备战2025年高考数学精品课件第七章 第1讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积

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1. 空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征
规律总结1. 几种特殊棱柱的结构特征及之间的关系
2. 正棱锥的结构特征
(2)旋转体的结构特征
直角三角形　
2. 立体图形的直观图
(1)画法：常用斜二测画法.
a.原图形中 x 轴、 y 轴、 z 轴两两垂直，直观图中，∠x'O'y'＝⑬ (O'为 x'轴与y'轴的交点)，z'轴与x'轴和y'轴所在平面⑭ ⁠.
b.原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍⑮ 于坐标轴.
c.平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度⑯ ，平行于 y 轴的线段长 度在直观图中变为原来的⑰ ⁠.
(3)用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积与原图形面积的关系： S 直观图＝ ⑱ S 原图形.
3. 简单几何体的表面积与体积
(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
π(r＋r')l　
(2)简单几何体的表面积与体积
1. [易错题]如图，长方体 ABCD －A'B'C'D'被平面 EFGH 截去几何体B'C'HEFG，其中 EH ∥A'D'，则剩下的几何体是(　C　)
2. [多选/教材改编]给出下列命题，其中错误的是(　ABD　)
3. [易错题]圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为 ⁠ ⁠.
24π2＋18π
4. 用一个半径为10 cm的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被 一阵风吹倒，如图所示，则被吹倒后该无底圆锥的最高点到桌面的距离为 ⁠.
[解析]　画出示意图，如图所示，设圆锥的底面半径为 r ，母线长为 l .
根据题意知 l ＝10 cm，且2π r ＝π l ，故 r ＝5 cm.
所以圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10 cm.
5. 如图，已知正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1的棱长为1，则四棱锥 A 1－ BB 1 D 1 D 的体 积为 ⁠.
命题点1　基本立体图形角度1　结构特征例1 [多选/2023新高考卷Ⅰ]下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体 容器(容器壁厚度忽略不计)内的有(　ABD　)
角度2　直观图例2 如图，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'＝6 cm， O'C'＝2 cm，C'D'＝2 cm，则原图形的形状是 ，其面积为 ⁠.
例3 长方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中， AB ＝1， AD ＝ AA 1＝2， E 为棱 AA 1上的动 点，平面 BED 1交棱 CC 1于点 F ，则四边形 BED 1 F 的周长的最小值为(　B　)
[解析]　作出长方体如图1，将其侧面展开，如图2所示，当点 E 为 BD 1与 AA 1的交 点，点 F 为BD'1与 CC 1的交点时，截面四边形 BED 1 F 的周长最小，
方法技巧求解空间几何体表面上两点间的最短距离问题或折线段长度和的最小值问题，常利 用几何体的侧面展开图，转化为求平面两点间的最短距离问题.
训练1 (1)[2023全国卷甲]在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中， E ， F 分别为 AB ， C 1 D 1的中点.以 EF 为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点.
[解析]　取 AB 的垂直平分线 EO 为 y 轴，则等腰梯形 ABCD 和其直观图分别如图1和 图2所示.过点 E '作 E ' F ⊥ A ' B '于点 F .
[解析]　设圆台对应圆锥的顶点为 O ，将圆锥沿 AB 所在直线展开如图所示，设点 A 在展开图中的点为 A '，依题意得，蚂蚁经过的最短路径为 A ' B .
(2)[2021全国卷甲]已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积 为 ⁠.
方法技巧求空间几何体的表面积的常见类型及解题思路
注意　 组合体的表面积要注意对衔接部分的处理.
方法技巧求空间几何体体积的常用方法
训练3 (1)十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图1中的故宫角楼的顶部 即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体(图2).这两 个直三棱柱有一个公共侧面 ABCD . 在底面 BCE 中，若 BE ＝ CE ＝3，∠ BEC ＝ 120°，则该几何体的体积为(　C　)
角度2　体积的最值问题例6 [2022全国卷乙]已知球 O 的半径为1，四棱锥的顶点为 O ，底面的四个顶点均在 球 O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　C　)
方法技巧求解体积的最值问题的方法(1)几何法：根据几何体的结构特征，先确定体积表达式中的常量与变量，然后利用 几何知识判断变量什么情况下取得最值，从而确定体积的最值.(2)代数法：先设变量，求出几何体的体积表达式，然后转化为函数最值问题或利用 不等式求解即可.
1. [命题点1角度3]在正三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1中， AB ＝ AA 1＝2， F 是线段 A 1 B 1上 的动点，则 AF ＋ FC 1的最小值为 ⁠.
图1　　 图2
[解析]　将正三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1(如图1)中的△ A 1 B 1 C 1沿 A 1 B 1翻折至平面 ABB 1 A 1上，如图2所示.在图2中，连接 AC 1，则 AF ＋ FC 1≥ AC 1.
因为 AA 1＝ A 1 C 1＝2，且∠ AA 1 C 1＝90°＋60°＝150°，
设 A 1 C 1∩ B 1 D 1＝ O 1， AC ∩ BD ＝ O 2，连接 O 1 O 2，如图所示.因为上、下底面中 心的连线与底面垂直，所以 O 1 O 2＝ h ，且四棱台的四条侧棱长相等.
4. [命题点3角度1]如图1，在直角梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AD ＝ AB ＝4， BC ＝ 2，将四边形 BCFE 沿中位线 EF 折起，使得∠ AEB 为直角，连接 AB ， CD ，如图 2，则所得的几何体的体积为 ⁠.
1. [2024福州市一检]一个正四棱台形油槽可以装煤油190 000 cm3，其上、下底面边 长分别为60 cm和40 cm，则该油槽的深度为(　D　)
2. [2024武汉部分学校调考]某玻璃制品厂需要生产一种如图1所示的玻璃杯，该玻璃 杯可以近似看成是由一个圆柱挖去一个圆台得到的，其近似模型的直观图如图2所 示(图中数据单位为cm)，则该玻璃杯近似模型的体积(单位：cm3)为(　A　)
4. [2024辽宁抚顺德才高级中学模拟]2023年3月12日，在马来西亚吉隆坡举行的Yng Jun KL Speedcubing比赛半决赛中，来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩 打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录.一个三阶魔方由27个单位正方 体组成，如图，把魔方的中间一层转动了45°，则该魔方的表面积增加了(　C　)
9. [2024江西分宜中学、临川一中等校联考]在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的 底面直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积 S ＝ ⁠ cm2.
2 600π
11. [2023山西运城高三模拟]巴普士(约公元3～4世纪)，古希腊亚历山大学派著名几 何学家，生前有大量的著作，但大部分遗失在历史长河中，仅有《数学汇编》保存 下来.《数学汇编》一共8卷，在《数学汇编》第3卷中记载着这样一个定理：“如果 在同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条 直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于该闭合图形的面积与该闭合图形的重心旋 转所得周长的积”.已知在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AB ⊥ BC ， AB ＝ BC ＝2 AD ＝4，如图所示，利用上述定理可求得梯形 ABCD 的重心 G 到点 B 的距离为(　C　)
12. [2024四川部分学校高三联考]已知某圆柱的轴截面是边长为2的正方形 ABCD ， 在该圆柱的底面内任取一点 E ，则当四棱锥 E － ABCD 的体积最大时，该四棱锥的 侧面积为(　B　)
13. [2023昆明市“三诊一模” ]某机床厂工人将一个实心圆锥的旧零件改造成一个正 四棱柱的新零件，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，下底面在圆锥的底面内.已知该 圆锥的底面圆半径为3 cm，高为3 cm，则该正四棱柱体积(单位：cm3)的最大值为 (　B　)
14. [多选/2022新高考卷Ⅱ]如图，四边形 ABCD 为正方形， ED ⊥平面 ABCD ， FB ∥ ED ， AB ＝ ED ＝2 FB . 记三棱锥 E － ACD ， F － ABC ， F － ACE 的体积分别为 V 1， V 2， V 3，则(　CD　)
15. [2023浙江省绍兴市模拟]如图，在棱长均为2的正四面体 ABCD 中， M 为 AC 的中 点， E 为 AB 的中点， P 是 DM 上的动点， Q 是平面 ECD 上的动点，则 AP ＋ PQ 的 最小值是 ⁠.
[解析]　如图，作 MG ⊥ CE 于点 G ，连接 DG ，易知平面 CDE ⊥平面 ABC ，平面 CDE ∩平面 ABC ＝ CE ，则 MG ⊥平面 CDE ，故 DG 为 DM 在平面 CDE 上的射影.将 △ ADM 沿 DM 翻折至与△ DMG 共面，记翻折后的点 A (即 A ')到 DG 的距离为 hA ， 则 hA 为△ A ' DG 的边 DG 上的高，且 AP ＋ PQ ＝ A ' P ＋ PQ ≥ hA .
16. 碳70(C70)是一种碳原子族，可高效杀灭癌细胞，它是由70个碳原子构成的，其 结构是由五元环(正五边形面)和六元环(正六边形面)组成的封闭的凸多面体(如图)， 共37个面，则其六元环的个数为(　B　)
[解析]　根据题意，顶点数就是碳原子数，即为70，每个碳原子被3条棱共用，面数 为37，设有正五边形 x 个，正六边形 y 个，则 x ＋ y ＝37，5 x ＋6 y ＝70×3，解得 x ＝12， y ＝25，故正六边形个数为25，即六元环的个数为25，故选B.