人教版数学九上期末培优训练专题03 圆中最值之一箭穿心、瓜豆原理与相切（2份，原卷版+解析版）

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圆外一定点A到圆上一动点P的距离最值，分两种情况：（核心---AP所在直线过圆心）
瓜豆原理之圆
一、模型：A为圆外一定点，当点P在圆O上运动时，则AP中点M（如上图）的运动轨迹为：以AO中点O’为圆心，O‘M为半径的圆。
二、模型结论：
1.轨迹：点M的轨迹是个圆。
2.圆心：O'是AO的中点。
3.O’M=
三、模型的五种常考图
典例分析：
典例1
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，P是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的取值范围为 1≤PC1 ．
解题思路：据条件可知线段AB是定值且AB所对的张角∠APB是定值，根据直径所对圆周角为直角可知，动点P的运动轨迹在过点A、B、P三点的圆周上（不与A、B重合），（隐圆）连接CO并延长交圆O分别为P1、P2，PC的在P1C最小，P2C最大，（一箭穿心）
答案详解：解：∵PA⊥PB，即∠APB＝90°，AB＝BC＝2，
∴点P在以AB为直径、AB的中点O为圆心的⊙O上，
如图，连接CO交⊙O于点P1，并延长CO交⊙O于点P2，
∵BOAB＝1、BC＝2，∠ABC＝90°，
∴CO，
当点P位于点P1时，PC的长度最小，此时PC＝OC﹣OP1；
当点P位于点P2时，PC的长度最大．此时PC＝OC+OP1；
∴1≤PC1，
所以答案是：1≤PC1．
典例2
如图，已知线段OP交⊙O于点B，且OB＝PB＝4，点A是⊙O上的一个动点，那么点B到直线AP距离的最大值为 2 ．
试题分析：如图，过点B作BH⊥AP于H，过点O作OT⊥AP于T．利用三角形中位线定理证明BHOT，求出OT的最大值即可解决问题．
答案详解：解：如图，过点B作BH⊥AP于H，过点O作OT⊥AP于T．
∵∠BHP＝∠OTB＝90°，
∴BH∥OT，
∵BP＝OB，
∴TH＝HP，
∴BHOT，
当PA与⊙O相切时，OT＝4，此时BH的值最大，最大值为2，
所以答案是：2．
实战训练
一．最值之一箭穿心类
1．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（ ）
A．2B．1C．22D．3
2．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，以A为圆心，1为半径画⊙A，E是圆⊙A上一动点，P是BC上一动点，则PE+PD最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．2
3．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，P是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的取值范围为 ．
二．最值之瓜豆原理
4．如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为2，圆心坐标为（4，0），y轴上有点B（0，3），点C是⊙A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是 ．
5．如图，等边△ABC中，AB＝2，点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，取CD的中点E，连接BE，则线段BE的最大值与最小值之和为 ．
6．如图，已知A（6，0），B（4，3）为平面直角坐标系内两点，以点B圆心的⊙B经过原点O，BC⊥x轴于点C，点D为⊙B上一动点，E为AD的中点，则线段CE长度的最大值为 ．
7．如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为（ ）
A．44B．4C．48D．6
三．最值之相切类
8．如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为（ ）
A．3B．2C．3D．
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
10．如图，已知⊙O的直径AB为8，点M是⊙O外一点，若MB是⊙O的切线，B为切点，且MB＝3，Q为⊙O上一动点，则MQ的最小值为 ．
11．如图，△ABC中，AB＝10，BC＝8，AC＝6，点P在线段AC上，以P为圆心，PA长为半径的圆与边AB相交于另一点D，点Q在直线BC上，且DQ是⊙P的切线，则PQ的最小值为 ．
12．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，点O为BC上的点，⊙O的半径OC＝1，点D是AB边上的动点，过点D作⊙O的一条切线DE（点E为切点），则线段DE的最小值为 ．