两人进行射击训练，两人各试射次，具体命中环数如下表（最高环数为环），从甲试射命中的环数中任取个，设事件表示“至多个超过平均环数”，事件表示“恰有个超过平均环数”，则下列说法正确的是（ ）
A．甲试射命中环数的平均数小于乙试射命中环数的平均数
B．甲试射命中环数的方差大于乙试射命中环数的方差
C．乙试射命中环数的的分位数是
D．事件，互为对立事件
25．（辽宁省协作校2024届高三学期第一次模拟考试数学试题）下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（ ）

A．样本乙的极差一定大于样本甲的极差
B．样本乙的众数一定大于样本甲的众数
C．样本甲的方差一定大于样本乙的方差
D．样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数
26．（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学猜题卷（七））某超市负责人统计了该超市2016年到2023年的年营业额（单位：万元），得到如图所示的条形图，则下列说法正确的是（ ）
A．2016年到2023年的年营业额的极差为2200万元
B．2016年到2019年的年营业额波动幅度比2020年到2023年的年营业额波动幅度大
C．2016年到2020年的年营业额逐年上升，2021年跌落低谷，之后每年又呈上升趋势
D．2016年到2023年的年营业额的中位数与2019年和2020年的年营业额的平均数相等
27．（高三数学临考冲刺原创卷（四））一组数据，，，，的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记，，，，的平均值为，方差为，极差为，中位数为，则（ ）
A．B．C．D．
28．（重庆市第八中学等多校2024届高三学期3月适应性月考卷（六）数学试题）某社区通过简单随机抽样，获得了100户居民的月均用水量数据，并绘制出如图所示的频率分布直方图，由该图可以估计（ ）
A．平均数>中位数B．中位数>平均数
C．中位数>众数D．众数>平均数
29．（河北省衡水市枣强县衡水董子高级中学2023-2024学年高三学期3月月考数学试题）甲在一次面试活动中，7位考官给他们打分分别为：61、83、84、87、90、91、92.则下列说法正确的有（ ）
A．这7个分数的第70百分位数为87
B．这7个分数的平均数小于中位数
C．去掉一个最低分和一个最高分后，分数的方差会变小
D．去掉一个最低分和一个最高分后，分数的平均数会变小
30．（河南省濮阳市2023-2024学年高三学期（开学）第一次模拟考试数学试题）在一次数学测试中，老师将班级60位同学的成绩按照从小到大的顺序进行排列后得到的原始数据为（数据互不相同），其极差为，平均数为，则下列结论中正确的是（ ）
A．的平均数为
B．的第25百分位数与原始数据的相同
C．若的极差为，则
D．的平均数大于
31．（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学猜题卷（六））小军参加少儿体操选拔赛，8位评委给出的分数分别为13，14，a，18，18，20，22，23（从低到高排列），这组数据的下四分位数为15，按比赛规则，计算选手最后得分时，要去掉一个最高分和一个最低分．现去掉这组得分中的一个最高分和一个最低分后，下列不会发生变化的是（ ）
A．平均数B．极差C．中位数D．众数
32．（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学猜题卷（九））已知一组样本数据为1，1，4，5，1，4，现往这组数据中加入一个新数据，则新数据与原数据相比，可能（ ）
A．方差变小B．众数变多C．极差变小D．第80百分位数变大
33．（2024届安徽省示范高中皖北协作区高三学期数学联考试题）已知样本数据（，）的方差为，平均数，则（ ）
A．数据，，，，的方差为
B．数据，，，，的平均数大于0
C．数据的方差大于
D．数据的平均数大于
34．（浙江省临平萧山联考2023-2024学年高二学期期末数学试题）已知一组数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为，则（ ）
A．
B．这组数据的中位数为4
C．若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为5
D．这组数据的第70百分位数为5.5
三、填空题
35．（浙江省金华第一中学2024届高三学期高考适应性测试数学试卷）设一组样本的容量为50，经过数据整理，得出了如下所示的频数分布表，则该组样本的第80百分位数为 ．
36．（陕西省西安地区八校2024届高三学期联考数学试题）某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图（如图）．其中，成绩分组区间为，．用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计值为 ．
四、解答题
37．（四川省成都市金牛区成都外国语学校2023-2024学年高三学期高考模拟（一）理科数学试题）刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查（问卷得分在40~100分之间），并从参与者中随机抽取200人.根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图.如图有两个数据没有标注清晰（即图中），但已知此直方图的满意度的中位数为68.
(1)求的值；并据此估计这200人满意度的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案：
方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动.活动方案为：从装有8个形状､大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球5个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，若摸到3个红球，返消费金额的；若摸到2个红球，返消费金额的，除此之外不返现金.
方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，但不参加超市的抽奖返现金活动，根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠，有的概率享受95折优惠.
现小张在该超市购买了总价为1000元的商品.
①求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与数学期望；
②试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？
（注：结果精确到0.1）
38．（内蒙古呼和浩特市2024届高三第一次质量数据监测文科数学试卷）为了解甲、乙两种农药在某种绿植表面的残留程度，进行如下试验：将100株同种绿植随机分成两组，每组50株，其中组绿植喷甲农药，组绿植喷乙农药，每株绿植所喷的农药体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在绿植表面的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：
记为事件：“乙农药残留在表面的百分比不低于5.5”，根据直方图得到的估计值为0.70．
(1)求乙农药残留百分比直方图中的值；
(2)估计甲农药残留百分比的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(3)估计乙农药残留百分比的中位数．（保留2位小数）
39．（2024年全国高考名校名师联席命制数学押题卷（四））加强基础研究是实现高水平科技自立自强的迫切要求，是建设世界科技强国的必由之路．某基础试点机构潜心研究“遗传谱系示踪技术”，甲、乙两名研究员进行了第一阶段的试验研究，现统计他们分别在10次试验过程中某种试验工具的耗材量情况，如下表所示：
注：表格中均为正数．
已知甲研究员试验耗材量的极差为21，乙研究员试验耗材量的第70百分位数为28.5，从甲、乙两名研究员中选出试验耗材量较为稳定的人员．
40．（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学猜题卷（八））2023年11月10日，第六届中国国际进口博览会圆满落下帷幕.在各方共同努力和大力支持下，本届进博会办成了一届高标准、高质量、高水平的全球经贸盛会，为世界经济复苏和全球发展繁荣做出积极贡献.本届进博会优化了志愿者服务，为参展商提供了更加准确、细致的服务.为了解参展商对志愿者服务的满意度，组委会组织了所有的参展商对志愿者服务进行评分（满分100分），并从评分结果中随机抽取100份进行统计，按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求出的值和参展商对志愿者服务评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
(2)以频率估计概率，样本估计总体，从所有参展商的评分结果中随机抽取3份，将记为评分不低于90分的份数，求的分布列和数学期望.
41．（上海市浦东新区2024届高三学期期中教学质量检测数学试卷）某商店随机抽取了当天100名客户的消费金额，并分组如下：，，，…，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图.
(1)若该店当天总共有1350名客户进店消费，试估计其中有多少客户的消费额不少于800元；
(2)若利用分层随机抽样的方法从消费不少于800元的客户中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率是多少；
(3)为吸引顾客消费，该商店考虑两种促销方案.方案一：消费金额每满300元可立减50元，并可叠加使用；方案二：消费金额每满1000元即可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响.中奖1次当天消费金额可打9折，中奖2次当天消费金额可打6折，中奖3次当天消费金额可打3折.若两种方案只能选择其中一种，小王准备购买的商品又恰好标价1000元，请帮助他选择合适的促销方案并说明理由.
类型
共同点
各自特点
相互关系
使用范围
简单随机抽样
抽样过程都是不放回抽样，每个个体被抽到的机会均等，总体容量N，样本容量n，每个个体被抽到的概率
从总体中随机逐个抽取
总体容量较小
系统抽样
总体均分几段，每段T个，
第一段取a1，
第二段取a1+T，
第三段取a1+2T，
……
第一段简单随机抽样
总体中的个体个数较多
分层抽样
将总体分成n层，每层按比例抽取
每层按简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
成绩/分





频数
8
28
20
12
星期
一
二
三
四
五
六
日
时长（分钟）
60
150
30
60
10
90
120
0627
4313
2432
5327
0941
2512
6317
6323
2616
8045
6011
1410
9577
7424
6762
4281
1457
2042
5332
3732
2707
3607
5124
5179
3014
2310
2118
2191
3726
3890
0140
0523
2617
人员
甲
乙
命中环数
数据分组区间
频数
15
18
6
5
6
甲
18
15
25
26
24
25
29
20
32
乙
15
20
20
25
23
25
30
35
30