备战2025年高考数学精品课件第一章 第3讲 等式性质与不等式性质

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1. 两个实数比较大小的方法
1. 已知 t ＝2 a ＋2 b ， s ＝ a 2＋2 b ＋1，则(　C　)
[解析]　因为 t － s ＝(2 a ＋2 b )－( a 2＋2 b ＋1)＝－( a －1)2≤0，所以 t ≤ s .故选C.
3. [多选]下列说法不正确的是(　AD　)
4. [教材改编]已知2＜ a ＜3，－2＜ b ＜－1，则2 a － b 的取值范围是 ⁠.
[解析]　∵2＜ a ＜3，∴4＜2 a ＜6　①.∵－2＜ b ＜－1，∴1＜－ b ＜2　②.①＋② 得，5＜2 a － b ＜8.
(2)eπ·πe与ee·ππ 的大小关系为 ⁠.
eπ·πe＜ee·ππ　
方法技巧比较数(式)大小的常用方法1. 作差法：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)得出结论.2. 作商法：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小关系；(4)得出结论.3. 构造函数， 利用函数的单调性比较大小.
训练1 (1)若 a ＞ b ＞1， P ＝ a e b ， Q ＝ b e a ，则 P ， Q 的大小关系是(　C　)
(2)[多选/2023江苏省南京市调研]已知 a ＞ b ＞0，则(　AC　)
命题点2　不等式的性质及其应用 角度1　不等式的性质例2 (1)[全国卷Ⅱ]若 a ＞ b ，则(　C　)
[解析]　解法一　由函数 y ＝ln x 的图象(图略)知，当0＜ a － b ＜1时，ln( a － b )＜ 0，故A不正确；因为函数 y ＝3 x 在R上单调递增，所以当 a ＞ b 时，3 a ＞3 b ，故B不 正确；因为函数 y ＝ x 3在R上单调递增，所以当 a ＞ b 时， a 3＞ b 3，即 a 3－ b 3＞0， 故C正确；当 b ＜ a ＜0时，｜ a ｜＜｜ b ｜，故D不正确.故选C.
解法二　当 a ＝0.3， b ＝－0.4时，ln( a － b )＜0，3 a ＞3 b ，｜ a ｜＜｜ b ｜，故排除 A，B，D. 故选C.
(2)[多选/2023湖南省邵阳二中模拟]如果 a ， b ， c 满足 c ＜ b ＜ a ，且 ac ＜0，那么 下列结论一定正确的是(　ACD　)
[解析]　由 c ＜ b ＜ a ，且 ac ＜0，得 a ＞0， c ＜0.对于A，由 c ＜ b ， a ＞0得 ac ＜ ab ，故A正确.对于B，取 c ＝－1， b ＝0， a ＝1，显然B不一定正确.对于C， b － a ＜0， c ＜0，故 c ( b － a )＞0，故C正确.对于D， ac ＜0， a － c ＞0，故 ac ( a － c )＜ 0，故D正确.故选ACD.
方法技巧判断不等式是否成立的常用方法(1)利用不等式的性质验证，应用时注意前提条件；(2)利用特殊值法排除错误选项，进而得出正确选项；(3)根据式子特点，构造函数，利用函数的单调性进行判断.
(2)[2024湖北孝感部分学校模拟]已知实数 a ， b 满足－3≤ a ＋ b ≤2，－1≤ a － b ≤4，则3 a －2 b 的取值范围为 ⁠.
方法技巧利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，解决的方法是先利用待定系数法建 立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再利用不等式的性质求解.
(2)[多选/2024山东省鄄城县第一中学模拟]已知 a ， b ， c ∈R，则下列命题为真命题 的是(　ABC　)
1. [命题点1/多选/2024黑龙江哈尔滨模拟]已知偶函数 f ( x )在(－∞，0)上单调递减， 且 f (－1)＝0.若 a ＝ f (20.7)， b ＝ f (0.5－0.9)， c ＝ f (lg0.70.9)，则(　ACD　)
1. [2024四川广安模拟]已知 P ＝ a 2＋3， Q ＝4 a －1，则 P ， Q 的大小关系是(　A　)
[解析]　 P ＝ a 2＋3， Q ＝4 a －1， P － Q ＝ a 2＋3－4 a ＋1＝( a －2)2≥0，故 P ≥ Q ，故选A.
2. [2022上海高考]已知实数 a ， b ， c ， d 满足： a ＞ b ＞ c ＞ d ，则下列选项中正确 的是(　B　)
[解析]　对于选项A，如取 a ＝4， b ＝3， c ＝2， d ＝－4，此时 a ＋ d ＜ b ＋ c ，故 A错误；对于选项B， a ＋ c ＞ b ＋ c ＞ b ＋ d ，故B正确；对于选项C，D，如取 a ＝4， b ＝－1， c ＝－2， d ＝－3，此时 ad ＜ bc ， ac ＜ bd ，故C，D错误.故选B.
3. [2024陕西西安模拟]若 a ＜ b ＜0＜ c ＜ d ，则(　C　)
5. [2024山东烟台模拟]已知 x ＞ y ＞ z ， x ＋ y ＋ z ＝0，则下列不等式成立的是 (　B　)
[解析]　因为 x ＞ y ＞ z ， x ＋ y ＋ z ＝0，所以 x ＞0， z ＜0， y 的符号无法确定.对于A，由题意得 x ＞ z ，若 y ＜0，则 xy ＜0＜ yz ，故A错误；对于B，因为 y ＞ z ， x ＞0，所以 xy ＞ xz ，故B正确；对于C，因为 x ＞ y ， z ＜0， 所以 xz ＜ yz ，故C错误；对于D，当｜ y ｜＝0时， x ｜ y ｜＝｜ y ｜ z ，故D错误.故选B.
6. [2024广西柳州模拟]一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户 面积与地板面积的比应该不小于10％，而且这个比值越大，采光效果越好.若同时增 加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果(　B　)
7. [多选]若 a ＞0＞ b ＞－ a ， c ＜ d ＜0，则下列结论正确的是(　BCD　)
8. [多选]若 a ＞0， b ＞0，则使 a ＞ b 成立的充要条件是(　ABD　)
9. [多选/2024安徽模拟]已知2＜ x ＜3，－2＜ y ＜1，则下列选项正确的是(　CD　)
10. [2024安徽省淮南市模拟]已知1≤ a － b ≤2，2≤ a ＋ b ≤4，则4 a －2 b 的取值范 围是 ⁠.
[解析]　设原价为1，对于①，降价后的价格为(1－ a ％)(1－ b ％)，
对于④，降价后的价格为1－( a ＋ b )％.
(1－ a ％)(1－ b ％)＝1－( a ＋ b )％＋ a ％ b ％＞1－( a ＋ b )％，所以①＞④.
则最终降价幅度最小的方案是③.故选C.
13. [多选/2024广东名校联考]若 a ＝ln b ＋1， c ＝e b －1，则(　ACD　)
14. b 克糖水中有 a 克糖( b ＞ a ＞0)，若再添加 m 克糖( m ＞0)，就会使糖水变得更 甜，试根据这个事实提炼出一个不等式： ⁠.
15. [多选/2024山东菏泽模拟]下列结论一定正确的有(　AD　)