备战2025年高考数学精品课件第二章 第8讲 函数模型的应用

这是一份备战2025年高考数学精品课件第二章 第8讲 函数模型的应用，共59页。PPT课件主要包含了给出下列四个结论，①②③，ABD，ACD等内容，欢迎下载使用。
1. 几种常见的函数模型
2. 指数、对数、幂函数模型性质的比较
1. 下列说法正确的是(　D　)
2. 已知 f ( x )＝ x 2， g ( x )＝2 x ， h ( x )＝lg2 x ，当 x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增 长速度进行比较，下列选项中正确的是(　B　)
4. [2023湖南省株洲市模拟]“每天进步一点点”可以用数学来诠释，假如你今天的 数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过 y 天之后，你的数学水平 x 与 y 之间的函数关系式是(　C　)
①在[ t 1， t 2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在 t 2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在 t 3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在[0， t 1]，[ t 1， t 2]，[ t 2， t 3]这三段时间中，在[0， t 1]的污水治 理能力最强.
其中所有正确结论的序号是 ⁠.
[解析]　由题图可知甲企业的污水排放量在 t 1时刻高于乙企业，而在 t 2时刻甲、乙 两企业的污水排放量相同，故在[ t 1， t 2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙 企业强，故①正确；甲企业污水排放量与时间的关系图象在 t 2时刻切线的斜率的绝 对值大于乙企业，故②正确；在 t 3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达 标排放量，故都已达标，③正确；甲企业在[0， t 1]，[ t 1， t 2]，[ t 2， t 3]这三段时间 中，在[ t 1， t 2]这段时间的污水治理能力最强，故④错误.
方法技巧判断函数图象与实际变化过程是否吻合的方法(1)构建函数模型法：若易构建函数模型，则先建立函数模型，再结合模型选择函数 图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势， 验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
命题点2　已知函数模型求解实际问题
例2 (1)[2024武汉部分学校调考]某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购入污水 过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量 N (mg/L)与时间 t (h)的关系为 N ＝ N 0e－ kt ，其中 N 0为初始污染物的数量， k 为常数.若 在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30％，则可计算前6个小时共能过 滤掉污染物的(　C　)
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为 p 1， p 2， p 3，则(　ACD　)
方法技巧已知函数模型求解实际问题的步骤(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数；(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
命题点3　构造函数模型求解实际问题例3 (1)[2024四川省叙永一中模拟]净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯 净水的标准，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的 PP 棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构 成，其结构是多层式的，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假 设每一层 PP 棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质 含量为80 mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2 mg/L，则 PP 棉滤芯 的层数最少为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　A　)
(2)[2023南昌市模拟]某市出台两套出租车计价方案，方案一：2千米及2千米以内收 费8元(起步价)，超过2千米的部分每千米收费3元，不足1千米按1千米计算；方案 二：3千米及3千米以内收费12元(起步价)，超过3千米不超过10千米的部分每千米收 费2.5元，超过10千米的部分每千米收费3.5元，不足1千米按1千米计算.以下说法正 确的是(　C　)
方法技巧构建函数模型解决实际问题的步骤(1)建模：抽象出实际问题的数学模型；(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上 的解；(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，返回到原来的 实际问题中去，得到实际问题的解.
2. [命题点2/多选]第31届世界大学生夏季运动会在四川成都举行，大运会吉祥物“蓉 宝”备受人们欢迎.某大型超市举行抽奖活动，推出“单次消费满1 000元可参加抽 奖”的活动，奖品为若干个大运会吉祥物“蓉宝”.抽奖结果分为五个等级，等级 x 与获得“蓉宝”的个数 f ( x )的关系式为 f ( x )＝ p ＋e kx ＋ b ，已知三等奖比四等奖获得 的“蓉宝”多2个，比五等奖获得的“蓉宝”多3个，且三等奖获得的“蓉宝”数是 五等奖的2倍，则(　ABD　)
3. [命题点3]某省2023年退休人员基本养老金，采取定额调整、挂钩调整和适当倾斜 相结合的办法.(1)定额调整：每人每月增加41元养老金.(2)挂钩调整：按以下两部分 计算增加养老金，①按2022年12月本人基本养老金的1.25％确定月增加额；②按本 人缴费年限分段确定月增加额，其中，对15年(含)以下的部分，每满1年，月增加1.2 元，16年(含)以上至25年的部分，每满1年，月增加1.4元，26年(含)以上至35年的部 分，每满1年，月增加1.6元，36年(含)以上至45年的部分，每满1年，月增加1.8元， 46年(含)以上的部分，每满1年，月增加2元.(3)适当倾斜：2022年12月31日前，年满 70周岁不满75周岁、年满75周岁不满80周岁和年满80周岁的退休人员，每人每月分 别增加15元、30元和60元养老金.张女士今年57周岁，缴费年限是34年，2022年12月 的基本养老金为3 000元，则张女士2023年基本养老金的月增加额为(　B　)
[解析]　张女士年龄不满70周岁，没有“适当倾斜”的部分，只有定额调整41元和挂钩调整的两部分，其中按2022年12月本人基本养老金的1.25％确定的月增加额为3 000×1.25％＝37.5(元)；按本人缴费年限分段确定的月增加额为15×1.2＋10×1.4＋(34－15－10)×1.6＝46.4(元).因此张女士2023年基本养老金的月增加额为41＋37.5＋46.4＝124.9(元)，故选B.
1. [2023合肥市二检]Malthus模型是一种重要的数学模型.某研究人员在研究一种细菌 数量 N ( t )与时间 t 的关系时，得到的Malthus模型是 N ( t )＝ N 0e0.46 t ，其中 N 0是 t ＝ t 0时刻的细菌数量，e为自然对数的底数.若 t 时刻细菌数量是 t 0时刻细菌数量的6.3倍，则 t 约为(ln 6.3≈1.84)(　C　)
[解析]　因为 t 时刻细菌数量是 t 0时刻细菌数量的6.3倍，所以 N 0e0.46 t ＝6.3 N 0，即 e0.46 t ＝6.3，则0.46 t ＝ln 6.3≈1.84，得 t ≈4.故选C.
3. [2022北京高考]在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化 碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化 碳所处的状态与 T 和lg P 的关系，其中 T 表示温度，单位是K； P 表示压强，单位是 bar .下列结论中正确的是(　D　)
[解析]　对于A选项，当 T ＝220， P ＝1 026，即lg P ＝lg 1 026＞lg 103＝3 时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于B选项，当 T ＝270， P ＝128， 即lg P ＝lg 128∈(lg102，lg103)，即lg P ∈(2，3)时，根据图象可知，二氧化 碳处于液态；对于C选项，当 T ＝300， P ＝9 987，即lg P ＝lg 9 987＜lg104 ＝4时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于D选项，当 T ＝360， P ＝ 729，即lg P ＝lg 729∈(lg102，lg103)，即lg P ＝lg 729∈(2，3)时，根据图象 可知，二氧化碳处于超临界状态.故选D.
4. [多选/2024广东七校联考]尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研 究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量 E (单位：焦耳)与地震里氏震 级 M 之间的关系为lg E ＝4.8＋1.5 M ，则下列说法正确的是(　ACD　)
5. [2024江苏常州模拟]牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：θ＝(θ1－θ0)e－ kt ＋θ0，其中 t 为时间(单位：min)，θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温 度.假设在室内温度为20°C的情况下，一杯饮料由100 ℃降低到60 ℃需要20 min，则 此饮料从60 ℃降低到25 ℃需要 ⁠min .
(1)当投入 A ， B 两个项目的资金相同且 B 项目比 A 项目一年创造的利润高时，求投 入 A 项目的资金 x (单位：万元)的取值范围.
综上，投入 A 项目的资金 x (单位：万元)的取值范围为(10，40).
(2)若该公司共有资金30万，全部用于投资 A ， B 两个项目，则该公司一年分别投入 A ， B 两个项目多少万元时，创造的总利润最大？
8. [2024江苏省南京市第九中学模拟]天宫空间站的轨道高度为400～450千米，倾角 为42～43度，设计寿命为10年，长期驻留3人，总质量可达180吨，以进行较大规模 的空间应用.某项实验在空间站进行，实验开始时，某物质的含量为1.2 mg/cm3，每 经过1小时，该物质的含量就会减少20％，若该物质的含量不超过0.2 mg/cm3，则实 验进入第二阶段，那么实验进入第二阶段至少需要(需要的小时数取整数，参考数 据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　B　)
10. [2024河北省衡水市第十三中学模拟]为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的 主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近 期投放市场.根据市场调研情况，预计每枚纪念章的市场价 y (单位：元)与上市时间 x (单位：天)的数据如下表
(2)记你所选取的函数 y ＝ f ( x )，若对任意 x ∈[ k ，＋∞)( k ＞0)，不等式 kf ( x )－32 k －210≥0恒成立，求实数 k 的取值范围.