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    人教版数学八上同步提升训练专题12.5 全等三角形的证明及计算大题专项训练(2份,原卷版+解析版)

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    人教版(2024)12.1 全等三角形优秀同步练习题

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    这是一份人教版(2024)12.1 全等三角形优秀同步练习题,文件包含人教版数学八上同步提升训练专题125全等三角形的证明及计算大题专项训练30道原卷版doc、人教版数学八上同步提升训练专题125全等三角形的证明及计算大题专项训练30道解析版doc等2份试卷配套教学资源,其中试卷共87页, 欢迎下载使用。


    考卷信息:
    本套训练卷共30题,题型针对性较高,覆盖面广,选题有深度,可深化学生对全等三角形工具的应用及构造全等三角形!
    一.解答题(共30小题)
    1.(2022•黄州区校级模拟)如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足为F.
    (1)求证:△ABC≌△ADE;
    (2)求∠FAE的度数;
    (3)求证:CD=2BF+DE.
    【分析】(1)根据题意和题目中的条件可以找出△ABC≌△ADE的条件;
    (2)根据(1)中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数;
    (3)根据题意和三角形全等的知识,作出合适的辅助线即可证明结论成立.
    【解答】证明:(1)∵∠BAD=∠CAE=90°,
    ∴∠BAC+∠CAD=90°,∠CAD+∠DAE=90°,
    ∴∠BAC=∠DAE,
    在△BAC和△DAE中,

    ∴△BAC≌△DAE(SAS);
    (2)∵∠CAE=90°,AC=AE,
    ∴∠E=45°,
    由(1)知△BAC≌△DAE,
    ∴∠BCA=∠E=45°,
    ∵AF⊥BC,
    ∴∠CFA=90°,
    ∴∠CAF=45°,
    ∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°;
    (3)延长BF到G,使得FG=FB,
    ∵AF⊥BG,
    ∴∠AFG=∠AFB=90°,
    在△AFB和△AFG中,

    ∴△AFB≌△AFG(SAS),
    ∴AB=AG,∠ABF=∠G,
    ∵△BAC≌△DAE,
    ∴AB=AD,∠CBA=∠EDA,CB=ED,
    ∴AG=AD,∠ABF=∠CDA,
    ∴∠G=∠CDA,
    ∵∠GCA=∠DCA=45°,
    在△CGA和△CDA中,

    ∴△CGA≌△CDA(AAS),
    ∴CG=CD,
    ∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,
    ∴CD=2BF+DE.
    2.(2022秋•忠县期末)在△ABC中,点D、E分别在AB、AC边上,设BE与CD相交于点F.
    (1)如图①,设∠A=60°,BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB,证明:DF=EF.
    (2)如图②,设BE⊥AC,CD⊥AB,点G在CD的延长线上,连接AG、AF;若∠G=∠6,BD=CD,证明:GD=DF.
    【分析】(1)在BC上截取BM=BD,连接FM,证明△BFD≌△BFM,△ECF≌△MCF,进而可以解决问题;
    (2)根据已知条件证明△BDF≌△CDA,进而可以解决问题.
    【解答】证明:(1)如图,在BC上截取BM=BD,连接FM,
    ∵∠A=60,
    ∴∠BFC=90°+60°÷2=120°,
    ∴∠BFD=60°,
    ∵BE平分∠ABC,
    ∴∠1=∠2,
    在△BFD和△BFM中,

    ∴△BFD≌△BFM(SAS),
    ∴∠BFM=∠BFD=60°,DF=MF,
    ∴∠CFM=120°﹣60°=60°,
    ∵∠CFE=∠BFD=60°,
    ∴∠CFM=∠CFE,
    ∵CD平分∠ACB,
    ∴∠3=∠4,
    又CF=CF,
    在△ECF和△MCF中,

    ∴△ECF≌△MCF(ASA),
    ∴EF=MF,
    ∴DF=EF;
    (2)∵BE⊥AC,CD⊥AB,
    ∴∠BDF=∠CDA=90°,
    ∴∠1+∠BFD=90°,∠3+∠CFE=90°,∠BFD=∠CFE,
    ∴∠1=∠3,
    ∵BD=CD,
    在△BDF和△CDA中,

    ∴△BDF≌△CDA(ASA),
    ∴DF=DA,
    ∵∠ADF=90°,
    ∴∠6=45°,
    ∵∠G=∠6,
    ∴∠5=45°
    ∴∠G=∠5,
    ∴GD=DA,
    ∴GD=DF.
    3.(2022秋•路北区期中)如图,在四边形ABCD中,AD=BC=4,AB=CD,BD=6,点E从D点出发,以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动,点F从点C出发,以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动,点G从点B出发沿BD向点D匀速移动,三个点同时出发,当有一个点到达终点时,其余两点也随之停止运动.
    (1)证明:AD∥BC.
    (2)在移动过程中,小明发现当点G的运动速度取某个值时,有△DEG与△BFG全等的情况出现,请你探究当点G的运动速度取哪些值时,会出现△DEG与△BFG全等的情况.
    【分析】(1)由AD=BC=4,AB=CD,BD为公共边,所以可证得△ABD≌△CDB,所以可知∠ADB=∠CBD,所以AD∥BC;
    (2)设运动时间为t,点G的运动速度为v,根据全等三角形的性质进行解答即可.
    【解答】(1)证明:在△ABD和△CDB中,

    ∴△ABD≌△CDB(SSS),
    ∴∠ADB=∠CBD,
    ∴AD∥BC;
    (2)解:设运动时间为t,点G的运动速度为v,
    当时,
    若△DEG≌△BGF,
    则,
    ∴,
    ∴,
    ∴v=3;
    若△DEG≌△BGF,
    则,
    ∴,
    ∴(舍去);
    当时,
    若△DEG≌△BFG,
    则,
    ∴,
    ∴,
    ∴;
    若△DEG≌△BGF,
    则,
    ∴,
    ∴,
    ∴v=1.
    综上,当点G的速度为3或1.5或1时.会出现△DEG与△BFG全等的情况.
    4.(2022春•北碚区校级期末)如图,已知凸五边形ABCDE中,EC,EB为其对角线,EA=ED.
    (1)如图1,若∠A=60°,∠CDE=120°,且CD+AB=BC.求证:CE平分∠BCD;
    (2)如图2,∠A与∠D互补,∠DEA=2∠CEB,若凸五边形ABCDE面积为30,且CDAB=4.求点E到BC的距离.
    【分析】(1)延长CD到T,使得DT=BA,连接ET.证明△EAB≌△EDT(SAS),△ECB≌△ECT(SSS),可得结论.
    (2)延长CD到Q,使得∠QED=∠AEB,过点E作EH⊥BC于H.证明△AEB≌△DEQ(ASA),△ECB≌△ECQ(SAS),由题意S五边形ABCDE=S四边形EBCQ=2S△EBC=30,推出S△EBC=15,再利用三角形面积公式求出EH即可.
    【解答】(1)证明:延长CD到T,使得DT=BA,连接ET.
    ∵∠CDE=120°,
    ∴∠EDT=180°﹣120°=60°,
    ∵∠A=60°,
    ∴∠A=∠EDT,
    在△EAB和△EDT中,

    ∴△EAB≌△EDT(SAS),
    ∴EB=ET,
    ∴CB=CD+BA=CD+DT=CT,
    在△ECB和△ECT中,

    ∴△ECB≌△ECT(SSS),
    ∴∠ECB=∠ECD,
    ∴CE平分∠BCD.
    (2)解:延长CD到Q,使得∠QED=∠AEB,过点E作EH⊥BC于H.
    ∵∠A+∠CDE=180°,∠CDE+∠EDQ=180°,
    ∴∠A=∠EDQ,
    在△AEB和△DEQ中,

    ∴△AEB≌△DEQ(ASA),
    ∴EB=EQ,
    ∵∠AED=2∠BEC,
    ∴∠AEB+∠CED=∠BEC,
    ∴∠CED+∠DEQ=∠BEC,
    ∴∠CEB=∠CEQ,
    在△CEB和△CEQ中,

    ∴△ECB≌△ECQ(SAS),
    ∵S五边形ABCDE=S四边形EBCQ=2S△EBC=30,
    ∴S△EBC=15,
    ∵CDAB=4,
    ∴AB=6,CD=4,
    ∴BC=CD+QD=CD+AB=10,
    ∴10×EH=15,
    ∴EH=3,
    ∴点E到BC的距离为3.
    5.(2022秋•宜兴市期中)如图,在△ABC中,已知∠ABC=45°,过点C作CD⊥AB于点D,过点B作BM⊥AC于点M,CD与BM相交于点E,且点E是CD的中点,连接MD,过点D作DN⊥MD,交BM于点N.
    (1)求证:△DBN≌△DCM;
    (2)请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系,并证明你的结论.
    【分析】(1)根据两角夹边相等的两个三角形全等即可证明.
    (2)结论:NE﹣ME=CM.作DF⊥MN于点F,由(1)△DBN≌△DCM 可得DM=DN,由△DEF≌△CEM,推出ME=EF,CM=DF,由此即可证明.
    【解答】(1)证明:∵∠ABC=45°,CD⊥AB,
    ∴∠ABC=∠DCB=45°,
    ∴BD=DC,
    ∵∠BDC=∠MDN=90°,
    ∴∠BDN=∠CDM,
    ∵CD⊥AB,BM⊥AC,
    ∴∠ABM=90°﹣∠A=∠ACD,
    在△DBN和△DCM中,

    ∴△DBN≌△DCM.
    (2)结论:NE﹣ME=CM.
    证明:由(1)△DBN≌△DCM 可得DM=DN.
    作DF⊥MN于点F,又 ND⊥MD,
    ∴DF=FN,
    在△DEF和△CEM中,

    ∴△DEF≌△CEM,
    ∴ME=EF,CM=DF,
    ∴CM=DF=FN=NE﹣FE=NE﹣ME.
    6.(2022秋•淅川县期末)如图1,△ABC的边BC在直线l上,AC⊥BC,且AC=BC;△EFP的边FP也在直线l上,边EF与边AC重合,且EF=FP.
    (1)示例:在图1中,通过观察、测量,猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系.
    答:AB与AP的数量关系和位置关系分别是 AB=AP 、 AB⊥AP .
    (2)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时,EP交AC于点Q,连接AP,BQ.请你观察、测量,猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系.答:BQ与AP的数量关系和位置关系分别是 BQ=AP 、 BQ⊥AP .
    (3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连接AP、BQ.你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.
    【分析】(1)由于AC⊥BC,且AC=BC,边EF与边AC重合,且EF=FP,则△ABC与△EFP是全等的等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=∠CAP=45°,AB=AP,则∠BAP=90°,于是AP⊥AB;
    (2)延长BQ交AP于H点,可得到△QPC为等腰直角三角形,则有QC=PC,根据“SAS”可判断△ACP≌△BCQ,则AP=BQ,∠CAP=∠CBQ,利用三角形内角和定理可得到∠AHQ=∠BCQ=90°,即AP⊥BQ;
    (3)BQ与AP所满足的数量关系为相等,位置关系为垂直.证明方法与(2)一样.
    【解答】解:(1)AB=AP,AB⊥AP;
    (2)BQ=AP,BQ⊥AP;
    (3)成立.
    证明:如图,∵∠EPF=45°,
    ∴∠CPQ=45°.
    ∵AC⊥BC,
    ∴∠CQP=∠CPQ,
    CQ=CP.
    在Rt△BCQ和Rt△ACP中,

    ∴Rt△BCQ≌Rt△ACP(SAS)
    ∴BQ=AP;
    延长QB交AP于点N,
    ∴∠PBN=∠CBQ.
    ∵Rt△BCQ≌Rt△ACP,
    ∴∠BQC=∠APC.
    在Rt△BCQ中,∠BQC+∠CBQ=90°,
    ∴∠APC+∠PBN=90°.
    ∴∠PNB=90°.
    ∴QB⊥AP.
    7.(2022秋•渝中区校级期中)如图,直线AB交x轴正半轴于点A(a,0),交y轴正半轴于点B(0,b),且a、b满足|4﹣b|=0,
    (1)求A、B两点的坐标;
    (2)D为OA的中点,连接BD,过点O作OE⊥BD于F,交AB于E,求证:∠BDO=∠EDA;
    (3)如图,P为x轴上A点右侧任意一点,以BP为边作等腰Rt△PBM,其中PB=PM,直线MA交y轴于点Q,当点P在x轴上运动时,线段OQ的长是否发生变化?若不变,求其值;若变化,求线段OQ的取值范围.
    【分析】①首先根据已知条件和非负数的性质得到关于a、b的方程,解方程组即可求出a,b的值,也就能写出A,B的坐标;
    ②作出∠AOB的平分线,通过证△BOG≌△OAE得到其对应角相等解决问题;
    ③过M作x轴的垂线,通过证明△PBO≌△MPN得出MN=AN,转化到等腰直角三角形中去就很好解决了.
    【解答】解:①∵|4﹣b|=0
    ∴a=4,b=4,
    ∴A(4,0),B(0,4);
    (2)证明:作∠AOB的角平分线,交BD于G,
    ∴∠BOG=∠OAE=45°,OB=OA,
    ∠OBG=∠AOE=90°﹣∠BOF,
    ∴△BOG≌△OAE,
    ∴OG=AE.
    ∵∠GOD=∠EAD=45°,OD=AD,
    ∴△GOD≌△EDA.
    ∴∠GDO=∠ADE.
    (3)过M作MN⊥x轴,垂足为N.
    ∵∠BPM=90°,
    ∴∠BPO+∠MPN=90°.
    ∵∠AOB=∠MNP=90°,
    ∴∠BPO=∠PMN,∠PBO=∠MPN,
    ∵BP=MP,
    ∴△PBO≌△MPN(AAS),
    MN=OP,PN=AO=BO,
    OP=OA+AP=PN+AP=AN,
    ∴MN=AN,∠MAN=45°.
    ∵∠BAO=45°,
    ∴∠BAO+∠OAQ=90°
    ∴△BAQ是等腰直角三角形.
    ∴OB=OQ=4.
    ∴无论P点怎么动OQ的长不变.
    8.(2022春•崇川区校级期末)如图1,点A、D在y轴正半轴上,点B、C分别在x轴上,CD平分∠ACB与y轴交于D点,∠CAO=90°﹣∠BDO.
    (1)求证:AC=BC;
    (2)在(1)中点C的坐标为(4,0),点E为AC上一点,且∠DEA=∠DBO,如图2,求BC+EC的长;
    (3)在(1)中,过D作DF⊥AC于F点,点H为FC上一动点,点G为OC上一动点,(如图3),当点H在FC上移动、点G在OC上移动时,始终满足∠GDH=∠GDO+∠FDH,试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系,写出你的结论并加以证明.
    【分析】(1)由题意∠CAO=90°﹣∠BDO,可知∠CAO=∠CBD,CD平分∠ACB与y轴交于D点,所以可由AAS定理证明△ACD≌△BCD,由全等三角形的性质可得AC=BC;
    (2)过D作DN⊥AC于N点,可证明Rt△BDO≌Rt△EDN、△DOC≌△DNC,因此,BO=EN、OC=NC,所以,BC+EC=BO+OC+NC﹣NE=2OC,即可得BC+EC的长;
    (3)在x轴的负半轴上取OM=FH,可证明△DFH≌△DOM、△HDG≌△MDG,因此,MG=GH,所以,GH=OM+OG=FH+OG,即可证明所得结论.
    【解答】(1)证明:∵∠CAO=90°﹣∠BDO,
    ∴∠CAO=∠CBD.
    在△ACD和△BCD中

    ∴△ACD≌△BCD(AAS).
    ∴AC=BC.
    (2)解:由(1)知∠CAD=∠DEA=∠DBO,
    ∴BD=AD=DE,过D作DN⊥AC于N点,如右图所示:
    ∵∠ACD=∠BCD,
    ∴DO=DN,
    在Rt△BDO和Rt△EDN中

    ∴Rt△BDO≌Rt△EDN(HL),
    ∴BO=EN.
    在△DOC和△DNC中,

    ∴△DOC≌△DNC(AAS),
    可知:OC=NC;
    ∴BC+EC=BO+OC+NC﹣NE=2OC=8.
    (3)GH=FH+OG.
    证明:由(1)知:DF=DO,
    在x轴的负半轴上取OM=FH,连接DM,如右图所示:
    在△DFH和△DOM中

    ∴△DFH≌△DOM(SAS).
    ∴DH=DM,∠1=∠ODM.
    ∴∠GDH=∠1+∠2=∠ODM+∠2=∠GDM.
    在△HDG和△MDG中

    ∴△HDG≌△MDG(SAS).
    ∴MG=GH,
    ∴GH=OM+OG=FH+OG.
    9.(2022秋•莆田期中)如图1,OA=2,OB=4,以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC,
    (1)求C点的坐标;
    (2)如图2,P为y轴负半轴上一个动点,当P点向y轴负半轴向下运动时,以P为顶点,PA为腰作等腰Rt△APD,过D作DE⊥x轴于E点,求OP﹣DE的值;
    (3)如图3,已知点F坐标为(﹣2,﹣2),当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时,作Rt△FGH,始终保持∠GFH=90°,FG与y轴负半轴交于点G(0,m),FH与x轴正半轴交于点H(n,0),当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时,以下两个结论:①m﹣n为定值;②m+n为定值,其中只有一个结论是正确的,请找出正确的结论,并求出其值.
    【分析】(1)要求点C的坐标,则求C的横坐标与纵坐标,因为AC=AB,则作CM⊥x轴,即求CM和AM的值,容易得△MAC≌△OBA,根据已知即可求得C点的值;
    (2)求OP﹣DE的值则将其放在同一直线上,过D作DQ⊥OP于Q点,即是求PQ的值,由图易求得△AOP≌△PDQ(AAS),即可求得PQ的长;
    (3)利用(2)的结论,可知m+n为定长是正确的,过F分别作x轴和y轴的垂线,类似(2),即可求得m+n的值.
    【解答】解:(1)过C作CM⊥x轴于M点,如图1,
    ∵CM⊥OA,AC⊥AB,
    ∴∠MAC+∠OAB=90°,∠OAB+∠OBA=90°
    则∠MAC=∠OBA
    在△MAC和△OBA中,

    则△MAC≌△OBA(AAS)
    则CM=OA=2,MA=OB=4,则点C的坐标为(﹣6,﹣2);
    (2)过D作DQ⊥OP于Q点,如图2,则OP﹣DE=PQ,∠APO+∠QPD=90°
    ∠APO+∠OAP=90°,则∠QPD=∠OAP,
    在△AOP和△PDQ中,

    则△AOP≌△PDQ(AAS)
    ∴OP﹣DE=PQ=OA=2;
    (3)结论②是正确的,m+n=﹣4,
    如图3,过点F分别作FS⊥x轴于S点,FT⊥y轴于T点,
    则FS=FT=2,∠FHS=∠HFT=∠FGT,
    在△FSH和△FTG中,

    则△FSH≌△FTG(AAS)
    则GT=HS,
    又∵G(0,m),H(n,0),点F坐标为(﹣2,﹣2),
    ∴OT=OS=2,OG=|m|=﹣m,OH=n,
    ∴GT=OG﹣OT=﹣m﹣2,HS=OH+OS=n+2,
    则﹣2﹣m=n+2,
    则m+n=﹣4.
    10.(2022秋•南岗区校级月考)在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,BE平分∠ABD,点F在BD上,∠BEF=45°
    (1)如图1,求证:BF=CE;
    (2)如图2,作EM⊥BE,交BC的延长线于点M,连接AM,交BE的延长线于点N,若∠BAC=30°,请探究线段EF与MN的数量关系,并加以证明.
    【分析】(1)在AB上截取BG=BF,连接EG,利用BE平分∠ABD,可得∠GBE=∠FBE,根据题意易求证△BGE≌△BFE(SAS),设∠EBG=∠EBF=α,∠DBC=β,根据角度关系可求证GE∥BC,通过等量代换即可求解;
    (2)数量关系为:MN=2EF,理由为连接NC,根据题意可求证BE=EM,∠EBF=∠CEM=30°,BF=CE,从而求证△BEF≌△EMC(SAS),可得EF=MC,即可求解.
    【解答】(1)证明:如图,在AB上截取BG=BF,连接EG,
    ∵BE平分∠ABD,
    ∴∠GBE=∠FBE,
    ∵BG=BF,BE=BE,
    ∴△BGE≌△BFE(SAS),
    ∴∠GEB=∠FEB=45°,
    设∠EBG=∠EBF=α,∠DBC=β,
    ∴∠AGE=∠GBE+∠GEB=45°+α,
    ∵AB=AC,
    ∴∠C=∠ABC=2α+β,
    ∵∠BDC=90°,
    ∴∠DBC+∠C=90°,即2α+β+β=90°,
    ∴α+β=90°,
    ∴∠ABC=2α+β=45°+α,
    ∴∠ABC=∠AGE,
    ∴GE∥BC,
    ∴∠AEG=∠C=∠ABC=∠AGE,
    ∴AG=AE,
    ∴AB﹣AG=AC﹣AE,即BG=CE,
    ∵BF=BG,
    ∴BF=CE;
    (2)解:数量关系为:MN=2EF,理由如下:
    ∵∠BAC=30°,AB=AC,
    ∴∠ABC=∠ACB=75°,
    ∵BD⊥AC,
    ∴∠DBC=90°﹣75°=15°,
    ∴∠ABD=75°﹣15°=60°,
    ∵BE平分∠ABD,
    ∴∠ABE=∠EBD=30°,
    ∴∠BAC=∠ABE=30°,
    ∴AE=BE,
    ∴∠BED=∠BAC+∠ABE=75°,
    ∴∠EMC=45°,
    ∵∠EBM=∠EBD+∠DBC=45°,
    ∴∠EMC=∠EBM=45°,
    ∴BE=EM,
    ∴EM=AE,
    ∴∠EAM=∠EMA∠CEM=15°,
    ∴∠AMC=∠EMC+∠AME=60°=∠BEC,
    如图,连接NC,
    ∴E、N、M、C四点共圆,
    ∴∠NCM=∠NEM=90°,
    在Rt△NMC中,∠NMC=60°,
    ∴∠CNM=30°,
    ∴CMMN,
    ∵BE=EM,∠EBF=∠CEM=30°,BF=CE,
    ∴△BEF≌△EMC(SAS),
    ∴EF=MC,
    ∴MN=2EF.
    11.(2022春•运城期末)综合与探究
    如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,CE的延长线交BD于点F.
    (1)求证:△ACE≌△ABD.
    (2)若∠BAC=∠DAE=50°,请直接写出∠BFC的度数.
    (3)过点A作AH⊥BD于点H,求证:EF+DH=HF.
    【分析】(1)可利用SAS证明结论;
    (2)由全等三角形的性质可得∠AEC=∠ADB,结合平角的定义可得∠DAE+∠DFE=180°,根据∠BFC+∠DFE=180°,可求得∠BFC=∠DAE,即可求解;
    (3)连接AF,过点A作AJ⊥CF于点J.结合全等三角形的性质利用HL证明Rt△AFJ≌Rt△AFH,Rt△AJE≌Rt△AHD可得FJ=FH,EJ=DH,进而可证明结论.
    【解答】(1)证明:∵∠BAC=∠DAE.
    ∴∠CAE=∠BAD.
    在△ACE和△ABD中,

    ∴△ACE≌△ABD(SAS);
    (2)解:∵△ACE≌△ABD,
    ∴∠AEC=∠ADB,
    ∴∠AEF+∠AEC=∠AEF+∠ADB=180°.
    ∴∠DAE+∠DFE=180°,
    ∵∠BFC+∠DFE=180°,
    ∴∠BFC=∠DAE=∠BAC=50°;
    (3)证明:如图,连接AF,过点A作AJ⊥CF于点J.
    ∵△ACE≌△ABD,
    ∴S△ACE=S△ABD,CE=BD,
    ∵AJ⊥CE,AH⊥BD.
    ∴,
    ∴AJ=AH.
    在Rt△AFJ和Rt△AFH中,

    ∴Rt△AFJ≌Rt△AFH(HL),
    ∴FJ=FH.
    在Rt△AJE和Rt△AHD中,

    ∴Rt△AJE≌Rt△AHD(HL),
    ∴EJ=DH,
    ∴EF+DH=EF+EJ=FJ=FH.
    12.(2022秋•松桃县期末)如图①:△ABC中,AC=BC,延长AC到E,过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F,延长CB到G,过点G作GH⊥AB交AB的延长线于H,且EF=GH.
    (1)求证:△AEF≌△BGH;
    (2)如图②,连接EG与FH相交于点D,若AB=4,求DH的长.
    【分析】(1)利用AAS即可证明△AEF≌△BGH;
    (2)结合(1)证明△EFD≌△GHD,即可解决问题.
    【解答】(1)证明:∵AC=BC,
    ∴∠A=∠ABC.
    ∵∠ABC=∠GBH,
    ∴∠A=∠GBH.
    ∵EF⊥AB,GH⊥AB,
    ∴∠AFE=∠BHG.
    在△ADG和△CDF中,

    ∴△AEF≌△BGH(AAS).
    (2)解:∵△AEF≌△BGH,
    ∴AF=BH,
    ∴AB=FH=4.
    ∵EF⊥AB,GH⊥AB,
    ∴∠EFD=∠GHD.
    在△EFD和△GHD中,

    ∴△EFD≌△GHD(AAS),
    ∴.
    13.(2022秋•两江新区期末)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是CB延长线上一点,点E是线段AB上一点,连接DE.AC=DE,BC=BE.
    (1)求证:AB=BD;
    (2)BF平分∠ABC交AC于点F,点G是线段FB延长线上一点,连接DG,点H是线段DG上一点,连接AH交BD于点K,连接KG.当KB平分∠AKG时,求证:AK=DG+KG.
    【分析】(1)证明Rt△ACB≌Rt△DEB即可解决问题;
    (2)作BM平分∠ABD交AK于点M,证明△BMK≌△BGK,△ABM≌△DBG,即可解决问题.
    【解答】证明:(1)在Rt△ACB和Rt△DEB中,

    ∴Rt△ACB≌Rt△DEB(HL),
    ∴AB=BD,
    (2)如图:作BM平分∠ABD交AK于点M,
    ∵BM平分∠ABD,KB平分∠AKG,
    ∴∠ABM=∠MBD=45°,∠AKB=∠BKG,
    ∵∠ABF=∠DBG=45°
    ∴∠MBD=∠GBD,
    在△BMK和△BGK中,

    ∴△BMK≌△BGK(ASA),
    ∴BM=BG,MK=KG,
    在△ABM和△DBG中,

    ∴△ABM≌△DBG(SAS),
    ∴AM=DG,
    ∵AK=AM+MK,
    ∴AK=DG+KG.
    14.(2022春•济南期末)如图1,△ABE是等腰三角形,AB=AE,∠BAE=45°,过点B作BC⊥AE于点C,在BC上截取CD=CE,连接AD、DE并延长AD交BE于点P;
    (1)求证:AD=BE;
    (2)试说明AD平分∠BAE;
    (3)如图2,将△CDE绕着点C旋转一定的角度,那么AD与BE的位置关系是否发生变化,说明理由.
    【分析】(1)利用SAS证明△BCE≌△ACD,根据全等三角形的对应边相等得到AD=BE.
    (2)根据△BCE≌△ACD,得到∠EBC=∠DAC,由∠BDP=∠ADC,得到∠BPD=∠DCA=90°,利用等腰三角形的三线合一,即可得到AD平分∠BAE;
    (3)AD⊥BE不发生变化.由△BCE≌△ACD,得到∠EBC=∠DAC,由对顶角相等得到∠BFP=∠AFC,根据三角形内角和为180°,所以∠BPF=∠ACF=90°,即AD⊥BE.
    【解答】解:(1)∵BC⊥AE,∠BAE=45°,
    ∴∠CBA=∠CAB,
    ∴BC=CA,
    在△BCE和△ACD中,

    ∴△BCE≌△ACD(SAS),
    ∴AD=BE.
    (2)∵△BCE≌△ACD,
    ∴∠EBC=∠DAC,
    ∵∠BDP=∠ADC,
    ∴∠BPD=∠DCA=90°,
    ∵AB=AE,
    ∴AD平分∠BAE.
    (3)AD⊥BE不发生变化.
    如图2,
    ∵△BCE≌△ACD,
    ∴∠EBC=∠DAC,
    ∵∠BFP=∠AFC,
    ∴∠BPF=∠ACF=90°,
    ∴AD⊥BE.
    15.(2022春•渭滨区期末)如图,在四边形ABCD中,AD=BC=4,AB=CD,BD=6,点E从D点出发,以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动,点F从点C出发,以每秒3个单位的速度沿C→B→C做匀速移动,点G从点B出发沿BD向点D匀速移动,三个点同时出发,当有一个点到达终点时,其余两点也随之停止运动.
    (1)试证明:AD∥BC.
    (2)在移动过程中,小明发现当点G的运动速度取某个值时,有△DEG与△BFG全等的情况出现,请你探究当点G的运动速度取哪些值时,△DEG与△BFG全等.
    【分析】(1)由AD=BC=4,AB=CD,BD为公共边,所以可证得△ABD≌△CDB,所以可知∠ADB=∠CBD,所以AD∥BC;
    (2)设运动时间为t,点G的运动速度为v,根据全等三角形的性质进行解答即可.
    【解答】(1)证明:在△ABD和△CDB中

    ∴△ABD≌△CDB,
    ∴∠ADB=∠CBD,
    ∴AD∥BC;
    (2)解:设运动时间为t,点G的运动速度为v,
    当0<t时,若△DEG≌△BFG,则,
    ∴,
    ∴,
    ∴v=3;
    若△DEG≌△BGF,则,
    ∴,
    ∴ (舍去);
    当t时,若△DEG≌△BFG,则,
    ∴,
    ∴,
    ∴v=1.5;
    若△DEG≌△BGF,则,
    ∴,
    ∴,
    ∴v=1.
    综上,点G的速度为3或1或1.5.
    16.(2022秋•宁津县期末)(1)某学习小组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型的基本图形.如图1,已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线l经过点A,BD⊥直线l,CE⊥直线l,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.
    (2)组员小刘想,如果三个角不是直角,那结论是否会成立呢?如图2,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线l上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
    (3)数学老师赞赏了他们的探索精神,并鼓励他们运用这个知识来解决问题:如图3,过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC边上的高,延长HA交EG于点I,求证:I是EG的中点.
    【分析】(1)由条件可证明△ABD≌△CAE,可得DA=CE,AE=BD,可得DE=BD+CE;
    (2)由条件可知∠BAD+∠CAE=180°﹣α,且∠DBA+∠BAD=180°﹣α,可得∠DBA=∠CAE,结合条件可证明△ABD≌△CAE,同(1)可得出结论;
    (3)由条件可知EM=AH=GN,可得EM=GN,结合条件可证明△EMI≌△GNI,可得出结论I是EG的中点.
    【解答】解:(1)如图1,
    ∵BD⊥直线l,CE⊥直线l,
    ∴∠BDA=∠CEA=90°,
    ∵∠BAC=90°,
    ∴∠BAD+∠CAE=90°
    ∵∠BAD+∠ABD=90°,
    ∴∠CAE=∠ABD
    在△ADB和△CEA中,

    ∴△ADB≌△CEA(AAS),
    ∴AE=BD,AD=CE,
    ∴DE=AE+AD=BD+CE;
    (2)DE=BD+CE.
    如图2,
    证明如下:
    ∵∠BDA=∠BAC=α,
    ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α,
    ∴∠DBA=∠CAE,
    在△ADB和△CEA中.

    ∴△ADB≌△CEA(AAS),
    ∴AE=BD,AD=CE,
    ∴DE=AE+AD=BD+CE
    (3)如图3,
    过E作EM⊥HI于M,GN⊥HI的延长线于N.
    ∴∠EMI=GNI=90°
    由(1)和(2)的结论可知EM=AH=GN
    ∴EM=GN
    在△EMI和△GNI中,

    ∴△EMI≌△GNI(AAS),
    ∴EI=GI,
    ∴I是EG的中点.
    17.(2022秋•富县期中)如图,在△ABC中,∠ACB=60°,D为△ABC边AC上一点,BC=CD,点M在BC的延长线上,CE平分∠ACM,且AC=CE.连接BE交AC于点F,G为边CE上一点,满足CG=CF,连接DG交BE于点H.
    (1)求∠DHF的度数;
    (2)若EB平分∠DEC,则BE平分∠ABC吗?请说明理由.
    【分析】(1)由“SAS”可证△CDG≌△CBF,可得∠CBF=∠CDG,再利用三角形的内角和定理,得∠CBF+∠BCF=∠CDG+∠DHF,又∠ACB=60°,即可出∠DHF=∠ACB=60°,从而问题得以解决;
    (2)由“SAS”可证△ABC≌△EDC;由三角形的内角和可得∠DEB+∠EBC=60°,因为∠DEB=∠BEC,只要证出∠DEB+∠ABE=60°,用三角形的外角以及等量代换可以证出,进而得到BE平分∠ABC.
    【解答】解:(1)在△CDG和△CBF中,

    ∴△CDG≌△CBF(SAS),
    ∴∠CBF=∠CDG,
    ∵∠DFH=∠BFC,
    ∴∠DHF=∠BCF=60°;
    (2)BE平分∠ABC.
    理由:∵∠ACB=60°,
    ∴∠ACM=120°,
    ∵CE平分∠ACM,
    ∴∠ACE=∠MCE=60°,
    ∴∠ACB=∠ACE,
    在△ABC和△EDC中,

    ∴△ABC≌△EDC(SAS);
    ∴∠ABC=∠EDC,
    ∵∠ACB=∠DCE=60°,
    ∴∠BEC+∠CBE=60°,
    ∵∠DFH=∠A+∠ABE=∠BEC+∠FCG,
    ∵∠A=∠DEC=2∠DEB=2∠BEC,
    ∴2∠DEB+∠ABE=∠BEC+60°,
    ∴∠DEB+∠ABE=60°,
    ∴∠ABE=∠CBE,
    ∴BE平分∠ABC.
    18.(2022秋•台安县月考)如图所示,BD、CE是△ABC的高,点P在BD的延长线上,CA=BP,点Q在CE上,QC=AB.
    (1)探究PA与AQ之间的关系;
    (2)若把(1)中的△ABC改为钝角三角形,AC>AB,∠A是钝角,其他条件不变,上述结论是否成立?画出图形并证明你的结论.
    【分析】(1)由条件可得出∠1=∠2,可证得△APB≌△QAC,可得结论;
    (2)根据题意画出图形,结合(1)可证得△APB≌△QAC,可得结论.
    【解答】(1)结论:AP=AQ,AP⊥AQ
    证明:∵BD、CE是△ABC的高,
    ∴BD⊥AC,CE⊥AB,
    ∴∠1+∠CAB=90°,∠2+∠CAB=90°,
    ∴∠1=∠2,
    在△QAC和△APB中,

    ∴△QAC≌△APB(SAS),
    ∴AQ=AP,∠QAC=∠P,
    而∠DAP+∠P=90°,
    ∴∠DAP+∠QAC=90°,
    即∠QAP=90°,
    ∴AQ⊥AP;
    即AP=AQ,AP⊥AQ;
    (2)上述结论成立,理由如下:
    如图所示:
    ∵BD、CE是△ABC的高,
    ∴BD⊥AC,CE⊥AB,
    ∴∠1+∠CAE=90°,∠2+∠DAB=90°,
    ∵∠CAE=∠DAB,
    ∴∠1=∠2,
    在△QAC和△APB中,

    ∴△QAC≌△APB(SAS),
    ∴AQ=AP,∠QAC=∠P,
    ∵∠PDA=90°,
    ∴∠P+∠PAD=90°,
    ∴∠QAC+∠PAD=90°,
    ∴∠QAP=90°,
    ∴AQ⊥AP,
    即AP=AQ,AP⊥AQ.
    19.(2022春•浦东新区期末)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°.
    (1)当点D在AC上时,如图①,线段BD,CE有怎样的数量关系和位置关系?请证明你的猜想;
    (2)将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°),如图②,线段BD,CE有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由.
    【分析】(1)延长BD交CE于F,易证△EAC≌△DAB,可得BD=CE,∠ABD=∠ACE,根据∠AEC+∠ACE=90°,可得∠ABD+∠AEC=90°,即可解题;
    (2)延长BD交CE于F,易证∠BAD=∠EAC,即可证明△EAC≌△DAB,可得BD=CE,∠ABD=∠ACE,根据∠ABC+∠ACB=90°,可以求得∠CBF+∠BCF=90°,即可解题.
    【解答】证明:(1)延长BD交CE于F,
    在△EAC和△DAB中,

    ∴△EAC≌△DAB(SAS),
    ∴BD=CE,∠ABD=∠ACE,
    ∵∠AEC+∠ACE=90°,
    ∴∠ABD+∠AEC=90°,
    ∴∠BFE=90°,即EC⊥BD;
    (2)延长BD交CE于F,
    ∵∠BAD+∠CAD=90°,∠CAD+∠EAC=90°,
    ∴∠BAD=∠EAC,
    ∵在△EAC和△DAB中,

    ∴△EAC≌△DAB(SAS),
    ∴BD=CE,∠ABD=∠ACE,
    ∵∠ABC+∠ACB=90°,
    ∴∠CBF+∠BCF=∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE=90°,
    ∴∠BFC=90°,即EC⊥BD.
    20.(2022春•吉安县期末)课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
    如图1,△ABC中,若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明的方法思考:
    (1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 B .
    A.SSS B.SAS C.AAS D.HL
    (2)求得AD的取值范围是 C .
    A.6<AD<8 B.6≤AD≤8 C.1<AD<7 D.1≤AD≤7
    (3)如图2,AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求证:AC=BF.
    【分析】(1)根据AD=DE,∠ADC=∠BDE,BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可;
    (2)根据全等得出BE=AC=6,AE=2AD,由三角形三边关系定理得出8﹣6<2AD<8+6,求出即可;
    (3)延长AD到M,使AD=DM,连接BM,根据SAS证△ADC≌△MDB,推出BM=AC,∠CAD=∠M,根据AE=EF,推出∠CAD=∠AFE=∠BFD,求出∠BFD=∠M,根据等腰三角形的性质求出即可.
    【解答】(1)解:∵在△ADC和△EDB中

    ∴△ADC≌△EDB(SAS),
    故选B;
    (2)解:∵由(1)知:△ADC≌△EDB,
    ∴BE=AC=6,AE=2AD,
    ∵在△ABE中,AB=8,由三角形三边关系定理得:8﹣6<2AD<8+6,
    ∴1<AD<7,
    故选C.
    (3)证明:
    延长AD到M,使AD=DM,连接BM,
    ∵AD是△ABC中线,
    ∴BD=DC,
    ∵在△ADC和△MDB中

    ∴△ADC≌△MDB(SAS),
    ∴BM=AC,∠CAD=∠M,
    ∵AE=EF,
    ∴∠CAD=∠AFE,
    ∵∠AFE=∠BFD,
    ∴∠BFD=∠CAD=∠M,
    ∴BF=BM=AC,
    即AC=BF.
    21.(2022秋•立山区期中)如图,已知△ABC中,AB=AC=9cm,BC=6cm,点D为AB的中点.
    (1)如果点P在边BC上以1.5cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在边CA上由点C向点A运动.
    ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;
    ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,经过t秒后,△BPD与△CQP全等,求此时点Q的运动速度与运动时间t.
    (2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,则经过 24 秒后,点P与点Q第一次在△ABC的 AC 边上相遇?(在横线上直接写出答案,不必书写解题过程)
    【分析】(1)①根据时间和速度分别求得两个三角形中BP、CQ和BD、PC边的长,根据SAS判定两个三角形全等.
    ②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系,再根据路程=速度×时间公式,先求得点P运动的时间,再求得点Q的运动速度;
    (2)根据题意结合图形分析发现:由于点Q的速度快,且在点P的前边,所以要想第一次相遇,则应该比点P多走等腰三角形的两个边长.
    【解答】解:(1)①全等,理由如下:
    ∵t=1秒,
    ∴BP=CQ=1×1.5=1.5(厘米),
    ∵AB=9cm,点D为AB的中点,
    ∴BD=4.5cm.
    又∵PC=BC﹣BP,BC=6cm,
    ∴PC=6﹣1.5=4.5(cm),
    ∴PC=BD.
    又∵AB=AC,
    ∴∠B=∠C,
    在△BDP和△CPQ中,

    ∴△BPD≌△CQP(SAS);
    ②假设△BPD与△CQP,
    ∵vP≠vQ,
    ∴BP≠CQ,
    又由∠B=∠C,则只能是BP=CP=3,BD=CQ=4.5,
    ∴点P,点Q运动的时间t=BP÷1.5=3÷1.5=2(秒),
    ∴vQ=CQ÷t=4.5÷2=2.25(cm/s);
    (2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇,
    由题意,得 2.25x=1.5x+2×9,
    解得x=24,
    ∴点P共运动了24×1.5=36(cm).
    ∴点P、点Q在AC边上相遇,
    ∴经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇.
    故答案为:24;AC.
    22.(2022秋•太康县期末)如图,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与DE相交于点F,连接CD、BE.
    (1)请你找出图中其他的全等三角形;
    (2)试证明CF=EF.
    【分析】(1)根据Rt△ABC≌Rt△ADE,得出AC=AE,BC=DE,AB=AD,∠ACB=∠AED,∠BAC=∠DAE,从而推出∠CAD=∠EAB,△ACD≌△AEB,△CDF≌△EBF;
    (2)先证得△CDF≌△EBF,进而得到CF=EF.
    【解答】解:(1)图中其它的全等三角形为:①△ACD≌△AEB,②△DCF≌△BEF;
    ①∵Rt△ABC≌Rt△ADE,
    ∴AC=AE,AB=AD,∠BAC=∠DAE,
    ∵∠BAC﹣∠BAD=∠DAE﹣∠BAD,
    ∴∠DAC=∠BAE,
    在△ADC和△ABE中

    ∴△ADC≌△ABE(SAS);
    ②在△DCF和△BEF中

    ∴△CDF≌△EBF(AAS).
    (2)∵Rt△ABC≌Rt△ADE,
    ∴AC=AE,AD=AB,∠CAB=∠EAD,
    ∴∠CAB﹣∠DAB=∠EAD﹣∠DAB.
    即∠CAD=∠EAB.
    ∴△CAD≌△EAB,
    ∴CD=EB,∠ADC=∠ABE.
    又∵∠ADE=∠ABC,
    ∴∠CDF=∠EBF.
    又∵∠DFC=∠BFE,
    ∴△CDF≌△EBF(AAS).
    ∴CF=EF.
    声明:试题解析著作权属所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2022/8/9
    :23.(2022秋•潮安区期末)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.已知AD=2cm,BC=5cm.
    (1)求证:FC=AD;
    (2)求AB的长.
    【分析】(1)根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF,再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE,根据全等三角形的性质即可解答.
    (2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF=BC+CF=BC+AD,将已知代入即可.
    【解答】(1)证明:∵AD∥BC(已知),
    ∴∠ADC=∠ECF(两直线平行,内错角相等)
    ∵E是CD的中点(已知),
    ∴DE=EC(中点的定义).
    ∵在△ADE与△FCE中,

    ∴△ADE≌△FCE(ASA),
    ∴FC=AD(全等三角形的性质);
    (2)解:∵△ADE≌△FCE,
    ∴AE=EF,AD=CF(全等三角形的对应边相等),
    ∴BE是线段AF的垂直平分线,
    ∴AB=BF=BC+CF,
    ∵AD=CF(已证),
    ∴AB=BC+AD(等量代换)
    =5+2=7(cm).
    24.(2022秋•黄石期末)已知△ABC和△DEF为等腰三角形,AB=AC,DE=DF,∠BAC=∠EDF,点E在AB上,点F在射线AC上.
    (1)如图1,若∠BAC=60°,点F与点C重合,求证:AF=AE+AD;
    (2)如图2,若AD=AB,求证:AF=AE+BC.
    【分析】(1)由∠BAC=∠EDF=60°,推出△ABC、△DEF为等边三角形,于是得到∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ECA=60°,推出△BCE≌△ACD(SAS),根据全等三角形的性质得到AD=BE,即可得到结论;
    (2)在FA上截取FM=AE,连接DM,推出△AED≌△MFD(SAS),根据全等三角形的性质得到DA=DM=AB=AC,∠ADE=∠MDF,证得∠ADM=∠EDF=∠BAC,推出△ABC≌△DAM(SAS),根据全等三角形的性质得到AM=BC,即可得到结论.
    【解答】证明:(1)∵∠BAC=∠EDF=60°,
    ∴△ABC、△DEF为等边三角形,
    ∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ECA=60°,
    在△BCE和△ACD中
    ∴△BCE≌△ACD(SAS),
    ∴AD=BE,
    ∴AE+AD=AE+BE=AB=AF;
    (2)在FA上截取FM=AE,连接DM,
    ∵∠BAC=∠EDF,
    ∴∠AED=∠MFD,
    在△AED和△MFD中

    ∴△AED≌△MFD(SAS),
    ∴DA=DM=AB=AC,∠ADE=∠MDF,
    ∴∠ADE+∠EDM=∠MDF+∠EDM,
    即∠ADM=∠EDF=∠BAC,
    在△ABC和△DAM中,

    ∴△ABC≌△DAM(SAS),
    ∴AM=BC,
    ∴AE+BC=FM+AM=AF.
    即AF=AE+BC.
    25.(2022春•济南期中)把两个全等的直角三角板的斜边重合,组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN,交边AC、BC于M、N.
    (1)若∠ACD=30°,∠MDN=60°,当∠MDN绕点D旋转时,AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系?证明你的结论;
    (2)当∠ACD+∠MDN=90°时,AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系?证明你的结论;
    (3)如图③,在(2)的条件下,若将M、N改在CA、BC的延长线上,完成图3,其余条件不变,则AM、MN、BN之间有何数量关系(直接写出结论,不必证明)
    【分析】(1)延长CB到E,使BE=AM,证△DAM≌△DBE,推出∠BDE=∠MDA,DM=DE,证△MDN≌△EDN,推出MN=NE即可;
    (2)延长CB到E,使BE=AM,证△DAM≌△DBE,推出∠BDE=∠MDA,DM=DE,证△MDN≌△EDN,推出MN=NE即可;
    (3)在CB截取BE=AM,连接DE,证△DAM≌△DBE,推出∠BDE=∠MDA,DM=DE,证△MDN≌△EDN,推出MN=NE即可.
    【解答】
    (1)AM+BN=MN,
    证明:延长CB到E,使BE=AM,
    ∵∠A=∠CBD=90°,
    ∴∠A=∠EBD=90°,
    在△DAM和△DBE中

    ∴△DAM≌△DBE,
    ∴∠BDE=∠MDA,DM=DE,
    ∵∠MDN=∠ADC=60°,
    ∴∠ADM=∠NDC,
    ∴∠BDE=∠NDC,
    ∴∠MDN=∠NDE,
    在△MDN和△EDN中

    ∴△MDN≌△EDN,
    ∴MN=NE,
    ∵NE=BE+BN=AM+BN,
    ∴AM+BN=MN.
    (2)AM+BN=MN,
    证明:延长CB到E,使BE=AM,连接DE,
    ∵∠A=∠CBD=90°,
    ∴∠A=∠DBE=90°,
    ∵∠CDA+∠ACD=90°,∠MDN+∠ACD=90°,
    ∴∠MDN=∠CDA,
    ∵∠MDN=∠BDC,
    ∴∠MDA=∠CDN,∠CDM=∠NDB,
    在△DAM和△DBE中

    ∴△DAM≌△DBE,
    ∴∠BDE=∠MDA=∠CDN,DM=DE,
    ∵∠MDN+∠ACD=90°,∠ACD+∠ADC=90°,
    ∴∠NDM=∠ADC=∠CDB,
    ∴∠ADM=∠CDN=∠BDE,
    ∵∠CDM=∠NDB
    ∴∠MDN=∠NDE,
    在△MDN和△EDN中

    ∴△MDN≌△EDN,
    ∴MN=NE,
    ∵NE=BE+BN=AM+BN,
    ∴AM+BN=MN.
    (3)BN﹣AM=MN,
    证明:在CB截取BE=AM,连接DE,
    ∵∠CDA+∠ACD=90°,∠MDN+∠ACD=90°,
    ∴∠MDN=∠CDA,
    ∵∠ADN=∠ADN,
    ∴∠MDA=∠CDN,
    ∵∠B=∠CAD=90°,
    ∴∠B=∠DAM=90°,
    在△DAM和△DBE中

    ∴△DAM≌△DBE,
    ∴∠BDE=∠ADM=∠CDN,DM=DE,
    ∵∠ADC=∠BDC=∠MDN,
    ∴∠MDN=∠EDN,
    在△MDN和△EDN中

    ∴△MDN≌△EDN,
    ∴MN=NE,
    ∵NE=BN﹣BE=BN﹣AM,
    ∴BN﹣AM=MN.
    26.(2022春•城关区校级期末)如图1,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形,并将添加的全等条件标注在图上.
    请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:
    (1)如图2,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F,求∠EFA的度数;
    (2)在(1)的条件下,请判断FE与FD之间的数量关系,并说明理由;
    (3)如图3,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其他条件不变,试问在(2)中所得结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
    【分析】根据SAS可知:在∠MON的两边上以O为端点截取相等的两条线段,另外两个端点与角平分线上任意一点相连,所构成的两个三角形全等,它们关于OP对称.
    (1)根据三角形内角和定理可求∠BAC.∠EFA是△ACF的外角,根据外角的性质计算求解;
    (2)根据图1的作法,在AC上截取AG=AE,则EF=FG;根据ASA证明△FCD≌△FCG,得DF=FG,故判断EF=FD;
    (3)只要∠B的度数不变,结论仍然成立.证明同(2).
    【解答】解:(1)如图2,∵∠ACB=90°,∠B=60°.
    ∴∠BAC=30°,
    ∵AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线,
    ∴∠DAC∠BAC=15°,∠ECA∠ACB=45°.
    ∴∠EFA=∠DAC+∠ECA=15°+45°=60°.
    (2)FE=FD.
    如图2,在AC上截取AG=AE,连接FG.
    ∵AD是∠BAC的平分线,
    ∴∠EAF=∠GAF,
    在△EAF和△GAF中

    ∴△EAF≌△GAF(SAS),
    ∴FE=FG,∠EFA=∠GFA=60°,
    ∴∠GFC=180°﹣60°﹣60°=60°.
    又∵∠DFC=∠EFA=60°,
    ∴∠DFC=∠GFC,
    在△FDC和△FGC中

    ∴△FDC≌△FGC(ASA),
    ∴FD=FG.
    ∴FE=FD.
    (3)(2)中的结论FE=FD仍然成立.
    同(2)可得△EAF≌△HAF,
    ∴FE=FH,∠EFA=∠HFA,
    又由(1)知∠FAC∠BAC,∠FCA∠ACB,
    ∴∠FAC+∠FCA(∠BAC+∠ACB)(180°﹣∠B)=60°.
    ∴∠AFC=180°﹣(∠FAC+∠FCA)=120°.
    ∴∠EFA=∠HFA=180°﹣120°=60°,
    同(2)可得△FDC≌△FHC,
    ∴FD=FH.
    ∴FE=FD.
    27.(2022秋•长寿区期末)如图,△ABC中,AC>AB,D是BA延长线上一点,点E是∠CAD平分线上一点,EB=EC过点E作EF⊥AC于F,EG⊥AD于G.
    (1)请你在不添加辅助线的情况下找出一对你认为全等的三角形,并加以证明;
    (2)若AB=3,AC=5,求AF的长.
    【分析】已知AE平分∠CAD,EF⊥AC,EG⊥AD及公共边AE,则利用AAS判定△EGA≌△EFA;由△EGA≌△EFA可得到EG=EF,AG=AF,根据HL可判定Rt△EGB≌Rt△EFC,从而得到BG=CF,整理可得到2AF=AC﹣AB,从而可求得AF的长.
    【解答】解:(1)△EGA≌△EFA(或△EGB≌△EFC).
    证明:∵AE平分∠CAD,
    ∴∠EAG=∠EAF.
    又∵EF⊥AC,EG⊥AD,
    ∴∠EGA=∠EFA=90°.
    在△AEG和△EFA中:
    ∠EAG=∠EAF,∠EGA=∠EFA,AE=AE,
    ∴△EGA≌△EFA(AAS).
    证明:(2)∵AE平分∠CAD且EF⊥AC,EG⊥AD,
    ∴EG=EF,∠EGB=∠EFC=90°.
    在Rt△EGB和Rt△EFC中

    ∴Rt△EGB≌Rt△EFC(HL).
    ∴BG=CF.(10分)
    又∵BG=AB+AG,CF=AC﹣AF,
    即AB+AG=AC﹣AF,
    又∵△EGA≌△EFA,
    ∴AG=AF.
    ∴2AF=AC﹣AB=5﹣3=2.
    ∴AF=1.
    28.(2022秋•呼和浩特期中)如图:AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC,
    (1)图中EC、BF有怎样的数量和位置关系?试证明你的结论.
    (2)连接AM,求证:MA平分∠EMF.
    【分析】(1)先由条件可以得出∠EAC=∠BAE,再证明△EAC≌△BAF就可以得出结论;
    (2)作AP⊥CE于P,AQ⊥BF于Q.由△EAC≌△BAF,推出AP=AQ(全等三角形对应边上的高相等).由AP⊥CE于P,AQ⊥BF于Q,可得AM平分∠EMF;
    【解答】(1)解:结论:EC=BF,EC⊥BF.
    理由:∵AE⊥AB,AF⊥AC,
    ∴∠EAB=∠CAF=90°,
    ∴∠EAB+∠BAC=∠CAF+∠BAC,
    ∴∠EAC=∠BAF.
    在△EAC和△BAF中,

    ∴△EAC≌△BAF(SAS),
    ∴EC=BF.∠AEC=∠ABF
    ∵∠AEG+∠AGE=90°,∠AGE=∠BGM,
    ∴∠ABF+∠BGM=90°,
    ∴∠EMB=90°,
    ∴EC⊥BF.
    ∴EC=BF,EC⊥BF.
    (2)证明:作AP⊥CE于P,AQ⊥BF于Q.
    ∵△EAC≌△BAF,
    ∴AP=AQ(全等三角形对应边上的高相等).
    ∵AP⊥CE于P,AQ⊥BF于Q,
    ∴AM平分∠EMF.
    29.(2022秋•句容市校级月考)把两个含有45°角的大小不同的直角三角板如图放置,点D在BC上,连接BE,AD,AD的延长线交BE于点F.说明:AF⊥BE.
    【分析】可通过全等三角形将相等的角进行转换来得出结论.本题中我们可通过证明三角形BEC和ACD全等得出∠FBD=∠CAD,根据∠CAD+∠CDA=90°,而∠BDF=∠ADC,因此可得出∠BFD=90°,进而得出结论.那么证明三角形BEC和ACD全等就是解题的关键,两直角三角形中,EC=CD,BC=AC,两直角边对应相等,因此两三角形就全等了.
    【解答】证明:AF⊥BE,理由如下:
    由题意可知∠DEC=∠EDC=45°,∠CBA=∠CAB=45°,
    ∴EC=DC,BC=AC,又∠DCE=∠DCA=90°,
    ∴△ECD和△BCA都是等腰直角三角形,
    ∴EC=DC,BC=AC,∠ECD=∠ACB=90°.
    在△BEC和△ADC中
    EC=DC,∠ECB=∠DCA,BC=AC,
    ∴△BEC≌△ADC(SAS).
    ∴∠EBC=∠DAC.
    ∵∠DAC+∠CDA=90°,∠FDB=∠CDA,
    ∴∠EBC+∠FDB=90°.
    ∴∠BFD=90°,即AF⊥BE.
    30.(2022春•雅安期末)如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D为△ABC内一点,且BD=AD.
    (1)求证:CD⊥AB;
    (2)∠CAD=15°,E为AD延长线上的一点,且CE=CA.
    ①求证:DE平分∠BDC;
    ②若点M在DE上,且DC=DM,请判断ME、BD的数量关系,并给出证明;
    ③若N为直线AE上一点,且△CEN为等腰三角形,直接写出∠CNE的度数.
    【分析】(1)利用线段的垂直平分线的性质即可证明;
    (2)①易证BD=AD,可得△ADC≌△BDC,即可求得∠ACD=∠BCD=45°即可解题;
    ②连接MC,易证△MCD为等边三角形,即可证明△BDC≌△EMC即可解题;
    ③分三种情形讨论即可;
    【解答】(1)证明:∵CB=CA,DB=DA,
    ∴CD垂直平分线段AB,
    ∴CD⊥AB.
    (2)①证明:∵AC=BC,
    ∴∠CBA=∠CAB,
    又∵∠ACB=90°,
    ∴∠CBA=∠CAB=45°,
    又∵∠CAD=∠CBD=15°,
    ∴∠DBA=∠DAB=30°,
    ∴∠BDE=30°+30°=60°,
    ∵AC=BC,∠CAD=∠CBD=15°,BD=AD,
    在△ADC和△BDC中,

    ∴△ADC≌△BDC(SAS),
    ∴∠ACD=∠BCD=45°,
    ∴∠CDE=60°,
    ∵∠CDE=∠BDE=60°,
    ∴DE平分∠BDC;
    ②解:结论:ME=BD,
    理由:连接MC,
    ∵DC=DM,∠CDE=60°,
    ∴△MCD为等边三角形,
    ∴CM=CD,
    ∵EC=CA,∠EMC=120°,
    ∴∠ECM=∠BCD=45°
    在△BDC和△EMC中,

    ∴△BDC≌△EMC(SAS),
    ∴ME=BD.
    ③当EN=EC时,∠ENC=7.5°或82.5°;当EN=CN时,∠ENC=150°;当CE=CN时,∠CNE=15°,
    所以∠CNE的度数为7.5°、15°、82.5°、150°.

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