备战2025年高考数学精品课件第五章 第3讲 等比数列

这是一份备战2025年高考数学精品课件第五章 第3讲 等比数列，共60页。PPT课件主要包含了2等比中项的概念，规律总结，等比数列的单调性，等比数列的性质，或－10，方法技巧，ACD，－∞3等内容，欢迎下载使用。
1. 等比数列的概念(1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数， 那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q ( q ≠0)表示.注意　 (1)等比数列中的任何一项都不为0，且公比 q ≠0.(2)若一个数列是常数列， 则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，如：0，0，0，….
如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ，使 a ， G ， b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等 比中项，此时 G 2＝ ab .
注意　 只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个.
(3)等比数列的通项公式及其变形
通项公式：① ，其中 a 1是首项， q 是公比.
通项公式的变形： an ＝ am · qn － m .
an ＝ a 1· qn －1　
当 q ＝1时，{ an }是常数列；当 q ＜0时，{ an }是摆动数列.
2. 等比数列的前 n 项和
设等比数列{ an }的公比为 q ，前 n 项和为 Sn .
当 q ＝1时，因为 a 1≠0，所以 Sn ＝ na 1.由此可知，数列{ Sn }的图象是函数 y ＝ a 1 x 的图象上一系列孤立的点.
注意　 在运用等比数列的前 n 项和公式时，要注意对 q ＝1与 q ≠1进行讨论.
－ aqn
(1)等比数列项的性质
设数列{ an }，{ bn }是等比数列.
a.若 m ＋ n ＝ k ＋ l ，则⑤ ，其中 m ， n ， k ， l ∈N*，反之，不一定 成立，如当数列{ an }是非零常数列时，此结论不成立.
b.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ak ， ak ＋ m ， ak ＋2 m ，…( k ， m ∈N*) 仍是等比数列，公比为⑥ ⁠.
d.若 an ＞0，则数列{lg an }是等差数列.
aman ＝ akal 　
(2)等比数列的前 n 项和的性质
设 Sn 是等比数列{ an }的前 n 项和.
a. Sm ＋ n ＝ Sn ＋ qnSm ＝ Sm ＋ qmSn .
b.当 q ≠－1(或 q ＝－1且 k 为奇数)时， Sk ， S 2 k － Sk ， S 3 k － S 2 k ，…是⑦ ⁠ 数列.
注意　 当 q ＝－1且 k 为偶数时， Sk ， S 2 k － Sk ， S 3 k － S 2 k ，…不是等比数列.
1. 下列说法正确的是(　B　)
2. [多选]已知数列{ an }是等比数列，公比为 q ，前 n 项和为 Sn ，则下列说法错误的 是(　BC　)
3. [易错题]设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若 a 1＝2， S 3＝6，则 S 4＝ ⁠ ⁠.
4. [教材改编]有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与 第四个数的和为21，中间两个数的和为18，则这四个数依次为 ⁠ ⁠.
3，6，12，18或
命题点1　等比数列的基本运算
例1 (1) [2023全国卷甲]设等比数列{ an }的各项均为正数，前 n 项和为 Sn ，若 a 1＝ 1， S 5＝5 S 3－4，则 S 4＝(　C　)
解法二　设等比数列{ an }的公比为 q ，由已知得1＋ q ＋ q 2＋ q 3＋ q 4＝5(1＋ q ＋ q 2) －4，整理得 q (1＋ q )( q 2－4)＝0，由于此数列各项均为正数，所以 q ＝2，所以 S 4 ＝1＋ q ＋ q 2＋ q 3＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.
(2)[2023天津高考]已知{ an }为等比数列， Sn 为数列{ an }的前 n 项和， an ＋1＝2 Sn ＋ 2，则 a 4的值为(　C　)
1. 等比数列基本运算中常用的数学思想
训练1 (1)[2022全国卷乙]已知等比数列{ an }的前3项和为168， a 2－ a 5＝42，则 a 6＝ (　D　)
(2)[全国卷Ⅰ]设{ an }是等比数列，且 a 1＋ a 2＋ a 3＝1， a 2＋ a 3＋ a 4＝2，则 a 6＋ a 7＋ a 8＝(　D　)
命题点2　等比数列的判定与证明
(1)求 b 1， b 2， b 3；
(2)判断数列{ bn }是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{ an }的通项公式.
判定与证明等比数列的常用方法
训练2 [2023江苏省七市模拟]已知数列{ an }满足 a 1＝1， a 2＝5， an ＋2＝5 an ＋1－6 an .
(1)证明：{ an ＋1－2 an }是等比数列.
[解析]　解法一　(1)∵ an ＋2＝5 an ＋1－6 an ，∴ an ＋2－2 an ＋1＝5 an ＋1－6 an －2 an ＋1＝3 an ＋1－6 an ＝3( an ＋1－2 an )，∵ a 1＝1， a 2＝5，∴ a 2－2 a 1＝3≠0，∴数列{ an ＋1－2 an }是首项为3，公比为3的等比数列.
(2)证明：存在两个等比数列{ bn }，{ cn }，使得 an ＝ bn ＋ cn 成立.
[解析]　解法一　(2)∵ an ＋2＝5 an ＋1－6 an ，∴ an ＋2－3 an ＋1＝5 an ＋1－6 an －3 an ＋1 ＝2 an ＋1－6 an ＝2( an ＋1－3 an ).∵ a 1＝1， a 2＝5，∴ a 2－3 a 1＝2≠0，∴数列{ an ＋1－3 an }是首项为2，公比为2的等比数列，∴ an ＋1－3 an ＝2 n 　①，由第(1)问得 an ＋1－2 an ＝3 n 　②，由②－①得， an ＝3 n －2 n .故存在通项为 bn ＝3 n ， cn ＝－2 n 的两个等比数列，使得 an ＝ bn ＋ cn 成立.
解法二　(2)由(1)知 an ＋1－2 an ＝3 n 　①，
由 an ＋2－3 an ＋1＝2( an ＋1－3 an )可得 an ＋1－3 an ＝2 n 　②，
由①－②得， an ＝3 n －2 n ，故存在通项为 bn ＝3 n ， cn ＝－2 n 的两个等比数列，使得 an ＝ bn ＋ cn 成立.
命题点3　等比数列的性质的应用
例3 (1)[2023新高考卷Ⅱ]记 Sn 为等比数列{ an }的前 n 项和，若 S 4＝－5， S 6＝21 S 2， 则 S 8＝(　C　)
(2)[2023全国卷乙]已知{ an }为等比数列， a 2 a 4 a 5＝ a 3 a 6， a 9 a 10＝－8，则 a 7 ＝ ⁠.
解法二　设数列{ an }的公比为 q .因为 a 4 a 5＝ a 3 a 6≠0，所以 a 2＝1.又 a 9 a 10＝ a 2 q 7· a 2 q 8＝ q 15＝－8，于是 q 5＝－2，所以 a 7＝ a 2 q 5＝－2.
训练3 (1)[2021全国卷甲]记 Sn 为等比数列{ an }的前 n 项和.若 S 2＝4， S 4＝6，则 S 6＝ (　A　)
[解析]　解法一　由题意知 a 1 a 5＝ a 2 a 4＝144　①， a 2＋ a 4＝
(2)若公比大于1的等比数列{ an }满足 a 1 a 5＝144， a 2＋ a 4＝30，则公比 q ＝ 　 　.
1. [命题点1/2023武汉调研]设正项等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若2 S 3＝3 a 2＋8 a 1， S 8＝2 S 7＋2，则 a 2＝(　A　)
2. [命题点1/新高考卷Ⅱ]已知公比大于1的等比数列{ an }满足 a 2＋ a 4＝20， a 3＝8.
(1)求{ an }的通项公式；
(2)求 a 1 a 2－ a 2 a 3＋…＋(－1) n －1 anan ＋1.
4. [命题点3/多选/2023鄂东南省级示范高中联考]设等比数列{ an }的公比为 q ，其前 n 项和为 Sn ，前 n 项积为 Tn ，且满足条件 a 1＞1， a 2 022 a 2 023＞1，( a 2 022－1)( a 2 023－ 1)＜0，则下列选项正确的是(　ACD　)
1. [2024南昌市模拟]已知公比为 q 的等比数列{ an }的前 n 项和 Sn ＝2 a 1－2 qn ，则 a 1 ＝(　B　)
2. [2023湖北黄冈模拟]已知数列{ an }是正项等比数列，数列{ bn }满足 bn ＝lg2 an .若 a 2 a 5 a 8＝212，则 b 1＋ b 2＋ b 3＋…＋ b 9＝(　C　)
3. [2024山东济南联考]记 Sn 为等比数列{ an }的前 n 项和，若 S 4＝5 S 2， S 6＝21，则 S 8＝(　C　)
4. [2023济南市模拟]在数列{ an }中，若 an ＝2 n ＋2 n －1×3＋2 n －2×32＋2 n －3×33＋… ＋22×3 n －2＋2×3 n －1＋3 n ，则 a 2 023＝(　C　)
5. 公元前1650年左右的埃及《莱因德纸草书》上载有如下问题：“十人分十斗玉 米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗.”在 上述问题中，第一人分得玉米(　C　)
6. [2024广东七校联考]在等比数列{ an }中，公比为 q .已知 a 1＝1，则0＜ q ＜1是数列 { an }是递减数列的(　C　)
7. [2024河南省模拟]已知等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，且公比 q ≠－1，若 S 12＝ S 4＋16 S 8，则公比 q ＝(　B　)
10. [2024福州市一检]已知等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，且 an ＋1＝ Sn ＋2.
解法二　(1)因为 an ＋1＝ Sn ＋2　①，
所以当 n ≥2时， an ＝ Sn －1＋2　②，
由①式得 a 2＝ a 1＋2，得 a 1＝2，所以 an ＝2 n .
(2)若 bn ＝lg2 a 2 n －1，求数列{ bn }的前 n 项和 Tn .
12. [2024辽宁大连二十四中模拟]设 Sn 为数列{ an }的前 n 项和，已知 a 1＝3，∀ m ， n ∈N*， Sm ＋ n ＝ SmSn ，则(　B　)
15. [2024贵阳市模拟]设 Sn 为数列{ an }的前 n 项和.已知4 an －3 Sn ＝ n .
(1)若数列{ an }为等比数列，求证：数列{ cn }为等比数列.
(2)若数列{ cn }为等比数列，且 bn ＋1≥ bn ，求证：数列{ an }为等比数列.