人教版数学九上期末培优训练专题04 胡不归与阿氏圆（2份，原卷版+解析版）

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1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理;
2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；
(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
胡不归：
模型建立：
图1
图2
如图1：P是直线BC上的一动点，求PA+k·PB的最小值。
作 ∠ CBE=α，使sinα =k,则PD=k·OP（图2）
当AD最短，AD ⊥ BE时，则P为要求点。(图2) AD长即为PA+k·PB的最小值.
简记: 胡不归,根据三角函数，作个角,再作高，求出长度就可以.
阿氏圆：
阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似
计算：PA+kPB的最小值。
第一步：确动点的运动轨迹（圆），
以点0为圆心、r为半径画圆；
（若圆已经画出则可省略这一步）
第二步：连接动点至圆心0
（将系数不为1的线段的固定端点
与圆心相连接），即连接OP,OB。
第三步：计算这两条线段长度的比k;
第五步：在0B上取点C,使得OC= k∙OP ; =k, ∠O= ∠O，可得△ POC ∽ △ BOP可得： =k, PC=k ∙PB
第六步：则PA+kPB ≥PA+PC ≥AC,即当A，P,C 三点共线时可得最小值。
［提升：若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到 括号外边，将其中一条线段的系数化成，再构造△相似进行计算.］
典例1

如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE+CE的最小值为 ．
思路引领：在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．易证ETAE，推出AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解决问题．
答案详解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴tan∠CAB，
∴∠CAB＝30°，
∴AC＝2BC＝2，
在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．
∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，
∴ETAE，
∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2，
∴CH＝AC•sin6°＝23，
∵AE+EC＝CE+ET≥CH，
∴AE+EC≥3，
∴AE+EC的最小值为3，
故答案为3．
典例2
如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是 ．
思路引领：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明△PAT∽△BAP，推出，推出PTPB，推出PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题．
答案详解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．
∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，
∴PA2＝AT•AB，
∴，
∵∠PAT＝∠PAB，
∴△PAT∽△BAP，
∴，
∴PTPB，
∴PB+CP＝CP+PT，
∵PC+PT≥TC，
在Rt△ACT中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，
∴CT，
∴PB+PC，
∴PB+PC的最小值为．
故答案为．
实战训练

一．阿氏圆
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP+BP的最小值为（ ）
A．7B．5C．D．
试题分析：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．
答案详解：解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．
∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，
∴PC2＝CM•CA，
∴，
∵∠PCM＝∠ACP，
∴△PCM∽△ACP，
∴，
∴PMPA，
∴AP+BP＝PM+PB，
∵PM+PB≥BM，
在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，
∴BM5，
∴AP+BP≥5，
∴AP+BP的最小值为5．
所以选：B．
2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝CB＝2，以B为圆心作圆B与AC相切，点P为圆B上任一动点，则PA的最小值是 ．
试题分析：作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，根据切线的性质得BH为⊙B的半径，再根据等腰直角三角形的性质得到BHAC，接着证明△BPD∽△BCP得到PDPC，所以PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），从而计算出AD得到PA的最小值．
答案详解：解：作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，
∵AC为切线，
∴BH为⊙B的半径，
∵∠B＝90°，AB＝CB＝2，
∴ACBA＝2，
∴BHAC，
∴BP，
∵，，
而∠PBD＝∠CBP，
∴△BPD∽△BCP，
∴，
∴PDPC，
∴PAPC＝PA+PD，
而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），
而AD，
∴PA+PD的最小值为，
即PA的最小值为．
所以答案是．
3．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是 ．
试题分析：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明△PAT∽△BAP，推出，推出PTPB，推出PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题．
答案详解：解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．
∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，
∴PA2＝AT•AB，
∴，
∵∠PAT＝∠PAB，
∴△PAT∽△BAP，
∴，
∴PTPB，
∴PB+CP＝CP+PT，
∵PC+PT≥TC，
在Rt△ACT中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，
∴CT，
∴PB+PC，
∴PB+PC的最小值为．
所以答案是．
4．如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠B＝60°，圆B的半径为4，点P是圆B上的一个动点，则PDPC的最大值为 2 ．
试题分析：连接PB，在BC上取一点G，使得BG＝2，连接PG，DG，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于H．利用相似三角形的性质证明PGPC，再根据PDPC＝PD﹣PG≤DG，求出DG，可得结论．
答案详解：解：连接PB，在BC上取一点G，使得BG＝2，连接PG，DG，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于H．
∵PB＝4，BG＝2，BC＝8，
∴PB2＝BG•BC，
∴，
∵∠PBG＝∠CBP，
∴△PBG∽△CBP，
∴，
∴PGPC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝BC＝8，
∴∠DCH＝∠ABC＝60°，
在Rt△CDH中，CH＝CD•cs60°＝4，DH＝CD•sin60°＝4，
∴GH＝CG+CH＝6+4＝10，
∴DG2，
∵PDPC＝PD﹣PG≤DG，
∴PDPC≤2，
∴PDPC的最大值为2．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PAPB的最小值为 ．
试题分析：如图，在CB上取一点F，使得CF，连接PF，AF．利用相似三角形的性质证明PFPB，根据PF+PA≥AF，利用勾股定理求出AF即可解决问题．
答案详解：解：如图，在CB上取一点F，使得CF，连接PF，AF．
∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，
∴PCDE＝2，
∵，，
∴，
∵∠PCF＝∠BCP，
∴△PCF∽△BCP，
∴，
∴PFPB，
∴PAPB＝PA+PF，
∵PA+PF≥AF，AF，
∴PAPB，
∴PAPB的最小值为，
所以答案是．
6．如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 ．
试题分析：在y轴上取点H（0，9），连接BH，通过证明△AOP∽△POH，可证HP＝3AP，则3PA+PB＝PH+PB，当点P在BH上时，3PA+PB有最小值为HB的长，即可求解．
答案详解：解：如图，在y轴上取点H（0，9），连接BH，
∵点A（0，1），点B（2，0），点H（0，9），
∴AO＝1，OB＝2，OH＝9，
∵，∠AOP＝∠POH，
∴△AOP∽△POH，
∴，
∴HP＝3AP，
∴3PA+PB＝PH+PB，
∴当点P在BH上时，3PA+PB有最小值为HB的长，
∴BH，
所以答案是：．
7．如图，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＝60°，则2AB+AC的最大值为 4 ．
试题分析：由2AB+AC＝2（AB）得，再将AB+AE转化成一条线段BP，可证出∠P是定角，从而点P在△PBC的外接圆上运动，当BP为直径时，BP最大解决问题．
答案详解：解：∵2AB+AC＝2（AB），
∴求2AB+AC的最大值就是求2（AB）的最大值，
过C作CE⊥AB于E，延长EA到P，使得AP＝AE，
∵∠BAC＝60°，
∴EA，
∴ABAB+AP，
∵EC，PE＝2AE，
由勾股定理得：PC，
∴sinP，
∴∠P为定值，
∵BC＝6是定值，
∴点P在△CBP的外接圆上，
∵AB+AP＝BP，
∴当BP为直径时，AB+AP最大，即BP'，
∴sinP'＝sinP，
解得BP'＝2，
∴AB+AP＝2，
∴2AB+AC＝2（AB+AP）＝4，
所以答案是：4．
8．问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求APBP的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴，∴PDBP，∴APBP＝AP+PD．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：APBP的最小值为 ．
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP的最小值为 ．
（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是上一点，求2PA+PB的最小值．
试题分析：（1）利用勾股定理即可求出，最小值为AD；
（2）连接CP，在CA上取点D，使CD，则有，可证△PCD∽△ACP，得到PDAP，即：AP+BP＝BP+PD，从而AP+BP的最小值为BD；
（3）延长OA到点E，使CE＝6，连接PE、OP，可证△OAP∽△OPE，得到EP＝2PA，得到2PA+PB＝EP+PB，当E、P、B三点共线时，得到最小值．
答案详解：解：（1）如图1，
连接AD，
∵APBP＝AP+PD，要使APBP最小，
∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，
即：APBP最小值为AD，
在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，
∴AD，
APBP的最小值为，所以答案是：；
（2）如图2，
连接CP，在CA上取点D，使CD，
∴，
∵∠PCD＝∠ACP，
∴△PCD∽△ACP，
∴，
∴PDAP，
∴AP+BP＝BP+PD，
∴同（1）的方法得出AP+BP的最小值为BD．
所以答案是：；
（3）如图3，
延长OA到点E，使CE＝6，
∴OE＝OC+CE＝12，
连接PE、OP，
∵OA＝3，
∴，
∵∠AOP＝∠AOP，
∴△OAP∽△OPE，
∴，
∴EP＝2PA，
∴2PA+PB＝EP+PB，
∴当E、P、B三点共线时，取得最小值为：BE13．
二．胡不归
9．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点E为AC中点，D是BE上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．3B．C．6D．
试题分析：如图，过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DH⊥AB于点H，则CD+DH≥CF，先解直角三角形可求出CF，再由直角三角形的性质得DH，进而可得CDCD+DH，从而可得CD的最小值．
答案详解：解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DH⊥AB于点H，则CD+DH≥CF，
∵△ABC是等边三角形，AB＝6，
∴∠A＝∠ABC＝60°，AF＝BF＝3，
∴CF＝AFtan60°，
∵点E是AC的中点，
∴∠DBH＝60°÷2＝30°，
在Rt△BDH中，DH，
∴CDCD+DH，
∴CD的最小值为：．
所以答案是：B．
10．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝6，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝2，点P是线段BD上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．2B．C．4D．
试题分析：过点P作PE⊥BC，垂足为E，根据菱形的性质可得AB＝BC＝6，BD⊥AC，从而可得△ABC是等边三角形，进而可求出∠ABC＝∠ACB＝60°，然后在Rt△BPE中，可得PEBP，从而可得MP+PE，当点M，点P，点E共线时，且ME⊥BC时，MP+PE有最小值为ME，最后在在Rt△CME中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
答案详解：解：过点P作PE⊥BC，垂足为E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝6，BD⊥AC，
∵AB＝AC＝6，
∴AB＝AC＝BC＝6，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠DBC∠ABC＝30°，
∵∠BEP＝90°，
∴PEBP，
∴MP+PE，
∴当点M，点P，点E共线时，且ME⊥BC时，MP+PE有最小值为ME，
如图：
∵AC＝6，AM＝2，
∴CM＝AC﹣AM＝6﹣2＝4，
在Rt△CME中，∠ACB＝60°，
∴ME＝CM•sin60°＝42，
∴的最小值是2，
所以选：B．
11．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是边BC的中点，P是对角线BD上的一个动点，连接AE，AP，若APBP的最小值恰好等于图中某条线段的长，则这条线段是（ ）
A．ABB．AEC．BDD．BE
试题分析：由菱形的性质可得∠DBC∠ABC＝30°，可得PFBP，可得APBP＝AP+PF，由垂线段最短，可求解．
答案详解：解：如图，过点P作PF⊥BC于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DBC∠ABC＝30°，且PF⊥BC，
∴PFBP，
∴APBP＝AP+MP，
∴当点A，点P，点F三点共线且垂直BC时，AP+PF有最小值，
∴APBP最小值为AE
所以选：B．
12．如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC+PB的最小值为 4 ．
试题分析：过P作PD⊥AB于D，依据△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，进而得到△BDP是等腰直角三角形，故PDPB，当C，P，D在同一直线上时，CD⊥AB，PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论．
答案详解：解：如图所示，过P作PD⊥AB于D，
∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，
令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，
∴A（0，﹣3），B（3，0），
∴AO＝BO＝3，
又∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴PDPB，
∴PC+PB（PCPB）（PC+PD），
当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，
此时，△ACD是等腰直角三角形，
又∵点C（0，1）在y轴上，
∴AC＝1+3＝4，
∴CDAC＝2，
即PC+PD的最小值为，
∴PC+PB的最小值为4，
所以答案是：4．
13．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是 s．
试题分析：过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，利用平行线的性质和三角函数的定义得到tan∠HED＝tan∠EBA，设DH＝4m，EH＝3m，则DE＝5m，则可判断蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，于是得到蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，利用两点之间线段最短得到AD+DH的最小值为AG的长，接着求出A点和B点坐标，再利用待定系数法求出BE的解析式，然后解由直线解析式和抛物线解析式所组成的方程组确定E点坐标，从而得到AG的长，然后计算爬行的时间．
答案详解：解：过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，
∵EH∥AB，
∴∠HEB＝∠ABE，
∴tan∠HED＝tan∠EBA，
设DH＝4m，EH＝3m，则DE＝5m，
∴蚂蚁从D爬到E点的时间4（s）
若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间4（s），
∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，
∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，
作AG⊥EH于G，则AD+DH≥AH≥AG，
∴AD+DH的最小值为AG的长，
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），
直线BE交y轴于C点，如图，
在Rt△OBC中，∵tan∠CBO，
∴OC＝4，则C（0，4），
设直线BE的解析式为y＝kx+b，
把B（3，0），C（0，4）代入得，解得，
∴直线BE的解析式为yx+4，
解方程组得或，则E点坐标为（，），
∴AG，
∴蚂蚁从A爬到G点的时间（s），
即蚂蚁从A到E的最短时间为s．
所以答案是．
14．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝30°．BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则的最小值是 5 ．
试题分析：过点P作PE⊥AB于点E，先在Rt△ABD中求出∠ABD及BD，再在Rt△BPE中利用sin60°得到EP+CP，当当C、P、E三点在同一直线上，且CE⊥AB时其取得最小值，最小值为CE，计算即可求出结果．
答案详解：解：过点P作PE⊥AB于点E，
在Rt△ABD中，∠ABD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，BD5，
在Rt△BPE中，sin60°，
∴EPBP，
∴EP+CP，
当C、P、E三点在同一直线上，且CE⊥AB时EP+CP取得最小值．
∵AB＝AC＝10，BD⊥AC，CE⊥AB，
∴CE＝BD＝5，
∴EP+CP的最小值为5．
所以答案是5．
15．在△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝AB．若点D为AC上一点，连接BD，将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE，连接CE，交AB于点F．
（1）如图1，若∠ABE＝75°，BD＝4，求AC的长；
（2）如图2，点G为BC的中点，连接FG交BD于点H．若∠ABD＝30°，猜想线段DC与线段HG的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，若AB＝4，D为AC的中点，将△ABD绕点B旋转得△A′BD′，连接A′C、A′D，当A′DA′C最小时，求S△A′BC．
试题分析：（1）通过作辅助线，构造直角三角形，借助解直角三角形求得线段的长度；
（2）通过作辅助线，构造全等三角形，设AC＝a，利用中位线定理，解直角三角形，用a的代数式表示CD和HG，即可得CD与HG的数量关系；
（3）构造阿氏圆模型，利用两点之间线段最短，确定A'（4）的位置，继而求得相关三角形的面积．
答案详解：解：（1）过D作DG⊥BC，垂足是G，如图1：
∵将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE，
∴∠EBD＝90°，
∵∠ABE＝75°，
∴∠ABD＝15°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠DBC＝30°，
∴在直角△BDG中有DG2，，
∵∠ACB＝45°，
∴在直角△DCG中，CG＝DG＝2，
∴BC＝BG+CG，
∴ACBC；
（2）线段DC与线段HG的数量关系为：HG，
证明：延长CA，过E作EN垂直于CA的延长线，垂足是N，连接BN，ED，过G作GM⊥AB于M，如图：
∴∠END＝90°，
由旋转可知∠EBD＝90°，
∴∠EDB＝45°
∴∠END＝∠EBD＝90°，
∴E，B，D，N四点共圆，
∴∠BNE＝∠EDB＝45°，∠NEB+∠BDN＝180°
∵∠BDC+∠BDN＝180°，∠BCD＝45°，
∴∠BEN＝∠BDC，
∴∠BNE＝45°＝∠BCD，
在△BEN和△BDC中，
，
∴△BEN≌△BDC（AAS），
∴BN＝BC，
∵∠BAC＝90°，
在等腰△BNC中，由三线合一可知BA是CN的中线，
∵∠BAC＝∠END＝90°，
∴EN∥AB，
∵A是CN的中点，
∴F是EC的中点，
∵G是BC的中点，
∴FG是△BEC的中位线，
∴FG∥BE，FGBE，
∵BE⊥BD，
∴FG⊥BD，
∵∠ABD＝30°，
∴∠BFG＝60°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BGF＝75°，
设AC＝a，则AB＝a，
在Rt△ABD中，AD，BD＝BE，
∴FGBE，
∴FG，
∵GM⊥AB，
∴△BGM是等腰三角形，
∴MG＝MB，
在Rt△MFG中，∠MFG＝60°，
∴MF＝MG，
∴MF，
∴BF＝BM+MF，
在Rt△BFH中，∠BFG＝60°，
∴FHa，
∴HG＝FG﹣FHa，
又∵CD，
∴，
∴HG；
（3）设AB＝a，则BC，取BC的中点N，连接A′D，A′C，A′N，连接DN，如图3，
由旋转可知A′B＝AB＝a，
∵，，
∴，
又∠A'BN＝∠CBA'，
∴△A′BN∽△CBA′，
∴，
∴A'NA'C，
根据旋转和两点之间线段最短可知，最小，即是A'D+A'N最小，此时D、A'、N共线，即A'在线段DN上，
设此时A'落在A''处，过A''作A''F⊥AB于F，连接AA''，如图4，
∵D，N分别是AC，BC的中点，
∴DN是△ABC的中位线，
∴DN∥AB，
∵AB⊥AC，
∴DN⊥AC，
∵∠A＝∠A''FA＝∠A''DA＝90°，
∴四边形A''FAD是矩形，
∴AF＝A''D，A''F＝AD＝2，
∵又A''B＝AB＝4，
设AF＝x，
在直角三角形A''FB中，A''B2＝A''F2+BF2，
∴42＝22+（4﹣x）2，
解得x．
∴此时S△A''BC＝S△ABC﹣S△AA''B﹣S△A''ACAB•ACAB•A''FAC•A''D4×44×24×（4﹣2）＝44．