备战2025年高考数学精品课件第一章 第1讲 集合

这是一份备战2025年高考数学精品课件第一章 第1讲 集合，共60页。PPT课件主要包含了集合的概念，确定性，互异性，列举法，描述法，任意一个元素，x∉A，A⫋B，B⊆A，集合的基本运算等内容，欢迎下载使用。
2. 集合间的基本关系
空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.
(1) A ⊆ B ⇔ A ∩ B ＝ A ⇔ A ∪ B ＝ B ⇔∁ UA ⊇∁ UB .
(2)∁ U ( A ∩ B )＝(∁ UA )∪(∁ UB )，∁ U ( A ∪ B )＝(∁ UA )∩(∁ UB ).
1. 下列说法正确的是 (　D　)
3. 集合{ a ， b }的真子集的个数为 ⁠.
[解析]　解法一　集合{ a ， b }的真子集为⌀，{ a }，{ b }，有3个.
解法二　集合{ a ， b }有2个元素，则集合{ a ， b }的真子集的个数为22－1＝3.
4. 设 a ， b ∈R， P ＝{2， a }， Q ＝{－1，－ b }，若 P ＝ Q ，则 a － b ＝ ⁠.
5. 已知集合 U ＝{1，2，3，4，5，6，7}， A ＝{2，4，5}， B ＝{1，3，5，7}，则 A ∩(∁ UB )＝ ，(∁ UA )∩(∁ UB )＝ ⁠.
[解析]　∵∁ UA ＝{1，3，6，7}，∁ UB ＝{2，4，6}，∴ A ∩(∁ UB )＝{2，4，5}∩{2，4，6}＝{2，4}，(∁ UA )∩(∁ UB )＝{1，3，6，7}∩{2，4，6}＝{6}.
例1 (1)[2022全国卷乙]设全集 U ＝{1，2，3，4，5}， 集合 M 满足∁ UM ＝{1，3}，则 (　A　)
[解析]　由题意知 M ＝{2，4，5}，故选A.
(2)[全国卷Ⅲ]已知集合 A ＝{( x ， y )｜ x ， y ∈N*， y ≥ x }， B ＝{( x ， y )｜ x ＋ y ＝ 8}，则 A ∩ B 中元素的个数为(　C　)
[解析]　由题意得， A ∩ B ＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以 A ∩ B 中元素 的个数为4，故选C.
方法技巧1. 解决集合含义问题的三个关键点：一是确定构成集合的元素；二是分析元素的限 制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.2.常见集合的 含义
训练1 (1)[多选/2024黑龙江模拟]已知集合 A ＝{ x ｜4 ax 2－4( a ＋2) x ＋9＝0}中只有 一个元素，则实数 a 的可能取值为(　ABD　)
(2)[多选/2023江苏省镇江中学模拟]已知集合 A ＝{ y ｜ y ＝ x 2＋2}，集合 B ＝{( x ， y )｜ y ＝ x 2＋2}，下列关系正确的是(　AB　)
[解析]　∵集合 A ＝{ y ｜ y ≥2}＝[2，＋∞)，集合 B ＝{( x ， y )｜ y ＝ x 2＋2}是由抛 物线 y ＝ x 2＋2上的点组成的集合，∴AB正确，CD错误，故选AB.
(3)已知集合 A ＝{0， m ， m 2－5 m ＋6}，且2∈ A ，则实数 m 的值为 ⁠.
[解析]　因为 A ＝{0， m ， m 2－5 m ＋6}，2∈ A ，所以 m ＝2或 m 2－5 m ＋6＝2.当 m ＝2时， m 2－5 m ＋6＝0，不满足集合中元素互异性，所以 m ＝2不符合题意.当 m 2 －5 m ＋6＝2时， m ＝1或 m ＝4，若 m ＝1， A ＝{0，1，2}符合题意；若 m ＝4， A ＝{0，4，2}符合题意.所以实数 m 的值为1或4.
命题点2　集合间的基本关系例2 (1)[2023新高考卷Ⅱ]设集合 A ＝{0，－ a }， B ＝{1， a －2，2 a －2}，若 A ⊆ B ，则 a ＝(　B　)
[解析]　依题意，有 a －2＝0或2 a －2＝0.当 a －2＝0时，解得 a ＝2，此时 A ＝{0， －2}， B ＝{1，0，2}，不满足 A ⊆ B ；当2 a －2＝0时，解得 a ＝1，此时 A ＝{0， －1}， B ＝{－1，0，1}，满足 A ⊆ B . 所以 a ＝1，故选B.
(2)[2024山西太原模拟]满足条件{1，2}⊆ A ⫋{1，2，3，4，5}的集合 A 的个数是 (　C　)
[解析]　解法一　因为集合{1，2}⊆ A ⫋{1，2，3，4，5}，所以集合 A 可以是{1， 2}，{1，2，3}， {1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2， 4，5}，共 7 个.故选C.
解法二　问题等价于求集合{3，4，5}的真子集的个数，则共有23－1＝7个.故选C.
方法技巧1. 求集合的子集个数，常借助列举法和公式法求解.2. 根据两集合间的关系求参数，常根据集合间的关系转化为方程(组)或不等式(组)求 解，求解时注意集合中元素的互异性和端点值能否取到.注意　 在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的情况，如已 知集合 A 、非空集合 B 满足 A ⊆ B 或 A ⫋ B ，则有 A ＝⌀和 A ≠⌀两种情况.
训练2 (1)设集合 P ＝{ y ｜ y ＝ x 2＋1}， M ＝{ x ｜ y ＝ x 2＋1}，则集合 M 与集合 P 的 关系是(　D　)
[解析]　∵ P ＝{ y ｜ y ＝ x 2＋1}＝{ y ｜ y ≥1}， M ＝{ x ｜ y ＝ x 2＋1}＝R，∴ P ⫋ M . 故选D.
(2)已知集合 A ＝{ x ｜－2≤ x ≤5}， B ＝{ x ｜ m ＋1≤ x ≤2 m －1}，若 B ⊆ A ，则实 数 m 的取值范围为 ⁠.
[解析]　因为 B ⊆ A ，所以分以下两种情况：
①若 B ＝∅，则2 m －1＜ m ＋1，此时 m ＜2；
由①②可得，符合题意的实数 m 的取值范围为(－∞，3].
命题点3　集合的基本运算角度1　集合的交、并、补运算例3 (1)[2023新高考卷Ⅰ]已知集合 M ＝{－2，－1，0，1，2}， N ＝{ x ｜ x 2－ x －6≥0}，则 M ∩ N ＝(　C　)
[解析]　解法一　因为 N ＝{ x ｜ x 2－ x －6≥0}＝{ x ｜ x ≥3或 x ≤－2}，所以 M ∩ N ＝{－2}，故选C.
解法二　因为1∉ N ，所以1∉ M ∩ N ，排除A，B；因为2∉ N ，所以2∉ M ∩ N ，排除 D. 故选C.
(2)[2023全国卷甲]设全集 U ＝Z，集合 M ＝{ x ｜ x ＝3 k ＋1， k ∈Z}， N ＝{ x ｜ x ＝ 3 k ＋2， k ∈Z}，则∁ U ( M ∪ N )＝(　A　)
[解析]　解法一　 M ＝{…，－2，1，4，7，10，…}， N ＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以 M ∪ N ＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以∁ U ( M ∪ N )＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即∁ U ( M ∪ N )＝{ x ｜ x ＝3 k ， k ∈Z}，故选A.
解法二　集合 M ∪ N 表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好能 被3整除的整数集，故选A.
角度2　已知集合运算结果求参数例4 (1)[全国卷Ⅰ]设集合 A ＝{ x ｜ x 2－4≤0}， B ＝{ x ｜2 x ＋ a ≤0}，且 A ∩ B ＝ { x ｜－2≤ x ≤1}，则 a ＝(　B　)
(2)已知集合 A ＝{ x ｜ y ＝ln(1－ x 2)}， B ＝{ x ｜ x ≤ a }，若(∁R A )∪ B ＝R，则实数 a 的取值范围为(　B　)
[解析]　由题可知 A ＝{ x ｜ y ＝ln(1－ x 2)}＝{ x ｜－1＜ x ＜1}，∁R A ＝{ x ｜ x ≤－1 或 x ≥1}，所以由(∁R A )∪ B ＝R， B ＝{ x ｜ x ≤ a }，得 a ≥1.
方法技巧1. 处理集合的交、并、补运算时，一是要明确集合中的元素是什么，二是要能够化 简集合，得出元素满足的最简条件.2. 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可借助Venn图求解； 如果集合中的元素是连续的，可借助数轴求解，此时要注意端点的情况.
训练3 (1)[2023全国卷乙]设集合 U ＝R，集合 M ＝{ x ｜ x ＜1}， N ＝{ x ｜－1＜ x ＜ 2}，则{ x ｜ x ≥2}＝(　A　)
[解析]　由题意知 M ∪ N ＝{ x ｜ x ＜2}，所以∁ U ( M ∪ N )＝{ x ｜ x ≥2}，故选A.
(2)[2023江西省联考]已知集合 A ＝{( x ， y )｜( x －1)2＋ y 2＝1}， B ＝{( x ， y )｜ kx － y －2＜0}.若 A ∩ B ＝ A ，则实数 k 的取值范围是(　A　)
命题点4　集合中的计数问题例5 [全国卷Ⅲ]《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰 宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随 机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读 过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有 60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为(　C　)
[解析]　解法一　由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为 90－80＋60＝70，则 该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70÷100＝0.7.故 选C.
解法二　用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数 之间的关系，如图，
方法技巧集合中元素的个数问题的求解策略关于集合中元素的个数问题，常借助Venn图或用公式card( A ∪ B )＝card( A )＋ card( B )－ card( A ∩ B )，card( A ∪ B ∪ C )＝card( A )＋card( B )＋card( C )－card( A ∩ B )－card( A ∩ C )－card( B ∩ C )＋card( A ∩ B ∩ C )(card( A )表示有限集合 A 中元素的个数)求解.
命题点5　集合的新定义问题例6 (1)[2024上海市晋元高级中学模拟]已知集合 M ＝{1，2，3，4，5，6}，集合 A ⊆ M ，定义 M ( A )为 A 中元素的最小值，当 A 取遍 M 的所有非空子集时，对应的 M ( A )的和记为 S ，则 S ＝ ⁠.
[解析]　由 M ＝{1，2，3，4，5，6}得， M 的非空子集 A 共有26－1个，其中最小值 为1的有25个，最小值为2的有24个，最小值为3的有23个，最小值为4的有22个， 最 小值为5的有21个，最小值为6的有20个，故 S ＝25×1＋24×2＋23×3＋22×4＋2×5 ＋1×6＝120.
(2)若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”；若两个集合有 公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”.已知集合 A ＝{ x ｜－ t ＜ x ＜ t ， t ＞0}和集合 B ＝{ x ｜ x 2－ x －2＜0}，若集合 A ， B 构成“偏食”，则实 数 t 的取值范围为 ⁠.
方法技巧解决集合新定义问题的关键紧扣新定义，分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，结合题目 所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义混淆.
训练5 [多选/2023山东省淄博一中月考]在整数集Z中，被5除所得余数为 k 的所有整 数组成一个“类”，记为[ k ]，即[ k ]＝{5 n ＋ k ｜ n ∈Z}( k ＝0，1，2，3，4)，给出 如下四个结论，正确结论为(　ACD　)
[解析]　由2 023÷5＝404……3，得2 023∈[3]，故A正确；－2＝5×(－1)＋3，所以 －2∈[3]，故B错误；因为整数集中的被5除的数可以且只可以分成五类，所以Z＝ [0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故C正确；因为整数 a ， b 属于同一“类”，所以整数 a ， b 被5除的余数相同，从而 a － b 被5除的余数为0，反之也成立，故整数 a ， b 属于同 一“类”的充要条件是 a － b ∈[0]，故D正确.故选ACD.
3. [命题点2，3/2024四川省绵阳中学模拟]设集合 A ＝{( x ， y )｜ x ＋ y ＝2}， B ＝ {( x ， y )｜ y ＝ x 2}，则 A ∩ B 的子集个数是(　B　)
5. [命题点5/2024宁夏银川一中月考]已知集合 A ＝{ x ｜－1＜ x ≤1， x ∈Z}， B ＝ { x ｜2≤｜ x ｜≤3， x ∈N}，定义集合 A ⊕ B ＝{( x 1＋ x 2， y 1＋ y 2)｜ x 1， y 1∈ A ， x 2， y 2∈ B }，则 A ⊕ B 中元素个数为(　D　)
[解析]　 A ＝{ x ｜－1＜ x ≤1， x ∈Z}＝{0，1}， B ＝{ x ｜2≤｜ x ｜≤3， x ∈N}＝ {2，3}，由 A ⊕ B ＝{( x 1＋ x 2， y 1＋ y 2)｜ x 1， y 1∈ A ， x 2， y 2∈ B }，得 x 1＋ x 2可 取2，3，4， y 1＋ y 2可取2，3，4，所以 A ⊕ B ＝{(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，有9个元素.故选D.
1. [2024武汉部分学校调考]已知集合 A ＝{ x ｜ x 2－2 x －8＜0}， B ＝{－2，－1， 0，1，2}，则 A ∩ B ＝(　B　)
[解析]　因为 A ＝{ x ｜ x 2－2 x －8＜0}＝{ x ｜－2＜ x ＜4}， B ＝{－2，－1，0， 1，2}，所以 A ∩ B ＝{－1，0，1，2}，故选B.
[解析]　由已知，得 P ＝[0，＋∞)， Q ＝(0，＋∞)，所以 Q ⊆ P ，故选A.
3. [2024辽宁联考]设全集 U ＝{1，2， m 2}，集合 A ＝{2， m －1}，∁ UA ＝{4}，则 m ＝(　D　)
4. [2024江西南昌模拟]已知集合 A ＝{ x ｜2 x ≤8， x ∈N}， B ＝{ x ｜－2＜ x ＜5}， 则 A ∩ B 中元素的个数为(　B　)
[解析]　因为 A ＝{ x ｜2 x ≤8， x ∈N}＝{0，1，2，3}，所以 A ∩ B ＝{0，1，2， 3}，则 A ∩ B 中元素的个数为4.故选B.
5. [2023全国卷乙]设全集 U ＝{0，1，2，4，6，8}，集合 M ＝{0，4，6}， N ＝{0， 1，6}，则 M ∪∁ UN ＝(　A　)
[解析]　由题意知，∁ UN ＝{2，4，8}，所以 M ∪∁ UN ＝{0，2，4，6，8}.故选A.
6. [2024山东模拟]已知集合 M ＝{ x ｜ x 2－2 x ≤0}， N ＝{ x ｜lg2( x －1)＜1}，则 M ∩ N ＝(　B　)
[解析]　解法一　因为 M ＝{ x ｜ x 2－2 x ≤0}＝{ x ｜0≤ x ≤2}， N ＝{ x ｜lg2( x － 1)＜1}＝{ x ｜0＜ x －1＜2}＝{ x ｜1＜ x ＜3}，所以 M ∩ N ＝(1，2]，故选B.
7. [2024重庆渝北模拟]设集合 A ＝{ x ｜ x 2－8 x ＋15＝0}，集合 B ＝{ x ｜ ax －1＝ 0}，若 B ⊆ A ，则实数 a 取值集合的真子集的个数为(　C　)
8. [2023辽宁名校联考]设集合 A ＝{ x ｜ x ＞ a }，集合 B ＝{0，1}，若 A ∩ B ≠∅， 则实数 a 的取值范围是(　C　)
[解析]　因为集合 A ＝{ x ｜ x ＞ a }，集合 B ＝{0，1}，若 A ∩ B ＝∅，则 a ≥1，故 当 A ∩ B ≠∅时， a ＜1.故选C.
9. [2024江西吉安模拟]若全集 U ＝{3，4，5，6，7，8}， M ＝{4，5}， N ＝{3，6}，则集合{7，8}＝(　D　)
[解析]　因为 M ＝{4，5}， N ＝{3，6}，所以 M ∪ N ＝{3，4，5，6}， M ∩ N ＝∅，所以选项A，B不符合题意；又因为 U ＝{3，4，5，6，7，8}，所以(∁ UM )∪(∁ UN )＝{3，6，7，8}∪{4，5，7，8}＝{3，4，5，6，7，8}，(∁ UM )∩(∁ UN )＝{3，6，7，8}∩{4，5，7，8}＝{7，8}，因此选项C不符合题意，选项D符合题意，故选D.
10. [全国卷Ⅱ]已知集合 A ＝{( x ， y )｜ x 2＋ y 2≤3， x ∈Z， y ∈Z}，则 A 中元素的个 数为(　A　)
解法二　根据集合 A 中的元素特征及圆的方程 x 2＋ y 2＝3在平面直角坐标系中 作出图形，如图，易知在圆 x 2＋ y 2＝3中有9个整点，即集合 A 中元素的个数 为9，故选A.
12. [2023江西五校联考]设集合 A ＝{ x ｜ m －3＜ x ＜2 m ＋6}， B ＝{ x ｜lg2 x ＜ 2}，若 A ∪ B ＝ A ，则实数 m 的取值范围是(　D　)
13. [2021全国卷乙]已知集合 S ＝{ s ｜ s ＝2 n ＋1， n ∈Z}， T ＝{ t ｜ t ＝4 n ＋1， n ∈Z}，则 S ∩ T ＝(　C　)
[解析]　解法一　在集合 T 中，令 n ＝ k ( k ∈Z)，则 t ＝4 n ＋1＝2(2 k )＋1( k ∈Z)， 而集合 S 中， s ＝2 n ＋1( n ∈Z)，所以必有 T ⫋ S ，所以 T ∩ S ＝ T ，故选C.
解法二　 S ＝{…，－3，－1，1，3，5，…}， T ＝{…，－3，1，5，…}，观察可 知， T ⫋ S ，所以 T ∩ S ＝ T ，故选C.
14. [2023河南安阳名校联考]已知非空集合 A ， B ， C 满足( A ∩ B )⊆ C ，( A ∩ C )⊆ B . 则(　D　)
[解析]　解法一　由非空集合 A ， B ， C 满足( A ∩ B )⊆ C ，( A ∩ C )⊆ B ，作出符合 题意的三个集合之间关系的Venn图，如图所示，故排除A，B，C，选D.
解法二　根据题意，取 A ＝{1，2}， B ＝{2，3}， C ＝{2，3，4}，则 A ∩ B ＝ {2}， A ∩ C ＝{2}， B ∪ C ＝{2，3，4}， B ∩ C ＝{2，3}，所以 B ≠ C ， A ⊈( B ∪ C )，( B ∩ C )⊈ A ，故排除A，B，C，选D.
15. 某校举办运动会，某班的甲、乙、丙三名运动员共报名参加了13个项目，其中 甲和丙都报名参加了7个项目，乙报名参加了6个项目，甲、乙报名参加的项目中有 2个相同，甲、丙报名参加的项目中有3个相同，同一个项目，每个班级最多只能有 2名运动员报名参加，则乙、丙报名参加的项目中，相同的个数为(　C　)
[解析]　三人各自报名参加的项目个数之和为7＋7＋6＝20，重复报名参加的项目个 数为20－13＝7，又甲、乙报名参加的项目有2个相同，甲、丙报名参加的项目有3 个相同，所以乙、丙报名参加的项目中，相同的个数为7－2－3＝2.故选C.
16. [多选/2024辽宁朝阳模拟]设 S 为实数集R的非空子集.若对任意 x ， y ∈ S ，都有 x ＋ y ， x － y ， xy ∈ S ，则称 S 为封闭集.下列说法正确的是(　BCD　)