备战2025年高考数学精品课件第二章 第1讲 函数的概念及其表示

这是一份备战2025年高考数学精品课件第二章 第1讲 函数的概念及其表示，共57页。PPT课件主要包含了非空的实数集，唯一确，定义域，对应关系，解析法，列表法，图象法，－33，∪4＋∞，故选C等内容，欢迎下载使用。
1. 函数的概念及表示
注意　 (1)与 x 轴垂直的直线和函数图象最多有一个交点；(2)解决函数问题时，优先 考虑定义域.
2. 分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表 示，这种函数称为分段函数.注意　 (1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数；(2)分段函数的定 义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集.
1. 下列 f ( x )与 g ( x )表示同一个函数的是(　B　)
2. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是 (　D　)
4. 已知函数 f ( x )＝2 x －3， x ∈{ x ∈N｜1≤ x ≤5}，则函数 f ( x )的值域为 ⁠ ⁠.
(－∞，0)∪(0，1]　
(2)若函数 f (1－2 x )的定义域为[－1，2]，则函数 f ( x )的定义域为 ⁠.
[解析]　因为函数 f (1－2 x )的定义域为[－1，2]，所以－1≤ x ≤2，所以－3≤1－2 x ≤3.所以函数 f ( x )的定义域为[－3，3].
命题拓展若函数 f ( x )的定义域为[－1，2]，则函数 f (1－2 x )的定义域为 ⁠.
方法技巧1. 求具体函数的定义域的策略根据函数解析式，构造使解析式有意义的不等式(组)，求解不等式(组)即可；对实际 问题，既要使函数解析式有意义，又要使实际问题有意义.
2. 求抽象函数的定义域的策略(1)若已知函数 f ( x )的定义域为[ a ， b ]，则复合函数 f ( g ( x ))的定义域由不等式 a ≤ g ( x )≤ b 求出；(2)若已知函数 f ( g ( x ))的定义域为[ a ， b ]，则 f ( x )的定义域为 g ( x )在[ a ， b ]上的 值域.注意　 无论函数的形式如何，定义域均是指其中的自变量 x 的取值集合.
命题点2　求函数的解析式例2 (1)[2024河南省内乡高中模拟]已知 f ( x )是一次函数，且 f ( f ( x ))＝16 x －25，则 f( x )＝ ⁠.
方法技巧求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数类型(如一次函数、二次函数等)，则可用待定系数 法求解.(2)换元法：若已知复合函数 f ( g ( x ))的解析式求解函数 f ( x )的解析式，可令 g ( x )＝ t ，解出 x ，然后代入 f ( g ( x ))中即可求得 f ( t )，从而求得 f ( x ).此时要注意新元的取 值范围.(3)配凑法：配凑法是将函数 f ( g ( x ))的解析式配凑成关于 g ( x )的形式，进而求出函 数 f ( x )的解析式.
f ( x )＝ x 2－2， x ∈[2，＋∞)
(2)[2024安徽淮南模拟]已知 f ( x )是二次函数，且 f ( x ＋1)＋ f ( x －1)＝2 x 2－4 x ＋4， 则 f ( x )＝ ⁠.
x 2－2 x ＋1　
(3)[2024湖北省钟祥市第一中学模拟]已知 f ( x )满足3 f ( x )＋2 f (1－ x )＝4 x ，则 f ( x ) 的解析式为 ⁠.
方法技巧1. 解分段函数的求值问题的思路：一般根据自变量所在区间代入相应的函数解析式 求解，当出现 f ( f ( a ))形式时，一般由内向外逐层求值.2. 解分段函数的解不等式问题的思路：(1)若图象易画，可画出函数图象，数形结合 求解；(2)根据分段函数的不同段分类讨论，最后取各段结果的并集.注意　 解得值或范围后，要注意检验其是否符合相应段的自变量的范围.
[解析]　由题意得 f (7)＝2 f (5)＝2×2 f (3)＝4×2 f (1)＝8e1－1＝8.
(3)[2023江苏南通模拟]已知函数 f ( x )＝max{1－ x ，2 x }，其中max{ a ， b }表示 a ， b 中的较大者.则不等式 f ( x )＞4的解集为 ⁠.
(－∞，－3)∪(2，＋∞)　
2. [命题点2]定义在(－1，1)上的函数 f ( x )满足2 f ( x )－ f (－ x )＝lg( x ＋1)，则 f ( x ) ＝ ⁠.
[解析]　当 x ∈(－1，1)时，有2 f ( x )－ f (－ x )＝lg( x ＋1)　①.
以－ x 代替 x 得，2 f (－ x )－ f ( x )＝lg(－ x ＋1)　②.
下面考虑 f ( a )≥1的解集，作出 y ＝ f ( a )与 y ＝1的图象如图2所示，由图可得 a ≤0 或 a ≥2.故选D.
图1 图2
2. 下列各组函数表示相同函数的是(　C　)
7. [2024惠州市一调]已知函数 f ( x )满足 f ( x ＋1)＝ f ( x )＋2，则 f ( x )的解析式可以 是 .(写出满足条件的一个解析式即可)
[解析]　由 f ( x ＋1)＝ f ( x )＋2知，函数 f ( x )的图象上移2个单位长度后得到的图象， 与左移1个单位长度后得到的图象重合， f ( x )＝2 x ＋ k (其中 k 可取任意实数)满足要 求.本题为开放题，答案可为 f ( x )＝2 x ， f ( x )＝2 x ＋1等.
f ( x )＝2 x (答案不唯一)　
(－∞，0)∪(4，＋∞)　
[解析]　作出 y ＝ f ( x )及 y ＝1的部分图象，如图所示，易得 y ＝ f ( x )与 y ＝1的图象 有三个交点，设这三个交点分别为 A ， B ， C ，则易得 xA ＝－4， xB ＝0， xC ＝2.
[解析]　根据题意作出函数 f ( x )的图象，如图所示.
[解析]　由题意知 f ( x )的定义域为R，值域为{0，1}，故A，B错误；因为 f ( x )＝0或 f ( x )＝1，所以当 f ( x )＝0时， f ( f ( x ))＝ f (0)＝1，当 f ( x )＝1时， f ( f ( x ))＝ f (1)＝1， 故C错误；对于任意一个非零有理数 T ，若 x 为有理数，则 x ＋ T 也为有理数，则 f( x )＝ f ( x ＋ T )＝1，若 x 为无理数，则 x ＋ T 也为无理数，则 f ( x ＋ T )＝ f ( x )＝0， 综上可得，对于任意一个非零有理数 T ， f ( x ＋ T )＝ f ( x )对任意 x ∈R恒成立，故D 正确.故选D.
12. [探索创新/多选/2024江西名校联考]若存在 M ，使得 f ( x )≥ M 对任意 x ∈ D 恒成 立，则函数 f ( x )在 D 上有下界，其中 M 为函数 f ( x )的一个下界，若存在 N ，使得 f( x )≤ N 对任意 x ∈ D 恒成立，则函数 f ( x )在 D 上有上界，其中 N 为函数 f ( x )的一个 上界，如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界，则下列说法正确的是 (　ABD　)