备战2025年高考数学精品课件第二章 第4讲 幂函数、指数与指数函数

这是一份备战2025年高考数学精品课件第二章 第4讲 幂函数、指数与指数函数，共60页。PPT课件主要包含了y＝xα，x｜x≥0，x｜x≠0，y｜y≥0，y｜y≠0，偶函数，奇函数，在R上，单调递增，在0＋∞等内容，欢迎下载使用。
1. 幂函数(1)幂函数的概念一般地，函数① 叫做幂函数，其中 x 是自变量，α是常数.
(2)5种常见幂函数的图象与性质
在(－∞，0)
规律总结(1)幂函数 y ＝ x α在第一象限的图象如图所示，可根据函数的定义域以及奇偶性判断 幂函数在第二或第三象限的图象.
(2)在(0，1)上，幂函数的指数越大，函数图象越接近 x 轴；在(1，＋∞)上，幂函数的指数越小，函数图象越接近 x 轴.注意　 幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，若与坐标轴有交点，则交点一定是原点.
3. 指数函数(1)指数函数的概念函数 y ＝ ax ( a ＞0，且 a ≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象和性质
注意　 当指数函数的底数 a 的大小不确定时，需分 a ＞1和0＜ a ＜1两种情况 进行讨论.
2. [多选]已知幂函数 f ( x )＝ x α的图象经过点(16，4)，则下列说法正确的有(　BCD　)
3. 函数 f ( x )＝ ax －1＋2( a ＞0，且 a ≠1)的图象恒过定点 ⁠.
4. 已知函数 f ( x )＝ ax ＋ b ( a ＞0，且 a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则 a ＋ b ＝ ⁠.
方法技巧1. 对于幂函数的图象识别问题，解题关键是把握幂函数的性质，尤其是单调性、奇 偶性、图象经过的定点等.2. 比较幂值大小的方法(1)同底不同指的幂值大小比较：利用指数函数的单调性进行比较.(2)同指不同底的幂值大小比较：利用幂函数的单调性进行比较.(3)既不同底又不同指的幂值大小比较：常找到一个中间值，通过比较幂值与中间值 的大小来判断.
方法技巧指数幂的运算技巧
命题点3　指数函数的图象及应用例3 (1)已知函数 y ＝ kx ＋ a 的图象如图所示，则函数 y ＝ ax ＋ k 的图象可能是(　B　)
A B C D
[解析]　由函数 y ＝ kx ＋ a 的图象可得 k ＜0，0＜ a ＜1.函数 y ＝ ax ＋ k 的图象可以看 作是把 y ＝ ax 的图象向右平移－ k 个单位长度得到的，且函数 y ＝ ax ＋ k 是减函数， 故此函数的图象与 y 轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，可知选B.
(2)[2024上海奉贤致远高级中学模拟]已知 a ∈R，若关于 x 的方程｜3 x －1｜－2 a ＝0 有两个不相等的实根，则 a 的取值范围是 ⁠.
命题拓展已知 a ∈R，若关于 x 的方程｜ ax －1｜－2 a ＝0有两个不等的实根，则 a 的取值范 围是 ⁠.
图1　　　　　　　图2
方法技巧与指数函数有关的图象问题的求解策略
注意　 在指数函数图象变换时，注意特殊点(如定点)、特殊线(如渐近线)的变化.
训练3 [2024重庆市巴蜀中学适应性考试]已知函数 f ( x )＝ ax －1－2( a ＞0，且 a ≠1)的 图象恒过定点 M ( m ， n )，则函数 g ( x )＝ m ＋ xn 的图象不经过(　D　)
命题点4　指数函数的性质及应用角度1　比较大小例4 (1)[2023天津高考]若 a ＝1.010.5， b ＝1.010.6， c ＝0.60.5，则 a ， b ， c 的大小关 系为(　D　)
[解析]　因为函数 f ( x )＝1.01 x 是增函数，且0.6＞0.5＞0，所以1.010.6＞1.010.5＞1， 即 b ＞ a ＞1；因为函数 g ( x )＝0.6 x 是减函数，且0.5＞0，所以0.60.5＜0.60＝1，即 c ＜1.综上， b ＞ a ＞ c .故选D.
方法技巧比较指数幂大小的常用方法
(2)若 f ( x )有最大值3，则 a 的值为 ⁠；
(3)若 f ( x )的值域是(0，＋∞)，则 a 的值为 ⁠.
[解析](3)令 g ( x )＝ ax 2－4 x ＋3，由 f ( x )的值域是(0，＋∞)知， g ( x )＝ ax 2－4 x ＋3的值域为R，则必有 a ＝0.
方法技巧1. 形如 y ＝ af ( x )的函数的单调性：若 a ＞1，则函数 f ( x )的单调递增(减)区间即函数 y ＝ af ( x )的单调递增(减)区间；若0＜ a ＜1，则函数 f ( x )的单调递增(减)区间即函数 y ＝ af ( x )的单调递减(增)区间.2. 求解指数型函数中的参数取值范围的基本思路一般利用指数函数的单调性或最值进行转化求解.注意　 当底数 a 与1的大小关系不确定时应分类讨论.
(2)[2024浙江温州联考]如果1＜2 a ＜2 b ＜2，那么(　C　)
[解析]　因为函数 y ＝2 x 在R上单调递增，20＝1＜2 a ＜2 b ＜2＝21，所以0＜ a ＜ b ＜ 1.因为函数 y ＝ ax (0＜ a ＜1)在R上单调递减，所以 aa ＞ ab .因为函数 y ＝ xa (0＜ a ＜ 1)在(0，＋∞)上单调递增，所以 aa ＜ ba ，所以 ab ＜ aa ＜ ba .故选C.
1. [命题点1]某同学研究了一个函数，他给出这个函数的三个性质：①偶函数；②值 域是{ y ｜ y ∈R，且 y ≠0}；③在(－∞，0)上是增函数.如果他给出的三个性质中， 有两个正确，一个错误，则他研究的函数是(　B　)
4. [命题点3]若函数 f ( x )＝(4 mx － n )2的大致图象如图所示，则(　B　)
3. [2024山东青岛模拟]函数 f ( x )＝ ax 2＋2 x ＋1与 g ( x )＝ xa 在同一直角坐标系中的图 象不可能为(　B　)
5. [2024安徽江淮十校联考]已知幂函数 f ( x )＝( m 2－5 m ＋5) xm －2是R上的偶函数， 且函数 g ( x )＝ f ( x )－(2 a －6) x 在区间[1，3]上单调递增，则实数 a 的取值范围是 (　B　)
[解析]　因为幂函数 f ( x )＝( m 2－5 m ＋5) xm －2是R上的偶函数，则 m 2－5 m ＋5＝ 1，解得 m ＝1或 m ＝4.当 m ＝1时， f ( x )＝ x －1，该函数是定义域为{ x ｜ x ≠0}的奇 函数，不符合题意；当 m ＝4时， f ( x )＝ x 2，该函数是定义域为R的偶函数，符合题 意，所以 f ( x )＝ x 2，则 g ( x )＝ x 2－(2 a －6) x ，其图象的对称轴为 x ＝ a －3，因为 g ( x )在区间[1，3]上单调递增，则 a －3≤1，解得 a ≤4.故选B.
6. [多选]设函数 f ( x )＝2 x ，对于任意的 x 1， x 2( x 1≠ x 2)，下列结论中正确的是 (　ACD　)
8. [2024河南南阳模拟]已知函数 f ( x )＝｜3 x －1｜， a ＜ b ＜ c ，且 f ( a )＞ f ( b )＞ f ( c )，则下列结论中一定成立的是(　D　)
[解析]　作出 f ( x )的图象，如图所示.因为 a ＜ b ＜ c ，且 f ( a )＞ f ( b )＞ f ( c )，所以 a ＜ b ＜0，且存在b'＞0，使 f ( b )＝ f (b')，则 b ＜ c ＜b'，即 b ＜0＜ c ＜b'或 b ＜ c ＜0＜b'，故排除A，B；取 a ＝－1， c ＝0，可排除C；当 c ＞0时， f ( a )＝1－3 a ＞ f ( c )＝3 c －1，所以3 a ＋3 c ＜2，当 c ≤0时，3 a ＜ 1，3 c ≤1，则3 a ＋3 c ＜2，故D一定成立.