专题36 圆锥曲线基础过关小题 -2025年新高考艺术生数学突破讲义

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一．椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：
注明：当时，点的轨迹是线段；
当时，点的轨迹不存在.
二．椭圆的方程、图形与性质
椭圆的方程、图形与性质
三、双曲线的定义
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为
.
注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.
（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线.
（3）时，点的轨迹不存在.
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：
= 1 \* GB3 ①条件“”是否成立； = 2 \* GB3 ②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用.
四、双曲线的方程、图形及性质
双曲线的方程、图形及性质.
五、抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.
注若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点.
六、抛物线的方程、图形及性质
抛物线的标准方程有4种形式：，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向
三、抛物线中常用的结论
1、点与抛物线的关系
（1）在抛物线内（含焦点）.
（2）在抛物线上.
（3）在抛物线外.
2、焦半径
抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，.
3、的几何意义
为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大.
4、焦点弦
若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：
（1）.
（2）.
（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为.
焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）.
（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）.
【典型例题】
例1．（2024·吉林长春·模拟预测）已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于两点，若，则 （ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【解析】由题意可得，即，
由焦点弦公式可得：.
故选：D.
例2．（2024·宁夏固原·一模）已知抛物线的焦点为，顶点为，上一点位于第二象限，若，则直线的斜率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则有，，
则有，即，
故，故.
故选：D.
例3．（2024·高三·河南·阶段练习）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点均在轴上，椭圆的面积为，且椭圆的离心率为，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设椭圆的标准方程为，焦距为，
则解得椭圆的标准方程为．
故选：A．
例4．（2024·陕西榆林·二模）已知为双曲线的两个焦点，为上一点，若，且为等腰三角形，则的离心率为（ ）
A．B．2C．或D．2或3
【答案】C
【解析】因为，所以可设，
依题意可得：，则的离心率；
或，则的离心率.
故选：C
例5．（2024·高三·四川绵阳·阶段练习）过双曲线：左焦点为和点直线与双曲线的交点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】由题意得双曲线：左焦点为，
则直线l的斜率为，
故直线l的方程为，而双曲线的渐近线方程为，
故直线l与平行，且l过双曲线的左焦点，
故直线与双曲线的交点个数是1，
故选：B
例6．（2024·高三·湖北·开学考试）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点关于其准线的对称点为，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意，设抛物线的方程为，
可得焦点坐标，准线方程为，
设焦点关于准线的对称点为，可得，解得，
因为点关于其准线的对称点为，可得，解得，
所以抛物线的方程为.
故选：A.
例7．（2024·四川泸州·二模）已知点P在椭圆C：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解析】因为椭圆C：
所以该椭圆，，则，
设椭圆的右焦点为，连接，记线段的中点为，连接，
因为，所以，
因为分别为的中点，所以，
又，所以.
故选：B.
例8．（2024·陕西商洛·三模）已知点在抛物线上，抛物线的准线与轴交于点，线段的中点也在抛物线上，抛物线的焦点为，则线段的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
如图，不妨设点在第一象限，依题知是的中位线，可知，过向准线做垂线，垂足分别为，
同理是的中位线，，由抛物线定义知，故得，
又，则点横坐标是，代入可得其纵坐标为，故.
故选：C．
例9．（2024·四川绵阳·一模）已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，
即点在抛物线的准线上，又由抛物线的准线方程为，则，则抛物线的焦点为，
则双曲线的左顶点为，即
点在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为，由双曲线的性质，可得，
则，则焦距为，
故选：B
例10．（2024·高二·山西太原·阶段练习）已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由可得椭圆，此时离心率为，
此时充分性成立；
若椭圆的离心率为，当时，可得离心率为，解得，
即必要性不成立；
综上可知，“”是“椭圆的离心率为”的充分不必要条件.
故选：A
例11．（2024·北京房山·一模）双曲线的离心率是 ．
【答案】
【解析】由双曲线可得：，
所以双曲线的离心率是.
故答案为：.
例12．（2024·湖南·二模）已知椭圆与双曲线，椭圆的短轴长与长轴长之比大于，则双曲线离心率的取值范围为 .
【答案】
【解析】依题意，对于椭圆方程，对于双曲线方程，.
不妨设，则，于是，由复合函数的单调性可得函数在区间上单调递增，
故，即，故双曲线离心率的取值范围为.
故答案为：.
例13．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点是在第一象限内的一点，且，过点作直线交于两点（异于点）．若直线关于直线对称，则直线的斜率为 ．
【答案】
【解析】抛物线的准线方程为，解得，
所以抛物线，
设直线，代入抛物线方程，
消去并整理得
，代入，得，
，
设直线的斜率为直线关于直线对称，，
直线，同理可得，
则直线的斜率．
故答案为：.
例14．（2024·全国·模拟预测）关于双曲线，四位同学给出了四个说法：
小明：双曲线的实轴长为8；
小红：双曲线的焦点到渐近线的距离为3；
小强：双曲线的离心率为；
小同：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为1；
若这4位同学中只有1位同学的说法错误，则说法错误的是 ．（横线上填“小明”、“小红”、“小强”或“小同”）
【答案】小强
【解析】假设小明说法正确，则，即，
又小红说法正确，则双曲线的焦点到渐近线的距离为，
则此时双曲线为，则，双曲线的离心率为，
双曲线C上的点到焦点距离的最小值为，
综上，小明、小红、小同的说法正确的，小强的说法错误.
故答案为：小强.
例15．（2024·安徽池州·二模）造纸术是中国四大发明之一，彰显了古代人民的智慧.根据史料记载盛唐时期折纸艺术开始流行，19世纪折纸与数学研究相结合，发展成为折纸几何学.在一次数学探究课上，学生们研究了圆锥曲线的包络线折法.如图，在一张矩形纸片上取一点，记矩形一边所在直线为，将点折叠到上（即），不断重复这个操作，就可以得到由这些折痕包围形成的抛物线，这些折痕就是抛物线的包络线.在抛物线的所有包络线中，恰好过点的包络线所在的直线方程为 .

【答案】
【解析】依题意，抛物线的每条包络线与该抛物线相切，
显然过点的包络线所在的直线斜率存在，设方程为，
由消去并整理得：，
则，解得，
所以所求直线方程为.
故答案为：
例16．（2024·辽宁·模拟预测）已知M，N为抛物线C：上不关于x轴对称的两点，线段的中点到C的准线的距离为3，则直线的方程可能是 .（写出满足条件的一个方程即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】设直线，，联立，，
，，
，
因为线段的中点到C的准线的距离为3，抛物线的准线为：，
所以，所以.
令，得，直线的方程可能是.
故答案为：（答案不唯一）
例17．（2024·北京朝阳·一模）已知抛物线的焦点为，准线方程为，则 ；设为原点，点在抛物线上，若，则 .
【答案】 /0.5
【解析】由抛物线准线方程为，故，
则，，由在抛物线上，
故，
由，可得，
即，即.
故答案为：；.
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·四川南充·二模）已知，是实数，则“”是“曲线是焦点在轴的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若曲线是焦点在轴的双曲线，则，，所以，故必要性成立，
若，满足，但是曲线是焦点在轴的双曲线，故充分性不成立，
所以“”是“曲线是焦点在轴的双曲线”的必要不充分条件.
故选：B
2．（2024·广东·一模）双曲线的顶点到其渐近线的距离为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【解析】依题意，双曲线的顶点为，渐近线方程为，
所以双曲线的顶点到其渐近线的距离为.
故选：C
3．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知椭圆，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线，的斜率之积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，则有，即有，
由椭圆方程不妨设短轴端点的坐标分别为、，
则.
故选：C.
4．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的焦距为6，直线与双曲线的一条渐近线平行，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【解析】双曲线的渐近线方程为，依题意，，
由双曲线焦距为6，得，所以.
故选：A
5．（2024·全国·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，且的一条渐近线与直线平行，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意知，解得，故双曲线的标准方程为．
故选：A．
6．（2024·陕西西安·一模）已知圆，直线，若圆上任意一点关于直线的对称点仍在圆上，则点必在（ ）
A．一个离心率为的椭圆上B．一个离心率为2的双曲线上
C．一个离心率为的椭圆上D．一个离心率为的双曲线上
【答案】D
【解析】圆的圆心为，
依题意可知直线过圆的圆心，则，
所以点必在双曲线即上，且该双曲线的离心率．
故选：D.
7．（2024·湖南·二模）若椭圆的焦距为2，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【解析】当时，，解得，
则离心率为，
当时，，解得，
则离心率为.
故选：C
8．（2024·山西朔州·一模）已知椭圆与双曲线有且仅有两个交点，若椭圆的离心率为，则椭圆的短轴长为（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】D
【解析】因为椭圆与双曲线有且只有两个交点，椭圆的左右顶点与双曲线的顶点重合，
而双曲线的顶点为，故，
设椭圆的半焦距为，则，故，故短轴长为，
故选：D.
二、多选题
9．（2024·江苏南通·二模）已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则（ ）
A．C的虚轴长为B．C的离心率为
C．的最小值为2D．直线PF的斜率不等于
【答案】AD
【解析】双曲线的渐近线方程为，依题意，，解得，
对于A，的虚轴长，A正确；
对于B，的离心率，B错误；
对于C，点到直线的距离，即的最小值为，C错误；
对于D，直线的斜率为，而点不在上，点在上，则直线PF的斜率不等于，D正确.
故选：AD
10．（2024·湖北·一模）某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（ ）
A．是它的一条对称轴B．它的离心率为
C．点是它的一个焦点D．
【答案】ABD
【解析】反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为，
容易知道是实轴，是虚轴，坐标原点是对称中心，
联立实轴方程与反比例函数表达式得实轴顶点，
所以，其中一个焦点坐标应为而不是，
由双曲线定义可知．
故选：ABD.
11．（2024·河北邯郸·三模）已知双曲线，则（ ）
A．的取值范围是B．的焦点可在轴上也可在轴上
C．的焦距为6D．的离心率的取值范围为
【答案】AC
【解析】对于A，表示双曲线，，解得，故A正确；
对于B，由A项可得，故，的焦点只能在轴上，故B错误；
对于C，设的半焦距为，则，，即焦距为，故C正确；
对于D，离心率，，，的取值范围是，故D错误．
故选：AC.
12．（2024·广东深圳·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．离心率
C．面积的最大值为12
D．以线段为直径的圆与圆相切
【答案】BCD
【解析】因为椭圆，则，
由椭圆的定义可知，，故A错误；
由椭圆离心率公式可得，故B正确；
因为设点到轴的距离为，显然，
则面积的最大值为，故C正确；
线段的中点为，则以线段为直径的圆的方程为，
其圆心为，半径，
且圆的圆心为，半径，
则两圆的圆心距为，
即两圆外切，故D正确；
故选：BCD
13．（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点的轨迹为椭圆
B．若，则点的轨迹为双曲线
C．若，则点的轨迹为一条直线
D．若，则点的轨迹为圆
【答案】BCD
【解析】对于选项A：，则点的轨迹为线段，故A错误；
对于选项B：，则点的轨迹是双曲线，故B正确；
对于选项：设，
由，可得，
化简得，表示一条直线，故C正确；
对于选项D：由，可得，
则点的轨迹是以为直径的圆，故D正确.
故选：BCD.
14．（2024·高三·新疆·阶段练习）连接椭圆的三个顶点所围成的三角形面积为，记椭圆C的右焦点为，则（ ）
A．B．椭圆的离心率为
C．椭圆的焦距为D．椭圆上存在点P，使
【答案】BD
【解析】椭圆的左顶点为，右顶点为，上顶点为，下顶点为，
因为连接椭圆的三个顶点所围成的三角形面积为，
若为左、右顶点与上（下）顶点时，则，解得，符合题意；
若为上、下顶点与左（右）顶点时，则，解得，符合题意；
综上可得，故A错误；
则椭圆方程为，所以，则椭圆的离心率，故B正确；
椭圆的焦距为，故C错误，
因为椭圆C的右焦点为，所以，即，
所以在椭圆上存在点P，使，故D正确.
故选：BD
15．（2024·高三·云南楚雄·期末）已知椭圆：，则（ ）
A．的长轴长为B．当时，的焦点在轴上
C．的焦距可能为4D．的短轴长与长轴长的平方和为定值
【答案】BCD
【解析】若，则椭圆焦点在轴上，，长轴长为：，A错误.
当时，，则的焦点在轴上，B正确.
当时，的焦距为4，C正确.
因为，所以，D正确.
故选：BCD
16．（2024·高三·辽宁抚顺·期末）直线过抛物线的焦点，且与交于M，N两点，则（ ）
A．B．
C．的最小值为6D．的最小值为12
【答案】BD
【解析】对于A，B，由直线与轴的交点坐标为，则，即，故A错误，B正确；
对于C，D，当直线垂直于轴，即时，取得最小值，且最小值为．故C错误，D正确．
故选：BD．
17．（2024·云南昭通·模拟预测）已知椭圆，直线与椭圆相交于两点，下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．椭圆的长轴长为2
C．若直线的方程为，则右焦点到的距离为
D．若直线过点，且与轴平行，则
【答案】AC
【解析】由题意知，
对于A选项：,则A正确；
对于B选项：长轴为：,故B错误；
对于选项：的方程为，
所以右焦点到的距离为，故C正确；
对于选项：方法过且与轴平行，
为通径，.
方法过且与轴平行，
的方程为，由，故D错误，
故选：AC.
18．（2024·高三·云南·阶段练习）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】由于焦点在直线上，
当焦点在y轴上时，令，可得，所以焦点坐标为，
设方程为，由焦点坐标知，所以抛物线的标准方程为；
当焦点在x轴上时，令，可得，所以焦点坐标为，
设方程为，由焦点坐标知，所以抛物线的标准方程为，
故选：BC．
19．（2024·福建厦门·一模）设椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于A，B两点，若，且的周长为8，则（ ）
A．B．的离心率为
C．可以为D．可以为直角
【答案】AC
【解析】由，如下图周长为，故，
所以，椭圆离心率为，A对，B错；
当轴，即为通径时，且，
所以，故可以为，C对；
由椭圆性质知：当为椭圆上下顶点时最大，此时，
且，故，即不可能为直角，D错.
故选：AC
三、填空题
20．（2024·四川成都·二模）若抛物线过点，则该抛物线的焦点为 ．
【答案】
【解析】将代入抛物线方程，可得，即，
所以抛物线的焦点为．
故答案为：.
21．（2024·高三·山东烟台·阶段练习）已知定点B（3,0），点A在圆x2＋y2＝1上运动，∠AOB的平分线交线段AB于点M，则点M的轨迹方程是 ．
【答案】．
【解析】设，则，
设，
由为的角平分线，
可得，
即有，
可得,，
即，，
可得，，
则，
即为．
故答案为：．
22．（2024·河南郑州·二模）抛物线的准线方程为，则实数a的值为 .
【答案】/
【解析】依题可知，
则，
故答案为：.
23．（2024·内蒙古包头·一模）设抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线l与C交于P、Q两点，则 .
【答案】
【解析】抛物线的焦点为，
过F且斜率为2的直线l方程为：，设，，
联立得：，则，
所以.
故答案为：.
24．（2024·高三·天津南开·阶段练习）已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则等于 ．
【答案】
【解析】抛物线，即，
所以准线方程为，
因为抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，
所以，解得.
故答案为：
25．（2024·黑龙江吉林·二模）椭圆的左，右焦点分别为，，过焦点的直线交椭圆于A，B两点，设，，若的面积是4，则 .
【答案】/
【解析】由题意，则，
因为，
所以.
故答案为：.
26．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，，左焦点为，为坐标原点，若，，成等差数列，则的离心率为 ．
【答案】/
【解析】由，，成等差数列，
得，即，
所以，即，
又，得．
故答案为：
27．（2024·甘肃·一模）若曲线，且经过这三点中的两点，则曲线的离心率可能为 .（写出一个即可）.
【答案】（或填或）
【解析】当经过点时，得，解得，
此时曲线方程，
此时离心率为；
当经过点时，得，解得，
此时曲线方程，
此时离心率为；
当经过点时，得，解得，
此时曲线方程，
此时离心率为；
故答案为：（或填或）.
28．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知为椭圆的两焦点，P为椭圆C上一点，若的最大值为3，且焦距为2，则椭圆C的方程为
【答案】
【解析】设椭圆C的焦距为2c，由题意知，从而
又因为的最大值为，所以，解得，则，
从而椭圆C的方程为
故答案为：
29．（2024·河北沧州·一模）已知点为抛物线的焦点，直线为的准线，则点到直线的距离为 ．
【答案】8
【解析】根据抛物线方程可知，抛物线焦点为，准线为，所以点到直线的距离为8.
故答案为：8.
30．（2024·广西柳州·三模）已知过原点O的一条直线l与圆C：相切，且l与抛物线交于O，P两点，若，则 ．
【答案】3
【解析】由于圆心为，半径为，故直线一定有斜率，
设方程为，则，解得，
故直线方程为，
联立与可得或，
故，故，
故答案为：3
31．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则C的离心率为 .
【答案】
【解析】由直线的斜率为，故有，
即，则.
故答案为：.
32．（2024·湖南衡阳·二模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），（为坐标原点），，则 ．
【答案】
【解析】作抛物线的准线，记准线与轴的交点为，过作准线的垂线，垂足分别为，
过作轴的垂线，垂足分别为，如下所示：
设，
在△中，由抛物线定义可得：，
则，解得；
在△中，由抛物线定义可得：，
则，解得；
由题可知：，，解得；则.
故答案为：.
33．（2024·高三·陕西安康·阶段练习）在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线也是抛物线的一部分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中安全抛物线达到的最大高度为30米，碎片距离爆炸中的最远水平距离为60米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为 米．
【答案】60
【解析】如图，以安全抛物线达到的最大高度点为坐标原点，平行于底面的直线为x轴，
和地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则抛物线方程为，由题意可知，
代入可得，
即安全抛物线的焦点到其准线的距离为60米，
故答案为：60
34．（2024·高三·江苏·专题练习）已知分别为椭圆的左右焦点，为上一动点，为的左顶点，若，则的离心率为 ．
【答案】/
【解析】
由得：，即，
，即，整理可得：，的离心率.
故答案为：.
35．（2024·北京门头沟·一模）已知抛物线的焦点为，点在上，若，则到直线的距离为： ．
【答案】4
【解析】由点在上，的焦点为，准线为，知到直线的距离等于.
而，故到直线的距离为.
设的坐标为，由到直线的距离为，知，所以或.而，故.
所以到直线的距离为.
故答案为：.
36．（2024·陕西西安·二模）过抛物线C：焦点F的直线与C交于A，B两点，点，且，则直线AB的斜率为 ．
【答案】
【解析】抛物线C：的焦点，而，
由，得点在线段的中垂线上，
设，则，解得，
所以直线的斜率.
故答案为：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
统一方程
参数方程
第一定义
到两定点的距离之和等于常数2，即（）
范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
长轴长短轴长
长轴长短轴长
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点
、
、
焦距
离心率
点和椭圆
的关系
通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）
弦长公式
设直线与椭圆的两个交点为，,,
则弦长
（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）
标准方程
图形
y
x
B1
B2
F2
A2
A1
F1
B1
F1
x
y
A1
F2
B2
A2
焦点坐标
，
，
对称性
关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标
，
，
范围
实轴、
虚轴
实轴长为，虚轴长为
离心率
渐近线方程
令，
焦点到渐近线的距离为
令，
焦点到渐近线的距离为
点和双曲线
的位置关系
共渐近线的双曲线方程
弦长公式
设直线与双曲线两交点为，，.
则弦长，
，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数.
通径
通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为
标准方程
y
x
O
F
l
y
x
O
F
l
F
y
x
O
l
图形
y
x
O
F
l
对称轴
轴
轴
顶点
原点
焦点坐标
准线方程