备战2025年高考数学精品课件第二章 第3讲 函数的奇偶性、周期性与对称性

这是一份备战2025年高考数学精品课件第二章 第3讲 函数的奇偶性、周期性与对称性，共60页。PPT课件主要包含了函数的奇偶性，f－x＝，－fx，规律总结，xx＋1，故选B，ABC，方法技巧常用函数模型，ACD，ABD等内容，欢迎下载使用。
f(－x)＝
f(－x)＝f(x)　
注意　 (1)只有函数在 x ＝0处有定义时， f (0)＝0才是 f ( x )为奇函数的必要不 充分条件；(2)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 f ( x )＝0， x ∈ D ，其中定义域 D 是关于原点对称的非空数集.
1. 常见的奇(偶)函数
(1)函数 f ( x )＝ ax ＋ a － x 为偶函数，函数 g ( x )＝ ax － a － x 为奇函数；
2. 函数奇偶性的拓展结论(1)若函数 y ＝ f ( x ＋ a )是偶函数，则 f ( x ＋ a )＝ f (－ x ＋ a )，函数 y ＝ f ( x )的图象关 于直线 x ＝ a 对称.(2)若函数 y ＝ f ( x ＋ b )是奇函数，则 f ( x ＋ b )＋ f (－ x ＋ b )＝0，函数 y ＝ f ( x )的图 象关于点( b ，0)中心对称.
2. 函数的周期性(1)周期函数一般地，设函数 f ( x )的定义域为 D ，如果存在一个非零常数 T ，使得对每一个 x ∈ D 都有 x ＋ T ∈ D ，且⑨ ，那么函数 f ( x )就叫做周期函数.非零 常数 T 叫做这个函数的周期.
f ( x ＋ T )＝ f ( x )　
(2)最小正周期如果在周期函数 f ( x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫 做 f ( x )的⑩ 正周期.注意　 并不是所有的周期函数都有最小正周期，如 f ( x )＝5.
3. 函数图象的对称性已知函数 f ( x )是定义在R上的函数，(1)若 f ( a ＋ x )＝ f ( b － x ) 恒成立，则 y ＝ f ( x ) 的图象关于直线⑪ 对称.(2)若 f ( a ＋ x )＋ f ( b － x )＝ c ，则 y ＝ f ( x )的图象关于点⑫ 对称.注意　 (1)奇、偶函数的图象平移之后对应的函数不一定有奇偶性，但其图象一定有 对称性.(2)注意区分抽象函数的周期性与对称性的表示，周期性的表示中，括号内 x 的符号相同，对称性的表示中，括号内 x 的符号相反.
常用结论函数 f ( x )图象的对称性与周期的关系(1)若函数 f ( x )的图象关于直线 x ＝ a 与直线 x ＝ b 对称，则函数 f ( x )的周期为2｜ b － a ｜；(2)若函数 f ( x )的图象既关于点( a ，0)对称，又关于点( b ，0)对称，则函数 f ( x )的周 期为2｜ b － a ｜；(3)若函数 f ( x )的图象既关于直线 x ＝ a 对称，又关于点( b ，0)对称，则函数 f ( x )的 周期为4｜ b － a ｜.
3. [多选]以下函数为偶函数的是(　AC　)
4. 已知函数 f ( x )为R上的偶函数，且当 x ＜0时， f ( x )＝ x ( x －1)，则当 x ＞0时， f ( x )＝ ⁠.
5. 已知定义在R上的函数 f ( x )满足 f ( x )＝ f ( x －2)，当 x ∈[0，2)时， f ( x )＝ x 2－4 x ，则当 x ∈[4，6)时， f ( x )＝ ⁠.
[解析]　设 x ∈[4，6)，则 x －4∈[0，2)，则 f ( x －4)＝( x －4)2－4( x －4)＝ x 2－12 x ＋32.又 f ( x )＝ f ( x －2)，所以函数 f ( x )的周期为2，所以 f ( x －4)＝ f ( x )，所以当 x ∈[4，6)时， f ( x )＝ x 2－12 x ＋32.
x 2－12 x ＋32　.
[解析]　由 f ( x )为奇函数，知 f (－ x )＝－ f ( x )，当 x ＞0时，可得－ x ＋ a ＝－ bx ＋ 1，所以 b ＝1， a ＝1.
命题点1　函数的奇偶性角度1　判断函数的奇偶性例1 (1)[全国卷Ⅰ]设函数 f ( x )， g ( x )的定义域都为R，且 f ( x )是奇函数， g ( x )是偶函 数，则下列结论中正确的是(　B　)
[解析]　因为 f ( x )为奇函数， g ( x )为偶函数，所以 f ( x ) g ( x )为奇函数， f ( x )｜ g ( x )｜为奇函数，｜ f ( x )｜ g ( x )为偶函数，｜ f ( x ) g ( x )｜为偶函数，故选B.
方法技巧1. (1)函数定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提条件；(2)若定义域关于原点对 称，则判断 f ( x )与 f (－ x )是否具有等量关系，具体运算中，可转化为判断 f ( x )＋ f (－ x )＝0(奇函数)或 f ( x )－ f (－ x )＝0(偶函数)是否成立.2. 在公共定义域内有：奇函数±奇函数＝奇函数，偶函数±偶函数＝偶函数，奇函 数×奇函数＝偶函数，偶函数×偶函数＝偶函数，奇函数×偶函数＝奇函数.注意　 对于分段函数奇偶性的判断，要分段判断 f (－ x )＝ f ( x )或 f (－ x )＝－ f ( x )是 否成立，只有当所有区间都满足相同关系时，才能判断该分段函数的奇偶性.
(2)[2024江苏南通模拟]已知定义在R上的函数 f ( x )， g ( x )分别是奇函数和偶函数， 且 f ( x )＋ g ( x )＝ x 2－2 x ，则 f (2)＋ g (1)＝ ⁠.
[解析]　由 f ( x )是奇函数， g ( x )是偶函数，得 f (－ x )＝－ f ( x )， g (－ x )＝ g ( x )， ∵ f ( x )＋ g ( x )＝ x 2－2 x ，∴ f (－ x )＋ g (－ x )＝(－ x )2－2(－ x )＝ x 2＋2 x ，即－ f ( x )＋ g ( x )＝ x 2＋2 x ，则有 f ( x )＝－2 x ， g ( x )＝ x 2，则 f (2)＋ g (1)＝－4＋1＝－3.
方法技巧函数奇偶性的应用类型及解题策略(1)求函数解析式或函数值：借助奇偶性转化为求已知区间上的函数解析式或函数 值，或利用奇偶性构造关于 f ( x )的方程(组)求解析式.(2)求参数值：利用定义域关于原点对称或 f ( x )± f (－ x )＝0列方程(组)求解，对于在 x ＝0处有定义的奇函数 f ( x )，可考虑列等式 f (0)＝0求解.注意　 利用特殊值法求参数时要检验.
训练1 (1)[2024辽宁鞍山一中模拟]下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递 增的是(　C　)
(2)[2024江苏省扬州中学模拟]定义在R上的奇函数 f ( x )，当 x ≥0时， f ( x )＝2 x － a ·3－ x ，当 x ＜0时， f ( x )＝ ⁠.
[解析]　因为函数 f ( x )为奇函数，定义域为R，所以 f (0)＝20－ a ×30＝0，解得 a ＝ 1.若 x ＜0，则－ x ＞0，所以 f (－ x )＝2－ x －3 x ，又 f ( x )为奇函数，所以当 x ＜0时， f ( x )＝－ f (－ x )＝3 x －2－ x ，即当 x ＜0时， f ( x )＝3 x －2－ x .
3 x －2－ x 　
方法技巧(1)利用函数的周期性可以将局部的函数性质扩展到整体.(2)判断抽象函数的周期一 般需要对变量进行赋值.
(2)[2024云南部分名校联考]已知 f ( x )是定义在R上的偶函数，且 f ( x )＋ f (4－ x )＝ 0，当0≤ x ≤2时， f ( x )＝ a ·2 x ＋ x 2，则 f (2 024)＝ ⁠.
[解析]　因为 f ( x )是定义在R上的偶函数，且 f ( x )＋ f (4－ x )＝0，所以 f ( x )＝－ f (4 － x )＝－ f ( x －4)， f ( x －4)＝－ f ( x －8)，所以 f ( x )＝ f ( x －8)，故 f ( x )是以8为周 期的函数，则 f (2 024)＝ f (0).令 x ＝2，则 f (2)＋ f (4－2)＝2 f (2)＝8 a ＋8＝0，则 a ＝ －1，所以 f (0)＝－20＝－1，即 f (2 024)＝－1.
命题点3　函数图象的对称性
(2)函数 f ( x )＝( x 2－1)(e x －e－ x )＋ x ＋1在区间[－2，2]上的最大值与最小值分别为 M ， N ，则 M ＋ N 的值为 ⁠.
[解析]　设 g ( x )＝( x 2－1)(e x －e－ x )＋ x ，则 f ( x )＝ g ( x )＋1.因为 g (－ x )＝( x 2－1)(e－ x －e x )－ x ＝－ g ( x )，且 g ( x )的定义域关于原点对称，所 以 g ( x )是奇函数.由奇函数图象的对称性知 g ( x )max＋ g ( x )min＝0，故 M ＋ N ＝[ g ( x )＋1]max＋[ g ( x )＋1]min＝2＋ g ( x )max＋ g ( x )min＝2.
(2)已知函数 f ( x )＝ x 3－3 x 2＋ x ＋1＋ sin ( x －1)，则函数 f ( x )在(0，2)上的最大值与 最小值的和为 ⁠.
[解析]　由三次函数图象的对称性可得， y ＝ x 3－3 x 2＋ x ＋1的图象的对称中心为 (1，0)，因为 y ＝ sin ( x －1)的图象也关于(1，0)对称，所以函数 f ( x )在(0，2)上的图 象关于(1，0)对称，所以 f ( x )在(0，2)上的最大值与最小值的和为0.
方法技巧1. 对于函数单调性与奇偶性的综合问题，常利用奇、偶函数的图象的对称性，以及 奇、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性求解.2. 对于函数周期性与奇偶性的综合问题，常利用奇偶性及周期性将所求函数值的自 变量转换到已知函数解析式的自变量的取值范围内求解.3. 函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在 一起命题，在解题时，往往需要先借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的 单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.
训练4 (1)已知函数 f ( x )是定义在R上的奇函数，且当 x ＞0时， f ( x )＝e x ＋ x 2＋ x ， 则不等式 f (2－ a )＋ f (2 a －3)＞0的解集为(　B　)
[解析]　易知 f ( x )在(0，＋∞)上单调递增，且在(0，＋∞)上， f ( x )＞1.因为 f ( x )为R 上的奇函数，所以 f (0)＝0， f ( x )在(－∞，0)上单调递增，且在(－∞，0)上 f ( x )＜ －1，故 f ( x )在R上单调递增.原不等式可化为 f (2－ a )＞－ f (2 a －3)，即 f (2－ a )＞ f (3－2 a )，所以2－ a ＞3－2 a ，故 a ＞1，选B.
(2)[2024湖北部分重点中学联考]已知函数 y ＝ f ( x )是R上的奇函数，∀ x ∈R，都有 f (2－ x )＝ f ( x )＋ f (2)成立，则 f (1)＋ f (2)＋ f (3)＋…＋ f (2 024)＝ ⁠.
[解析]　因为函数 f ( x )是R上的奇函数，所以 f (0)＝0.因为∀ x ∈R，都有 f (2－ x )＝ f ( x )＋ f (2)，所以令 x ＝2，得 f (0)＝2 f (2)，得 f (2)＝0，所以 f (2－ x )＝ f ( x )，则函数 f ( x )的图象关于直线 x ＝1对称.因为函数 f ( x )的图象关于原点对称，所以函数 f ( x )是 以4为周期的周期函数，且函数 f ( x )的图象关于点(2，0)中心对称，则 f (1)＋ f (3)＝ 0，又 f (2)＝0， f (4)＝ f (0)＝0，所以 f (1)＋ f (2)＋ f (3)＋ f (4)＝0，所以 f (1)＋ f (2)＋ f (3)＋…＋ f (2 024)＝506[ f (1)＋ f (2)＋ f (3)＋ f (4)]＝0.
抽象函数问题的解题策略
策略1　赋值法例6 [多选/2023新高考卷Ⅰ]已知函数 f ( x )的定义域为R， f ( xy )＝ y 2 f ( x )＋ x 2 f ( y )，则 (　ABC　)
[解析]　解法一　令 x ＝ y ，则有 f ( x 2)＝2 x 2 f ( x ).当 x ＝0时，可得 f (0)＝0，A正确.当 x ＝1时，可得 f (1)＝2 f (1)，所以 f (1)＝0，B正确.因为 f ((－ x )2)＝2(－ x )2 f (－ x )，即 f ( x 2)＝2 x 2 f (－ x )，所以 f (－ x )＝ f ( x )，所以函数 f ( x )为偶函数，C正确.因为无法判断函数 f ( x )的单调性，所以无法确定 f ( x )的极值点，故D不正确，故选ABC.
解法二　取 x ＝ y ＝0，则 f (0)＝0，故A正确；取 x ＝ y ＝1，则 f (1)＝ f (1)＋ f (1)，所 以 f (1)＝0，故B正确；取 x ＝ y ＝－1，则 f (1)＝ f (－1)＋ f (－1)，所以 f (－1)＝0，取 y ＝－1，则 f (－ x )＝ f ( x )＋ x 2 f (－1)，所以 f (－ x )＝ f ( x )，所以函数 f ( x )为偶函 数，故C正确；因为 f (0)＝0，且函数 f ( x )为偶函数，所以函数 f ( x )的图象关于 y 轴 对称，所以 x ＝0可能为函数 f ( x )的极小值点，也可能为函数 f ( x )的极大值点，也可 能不是函数 f ( x )的极值点，故D不正确.综上，选ABC.
方法技巧赋值法是指利用已知条件，对变量赋值，从而得出抽象函数在某点处的函数值或抽 象函数的性质.
方法技巧1. 思路：利用题设中的条件等式，将其变形为满足函数某些性质的定义表达式，从 而利用这些性质转化求解.2. 设函数 f ( x )及其导函数 f '( x )的定义域均为R. (1)若 f ( x )的图象关于 x ＝ a 对称，则 f '( x )的图象关于( a ，0)对称；(2)若 f ( x )的图象关于( a ， b )对称，则 f '( x )的图象关于 x ＝ a 对称；(3)若 f ( x )是以 T 为周期的函数，则 f '( x )也是以 T 为周期的函数.注意　 利用函数图象的平移变换解决抽象函数性质问题时，注意在进行图象变换的 同时，函数图象的对称轴或者对称中心也进行了相应的变换.
策略3　特殊函数模型法例8 定义在R上的函数 f ( x )满足 f ( x ＋ y )＝ f ( x )＋ f ( y )＋2 xy ( x ， y ∈R)， f (1)＝2， 则 f (－3)＝(　C　)
[解析]　解法一　由函数 f ( x )满足 f ( x ＋ y )＝ f ( x )＋ f ( y )＋2 xy ( x ， y ∈R)，联想到 函数模型 f ( x )＝ x 2＋ bx ，由 f (1)＝2，可得 b ＝1，则 f ( x )＝ x 2＋ x ，所以 f (－3)＝ (－3)2＋(－3)＝6.
解法二　 f (1)＝ f (1＋0)＝ f (1)＋ f (0)＋2×1×0＝ f (1)＋ f (0)，得 f (0)＝0； f (0)＝ f (－1＋1)＝ f (－1)＋ f (1)＋2×(－1)×1＝ f (－1)＋2－2＝ f (－1)，得 f (－1)＝0； f (－2)＝ f (－1－1)＝ f (－1)＋ f (－1)＋2×(－1)×(－1)＝2 f (－1)＋2＝2； f (－3)＝ f (－2－1)＝ f (－2)＋ f (－1)＋2×(－2)×(－1)＝2＋0＋4＝6.故选C.
注意　 应用特殊函数模型法解题时，要注意检验所选模型是否满足已知条件.
训练5 (1)[新高考卷Ⅰ]若定义在R上的奇函数 f ( x )在(－∞，0)上单调递减，且 f (2)＝ 0，则满足 xf ( x －1)≥0的 x 的取值范围是(　D　)
[解析]　由题意知 f ( x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，且 f (－2)＝ f (2)＝ f (0)＝0.当 x ＞0时，令 f ( x －1)≥0，得0≤ x －1≤2，∴1≤ x ≤3；当 x ＜0时，令 f ( x －1)≤0，得－2≤ x －1≤0，∴－1≤ x ≤1，又 x ＜0，∴－1≤ x ＜0；当 x ＝0时，显然符合题意.综上，原不等式的解集为[－1，0]∪[1，3]，故选D.
(2)[多选/2024安徽省阜阳市模拟]已知函数 f ( x )的定义域为R，对任意实数 x ， y 满足 f ( x － y )＝ f ( x )－ f ( y )＋1，且 f (1)＝0，当 x ＞0时， f ( x )＜1.则下列选项正确的是 (　ACD　)
[解析]　解法一　设 f ( x )＝ kx ＋1，因为 f (1)＝0，所以 k ＝－1，所以 f ( x )＝－ x ＋ 1，满足 x ＞0时， f ( x )＜1，则易得A，C，D均正确，故选ACD.
解法二　对于A，取 x ＝ y ＝0，则 f (0)＝ f (0)－ f (0)＋1，故 f (0)＝1，A正确；对于B，取 x ＝0， y ＝1，则 f (－1)＝ f (0)－ f (1)＋1＝2，取 x ＝1， y ＝－1，则 f (2) ＝ f (1)－ f (－1)＋1＝－1，B错误﹔对于C，取 x ＝0，则 f (－ y )＝ f (0)－ f ( y )＋1＝2－ f ( y )， f (－ y )－1＝－[ f ( y )－1]， 则 f ( y )－1为奇函数，所以 f ( x )－1为奇函数，C正确；对于D，当 x 1＞ x 2时， x 1－ x 2＞0， f ( x 1－ x 2)＜1，则 f ( x 1)－ f ( x 2)＝ f ( x 1－ x 2)－1 ＜0，故 f ( x )是R上的减函数，D正确，故选ACD.
1. [命题点1角度2/全国卷Ⅱ]设 f ( x )为奇函数，且当 x ≥0时， f ( x )＝e x －1，则当 x ＜ 0时， f ( x )＝ (　D　)
[解析]　依题意得，当 x ＜0时， f ( x )＝－ f (－ x )＝－(e－ x －1)＝－e－ x ＋1，故选D.
3. [命题点2，3/多选/2024江苏省兴化市名校联考]已知函数 f ( x )为R上的奇函数， g ( x )＝ f ( x ＋1)为偶函数，下列说法正确的有(　ABD　)
[解析]　因为函数 f ( x )为R上的奇函数，所以函数 f ( x )的图象关于点(0，0)中心对 称，因为 g ( x )＝ f ( x ＋1)为偶函数，所以 f (－ x ＋1)＝ f ( x ＋1)，即函数 f ( x )的图象 关于 x ＝1对称，所以 f (－ x ＋1)＝－ f (－ x －1)，所以 f ( x －1)＝ f (－ x －1)，所以函 数 f ( x )的图象关于 x ＝－1对称，故A正确；由 f (－ x ＋1)＝ f ( x ＋1)可得 f (2－ x )＝ f ( x )，故D正确；由 f (2－ x )＝ f ( x )可得 f (2＋ x )＝ f (－ x )＝－ f ( x )，所以 f (4＋ x )＝ f ( x )，即函数 f ( x )的周期为4，故C错误；因为 f ( x )的周期为4，所以 g (2 023)＝ f (2 024)＝ f (0)＝0，故B正确.故选ABD.
5. [思维帮角度1，2/2021新高考卷Ⅱ]设函数 f ( x )的定义域为R，且 f ( x ＋2)为偶函 数， f (2 x ＋1)为奇函数，则(　B　)
[解析]　因为函数 f (2 x ＋1)是奇函数，所以 f (－2 x ＋1)＝－ f (2 x ＋1)，所以 f (1)＝ 0， f (－1)＝－ f (3).因为函数 f ( x ＋2)是偶函数，所以 f ( x ＋2)＝ f (－ x ＋2)，所以 f (3)＝ f (1)，所以 f (－1)＝－ f (1)＝0.故选B.
6. [思维帮角度2/多选/2023四省联考]已知 f ( x )是定义在R上的偶函数， g ( x )是定义 在R上的奇函数，且 f ( x )， g ( x )在(－∞，0]上均单调递减，则(　BD　)
[解析]　因为 f ( x )与 g ( x )分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且两函数在(－∞， 0]上均单调递减，所以 f ( x )在[0，＋∞)上单调递增， g ( x )在[0，＋∞)上单调递减， 即 g ( x )在R上单调递减，所以 f (1)＜ f (2)， g (2)＜ g (1)＜ g (0)＝0，(提示：定义在R 上的奇函数的图象必过原点)所以 f ( g (1))＜ f ( g (2))， g ( f (1))＞ g ( f (2))， g ( g (1))＜ g ( g (2))，故B，D正确，C不 正确.若 f (1)＜ f (2)＜0，则 f ( f (1))＞ f ( f (2))，故A不正确.综上所述，选BD.
1. [2024黑龙江省鸡西市第一中学模拟]下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递 减的是(　C　)
2. 若定义在R上的偶函数 f ( x )和奇函数 g ( x )满足 f ( x )＋ g ( x )＝e x ，则 g ( x )＝(　D　)
[解析]　若 x ＜0，则－ x ＞0， f (－ x )＝ x 2－2 x ＝ f ( x )，若 x ＞0，则－ x ＜0， f (－ x )＝ x 2＋2 x ＝ f ( x )，故函数 f ( x )为偶函数，且当 x ≥0时，函数 f ( x )单调递增，由 f (－ a )＋ f ( a )≤2 f (1)，得2 f ( a )≤2 f (1)，即 f ( a )≤ f (1)，所以｜ a ｜≤1，所以－1≤ a ≤1.故选C.
5. [2024安徽月考]已知函数 f ( x )＝2 sin x ＋ x ＋2， x ∈[－2π，2π]， f ( x )的最大值为 M ，最小值为 m ，则 M ＋ m ＝(　A　)
[解析]　因为 y ＝2 sin x ＋ x 的图象关于原点对称，所以 f ( x )＝2 sin x ＋ x ＋2 的图象关于点(0，2)对称，所以 f ( x )在[－2π，2π]上的最大值与最小值的和 M ＋ m ＝4.故选A.
6. [2023南京市、盐城市一模]若函数 f ( x )＝ x 3＋ bx 2＋ cx ＋ d 满足 f (1－ x )＋ f (1＋ x ) ＝0对一切实数 x 恒成立，则不等式 f '(2 x ＋3)＜ f '( x －1)的解集为(　C　)
解法一　易得 f '( x )＝3 x 2＋2 bx ＋ c 的图象的对称轴为直线 x ＝1，所以函数 f '( x )在 (－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，则由 f '(2 x ＋3)＜ f '( x －1)，得｜2 x ＋3－1｜＜｜ x －1－1｜，解得－4＜ x ＜0，故选C.
[解析]　由 f (1－ x )＋ f (1＋ x )＝0可知，函数 f ( x )的图象关于点(1，0)中心对称.
7. [2024福州市一检]已知定义域为R的函数 f ( x )同时具有下列三个性质，则 f ( x ) ＝ .(写出一个满足条件的函数即可)① f ( x ＋ y )＝ f ( x )＋ f ( y )；② f ( x )是奇函数；③当 x ＋ y ＞0时， f ( x )＋ f ( y )＜0.
[解析]　因为 f ( x )是奇函数，且当 x ＋ y ＞0时， f ( x )＋ f ( y )＜0，即 x ＞－ y 时， f ( x )＜－ f ( y )＝ f (－ y )，所以 f ( x )是单调递减函数，再考虑到 f ( x ＋ y )＝ f ( x )＋ f ( y )，所以 f ( x )＝ kx ( k ＜0)都符合题意.
－ x (答案不唯一)　
8. 已知 f ( x )为R上的奇函数，当 x ＞0时， f ( x )＝－2 x 2＋3 x ＋1，则 f ( x )的解析式f ( x )＝ ⁠.
10. [2024黄冈模拟]已知函数 f ( x )及其导函数 f '( x )的定义域均为R，记 g ( x )＝ f '( x ＋ 1)，且 f (2＋ x )－ f (2－ x )＝4 x ， g (3＋ x )为偶函数，则g'(7)＋ g (17)＝(　C　)
[解析]　因为 g (3＋ x )为偶函数， g ( x )＝ f '( x ＋1)，所以 f '( x ＋4)＝ f '(－ x ＋4)，对 f (2＋ x )－ f (2－ x )＝4 x 两边同时求导，得 f '(2＋ x )＋ f '(2－ x )＝4，所以有 f '(4＋ x )＋ f '(－ x )＝4⇒ f '(4－ x )＋ f '(－ x )＝4⇒ f '(4＋ x )＋ f '( x )＝4⇒ f '(8＋ x )＝ f '( x )，所以函数 f '( x )的周期为8，在 f '(2＋ x )＋ f '(2－ x )＝4中，令 x ＝0，得 f '(2)＝2，因此 g (17)＝ f '(18)＝ f '(2)＝2.
因为 g (3＋ x )为偶函数，所以有 g (3＋ x )＝ g (3－ x )⇒g'(3＋ x )＝－g'(3－ x )⇒g'(7)＝ －g'(－1)　①，
f '(8＋ x )＝ f '( x )⇒ g (7＋ x )＝ g ( x －1)⇒g'(7＋ x )＝g'( x －1)⇒g'(7)＝g'(－1)　②，
由①②可得：g'(7)＝0，所以g'(7)＋ g (17)＝2，故选C.
11. [多选/2024辽宁开学考试]已知函数 y ＝ xf ( x )是R上的偶函数， f ( x －1)＋ f ( x ＋3) ＝0，当 x ∈[－2，0]时， f ( x )＝2 x －2－ x ＋ x ，则(　ACD　)
12. [多选/2024江西分宜中学、临川一中等校联考]已知函数 y ＝ f ( x )对任意实数 x ， y 都满足2 f ( x ) f ( y )＝ f ( x ＋ y )＋ f ( x － y )，且 f (1)＝－1，则(　AC　)
13. [多选/2024南昌市模拟] f ( x )是定义在R上的连续可导函数，其导函数为f'( x )，下 列说法中正确的是(　ACD　)
[解析]　对于A： f ( x )＝ f (－ x )两边对 x 求导，得f'( x )＝－f'(－ x )，故A正确.
对于B： f ( x )＝ f ( x ＋ T )＋ C ( C 为常数)⇔f'( x )＝f'( x ＋ T )，则 C ≠0时，B错误.
对于C： f ( x )的图象有对称中心( a ， b )⇒ f ( a － x )＋ f ( a ＋ x )＝2 b ，两边对 x 求 导，得－f'( a － x )＋f'( a ＋ x )＝0，即f'( a － x )＝f'( a ＋ x )⇒f'( x )的图象关于直线 x ＝ a 对称，C正确.
[解析]　由①∀ x ∈ D ， f ( x －2)＋ f (2－ x )＝0恒成立可知， y ＝ f ( x )的图象关于原点 对称，“?函数”为奇函数.