备战2025年高考数学精品课件第二章 第5讲 对数与对数函数

这是一份备战2025年高考数学精品课件第二章 第5讲 对数与对数函数，共60页。PPT课件主要包含了lgN，lnN，nlogaM，0＋∞，规律总结，y＝x，命题点1对数的运算，方法技巧，对数运算的一般思路，4＋∞等内容，欢迎下载使用。
1. 对数与对数运算(1)对数的概念一般地，如果 ax ＝ N ( a ＞0，且 a ≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 ① ，其中 a 叫做对数的② ， N 叫做③ ⁠.以10为底的对数叫做常用对数，记作④ ；以e为底的对数叫做自然对数，记 作⑤ ⁠.
(2)对数的性质、运算性质及换底公式
2. 对数函数的图象和性质
2. 如图，作直线 y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜ c ＜ d ＜1＜ a ＜ b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右对数函数的底数逐渐增大.
注意　 当对数函数的底数 a 的大小不确定时，需分 a ＞1和0＜ a ＜1两种情况进行讨论.
3. 反函数指数函数 y ＝ ax ( a ＞0，且 a ≠1)与对数函数 y ＝lg ax ( a ＞0，且 a ≠1)互为反函 数，它们的图象关于直线⑳ 对称(如图所示).反函数的定义域、值域分别是 原函数的值域、定义域，互为反函数的两个函数具有相同的单调性、奇偶性.
1. [全国卷Ⅰ]设 a lg34＝2，则4－ a ＝(　B　)
2. [多选]以下说法正确的是(　CD　)
3. lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2＝ ⁠.
5. 设lg a 2＝ m ，lg a 3＝ n ，则 a 2 m ＋ n 的值为 ⁠.
例1 (1)[2022天津高考]化简(2lg43＋lg83)(lg32＋lg92)的值为(　B　)
(2)[2022浙江高考]已知2 a ＝5，lg83＝ b ，则4 a －3 b ＝(　C　)
(1)转化：①利用 ab ＝ N ⇔ b ＝lg aN ( a ＞0且 a ≠1)对题目条件进行转化；②利用换 底公式化为同底数的对数运算.
(3)拆分：将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算性质化简.
(4)合并：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数的运算，然后逆用对数的运算性 质，转化为同底数对数的真数的积、商、幂的运算.
训练1 (1)[2024江苏省如皋市教学质量调研]我们知道，任何一个正实数 N 可以表示 成 N ＝ a ×10 n (1≤ a ＜10， n ∈Z)，此时lg N ＝ n ＋lg a (0≤lg a ＜1).当 n ＞0时， N 是 n ＋1位数，则41 000是(　C　)位数.(lg 2≈0.301 0)
[解析]　由lg41 000＝lg22 000＝2 000lg 2≈2 000×0.301 0＝602＝602＋lg 1，得 n ＝ 602，所以41 000是603位数.故选C.
命题点2　对数函数的图象及应用
A　 　　　　　　　　B
C　　　　　 　　　　D
方法技巧与对数函数有关的图象问题的求解策略1. 对于图象的识别，一般通过观察图象的变化趋势、利用已知函数的性质、函数图 象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2. 对于对数型函数的图象，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸 缩、对称变换而得到.
训练2 (1)[多选/2024辽宁省部分学校模拟]已知 ax ＝ b － x ( a ＞0且 a ≠1， b ＞0且 b ≠1)，则函数 y ＝lg a (－ x )与 y ＝ bx 的图象可能是(　AB　)
[解析]　作出函数 f ( x )的图象，如图所示，易知 f ( x )图象关于 y 轴对称.
命题点3　对数函数的性质及应用
方法技巧比较对数值大小的常用方法1. 底数相同时，比较真数的大小；真数相同时，利用换底公式转化为底数相同的形 式，再比较大小，也可以借助对数函数的图象比较大小.2. 当底数和真数都不相同时，常借助0，1或题干中出现的有理数等中间量比较大 小，也可以通过作差或者作商比较大小.
角度2　解对数方程或不等式
例4 (1)[2024湘豫名校联考]已知函数 f ( x )＝lg2｜ x ｜＋ x 2，则不等式 f (ln x )＋ f (－ln x )＜2的解集为(　D　)
1. (1)lg a f ( x )＝ b ⇔ f ( x )＝ ab ( a ＞0，且 a ≠1).
(2)lg af ( x )＝lg ag ( x )⇔ f ( x )＝ g ( x )( f ( x )＞0， g ( x )＞0).
2. 解简单对数不等式，先统一底数，化为形如lg a f ( x )＞lg ag ( x )的不等式，再借 助 y ＝lg ax 的单调性求解.
角度3　对数函数性质的应用例5 (1)[全国卷Ⅱ]设函数 f ( x )＝ln｜2 x ＋1｜－ln｜2 x －1｜，则 f ( x )(　D　)
(2)[全国卷Ⅰ]若2 a ＋lg2 a ＝4 b ＋2lg4 b ，则(　B　)
[解析]　令 f ( x )＝2 x ＋lg2 x ，因为 y ＝2 x 在(0，＋∞)上单调递增， y ＝lg2 x 在(0， ＋∞)上单调递增，所以 f ( x )＝2 x ＋lg2 x 在(0，＋∞)上单调递增.又2 a ＋lg2 a ＝4 b ＋2lg4 b ＝22 b ＋lg2 b ＜22 b ＋lg2(2 b )，所以 f ( a )＜ f (2 b )，所以 a ＜2 b .故选B.
对数型复合函数的单调性问题的求解策略
(1)对于 y ＝lg a f ( x )型的复合函数的单调性，有以下结论：函数 y ＝lg a f ( x )的单调 性与函数 u ＝ f ( x )( f ( x )＞0)的单调性在 a ＞1时相同，在0＜ a ＜1时相反.
(2)研究 y ＝ f (lg ax )型的复合函数的单调性，一般用换元法，即令 t ＝lg ax ，则只需 研究 t ＝lg ax 及 y ＝ f ( t )的单调性即可.
注意　 研究对数型复合函数的单调性，一定要坚持“定义域优先”原则，否则所得 范围易出错.
(2)[2024河南商丘高三名校联考]已知 a ＝lg64， b ＝lg53， c ＝lg76，则(　B　)
指数、对数、幂值比较大小的策略
策略1　直接法例6 (1)[2023南京六校联考]若 a ＝0.40.5， b ＝0.50.4， c ＝lg324，则 a ， b ， c 的大小 关系是(　D　)
(2)[2022全国卷甲]已知9 m ＝10， a ＝10 m －11， b ＝8 m －9，则(　A　)
策略2　图象法例7 [2024山西大学附中模拟]若e a ＝－ln a ，e－ b ＝ln b ，e－ c ＝－ln c ，则(　B　)
[解析]　在同一直角坐标系中作出 y ＝e x ， y ＝e－ x ， y ＝ln x ， y ＝－ln x 的图象， 如图所示，由图象可知 a ＜ c ＜ b .故选B.
策略3　构造函数法例8 [全国卷Ⅰ]设 x ， y ， z 为正数，且2 x ＝3 y ＝5 z ，则(　D　)
[解析]　令2 x ＝3 y ＝5 z ＝ k ，由 x ， y ， z 为正数，知 k ＞1.
方法技巧指数、对数、幂值比较大小的策略1. 直接利用函数的性质，题目中出现的常数，特殊值(如0，1)等比较大小.2. 当待比较大小的代数式无法单独分离出来时，通常会考虑代数式的几何意义，通 过图象，利用交点坐标比较大小.3. 式子结构比较麻烦，或呈现一定规律时，通常会构造新函数，利用新函数的单调 性比较大小.4. 作差、作商也是比较大小常用的方法.
训练4 (1) [2024山东省枣庄市第三中学模拟]设 x ＝e0.03， y ＝1.032， z ＝ln(e0.6＋e0.4)，则 x ， y ， z 的大小关系为(　A　)
(2)[多选/2023黑龙江西北八校联考]已知实数 x ， y ， z 满足 z ·ln x ＝ z ·e y ＝1，则下 列关系式可能成立的是(　ABC　)
由直线 m ＝ m 1与三个函数图象的交点情况可得 z ＞ x ＞ y ，由直线 m ＝ m 2与三个函 数图象的交点情况可得 x ＞ z ＞ y ，由直线 m ＝ m 3与三个函数图象的交点情况可得 x ＞ y ＞ z .故选ABC.
(3)[多选/2024广东省汕头市金禧中学模拟]若0＜ c ＜ b ＜1＜ a ，则下列不等式正确 的是(　ABC　)
[解析]　对选项A：因为 a ＞1＞ b ＞0，且 f ( x )＝lg2 024 x 为增函数，所以 f ( a )＞ f ( b )，即lg2 024 a ＞lg2 024 b ，故A正确.
对选项C，D：由题意易知 ac ＜ ab 且 c － b ＜0， a － c ＞0，所以( c － b ) ac ＞( c － b ) ab ，( a － c ) ac ＜( a － c ) ab ，所以C正确，D错误. 故选ABC.
6. [思维帮角度1，3]已知实数 a ， b 满足 a ＝lg23＋lg86，6 a ＋8 a ＝10 b ，则下列判 断正确的是(　C　)
再比较 b 与2的大小：因为 a ＞2，所以6 a ＋8 a ＞62＋82＝102，又6 a ＋8 a ＝10 b ，所以 b ＞2.
最后比较 a 与 b 的大小：令 f ( x )＝6 x ＋8 x －10 x ， x ＞2， t ＝ x －2， t ＞0，则 x ＝ t ＋2，令 g ( t )＝6 t ＋2＋8 t ＋2 －10 t ＋2， t ＞0，则 g ( t )＝36×6 t ＋64×8 t －100×10 t ＜36×8 t ＋64×8 t －100×10 t ＝100×8 t －100×10 t ＜0，即当 x ＞2时，6 x ＋8 x ＜10 x ，所以6 a ＋8 a ＝10 b ＜10 a ，所以 b ＜ a .综上， a ＞ b ＞2.故选C.
8. [思维帮角度3]已知 a ＜5且 a e5＝5e a ， b ＜4且 b e4＝4e b ， c ＜3且 c e3＝3e c ，则 (　D　)
1. [2023宁夏六盘山高级中学模拟]若 f ( x )满足对定义域内任意的 x 1， x 2，都有 f ( x 1)＋ f ( x 2)＝ f ( x 1· x 2)，则称 f ( x )为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是(　D　)
[解析]　因为lg3 x 1＋lg3 x 2＝lg3 x 1 x 2，满足 f ( x 1)＋ f ( x 2)＝ f ( x 1· x 2)，所以 f ( x )＝ lg3 x 是“好函数”，故选D.
2. [2024四川成都模拟]已知 a ＝lg0.70.3， b ＝lg0.30.7， c ＝0.5，则 a ， b ， c 的大小 关系为(　D　)
4. [2024河北石家庄市第十五中学模拟]已知函数 f ( x )＝lg( x 2－ ax ＋12)在[－1，3]上 单调递减，则实数 a 的取值范围是(　B　)
5. [2024陕西咸阳模拟]已知 a ＝2－0.01， b ＝lg510， c ＝lg612，则 a ， b ， c 的大小 关系为(　A　)
6. [2023河南部分学校联考]设 a ＝lg23， b ＝lg4 x ， c ＝lg865，若 a ， b ， c 中 b 既 不是最小的也不是最大的，则 x 的取值范围是(　A　)
8. [多选/2024甘肃省部分学校质量检测]若( a ， b )( a ＞0， a ≠1)为函数 y ＝lg2 x 图 象上的一点，则下列选项正确的是(　ABC　)
12. [2024贵州贵阳名校联考]已知函数 f ( x )＝lg2｜ x － a ｜＋1，且 f (6＋ x )＝ f (2－ x )，则 f (2)＝ ⁠.
[解析]　由 f (6＋ x )＝ f (2－ x )可知，函数 f ( x )的图象关于直线 x ＝4对称，而函数 f ( x )＝lg2｜ x － a ｜＋1的图象关于直线 x ＝ a 对称，所以 a ＝4，所以 f ( x )＝lg2｜ x －4｜＋1，所以 f (2)＝lg2｜2－4｜＋1＝2.
15. [2024南昌市模拟]已知函数 y ＝e x 和 y ＝ln x 的图象与直线 y ＝2－ x 交点的横坐标 分别为 a ， b ，则(　D　)
根据图象可知 a ＜ b ＜ c .故选B.
18. [多选/2023重庆二调]若 a ， b ， c 都是正数，且2 a ＝3 b ＝6 c ，则(　BCD　)
19. [多选/2024云南省昆明市第一中学双基检测]设偶函数 f ( x )＝lg a ｜ x － b ｜在(－∞，0)上单调递增，则下列结论中正确的是(　BC　)
[解析]　因为函数 f ( x )为偶函数，所以 b ＝0.又偶函数 f ( x )＝lg a ｜ x ｜在(－∞，0) 上单调递增，则0＜ a ＜1，所以1＜ a ＋1＜2，2＜ a ＋2＜3，且由函数 f ( x )为偶函数 知 f ( x )在(0，＋∞)上单调递减.对于选项A和B，因为 a ＋2＞2＝ b ＋2，所以 f ( a ＋ 2)＜ f ( b ＋2)，故A错误，B正确；对于选项C和D，因为1＜ a ＋1＜2， b －2＝－2， 所以 f ( a ＋1)＞ f (2)＝ f (－2)＝ f ( b －2)，故C正确，D错误.故选BC.
21. [多选/2024聊城模拟]对于两个均不等于1的正数 m 和 n ，定义：m*n＝min{lg mn ，lg nm }，则下列结论正确的是(　BC　)