沪教版数学七年级下册同步讲练第13章 相交线 平行线（典型30题专练）（2份，原卷版+解析版）

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第13章 相交线 平行线（典型30题专练）一．选择题（共14小题）1．（2021春•浦东新区期末）如图，已知直角△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则表示点A到直线CD距离的是（　　）A．线段CD的长度 B．线段AC的长度 C．线段AD的长度 D．线段BC的长度【分析】根据点到直线的距离的概念：直线外一点到这条直线的垂线段的长度即为该点到这条直线的距离作答．【解答】解：点A到CD的距离是线段AD的长度．故选：C．【点评】本题考查了点到直线的距离的定义，能熟记点到直线的距离的定义的内容是解此题的关键．2．（2020秋•婺城区校级期末）如图图形中，∠1和∠2不是同位角的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可．【解答】解：∵选项B中∠1和∠2是由四条直线组成，∴∠1和∠2不是同位角．故选：B．【点评】本题主要考查的是同位角的定义，掌握同位角的定义是解题的关键．3．（2020秋•浦东新区期末）如图，不能推断AD∥BC的是（　　）A．∠1＝∠5 B．∠2＝∠4 C．∠3＝∠4+∠5 D．∠B+∠1+∠2＝180°【分析】根据平行线的判定方法分别进行分析即可．【解答】解：A、∠1＝∠5可根据内错角相等两直线平行可得AD∥BC，故此选项不合题意；B、∠2＝∠4可根据内错角相等两直线平行可得AB∥DC，故此选项符合题意；C、∠3＝∠4+∠5可根据同位角相等两直线平行可得AD∥BC，故此选项不合题意；D、∠B+∠1+∠2＝180°可根据同旁内角互补，两直线平行可得AD∥BC，故此选项不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．4．（2021春•奉贤区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是边BC上一点，且∠ADC＝60°，那么下列说法中错误的是（　　）A．直线AD与直线BC的夹角为60° B．直线AC与直线BC的夹角为90° C．线段CD的长是点D到直线AC的距离 D．线段AB的长是点B到直线AD的距离【分析】根据已知角即可判断A、B；根据点到直线的距离的定义即可判断C、D．【解答】解：A、∵∠CDA＝60°，∴直线AD与直线BC的夹角是60°，正确，故本选项错误；B、∵∠ACD＝90°，∴直线AC与直线BC的夹角是90°，正确，故本选项错误；C、∵∠ACD＝90°，∴DC⊥AC，∴线段CD的长是点D到直线AC的距离，正确，故本选项错误；D、∵BD和AD不垂直，∴线段AB的长不是点B到直线AD的距离，错误，故本选项正确；故选：D．【点评】本题考查了点到直线的距离，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长．5．（2021春•黄浦区期末）下列说法正确的是（　　）A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短【分析】根据对顶角的定义，平行线的定义，平行公理和垂线的性质分别进行判断，即可求出答案．【解答】A、如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，还要看这两个角的位置关系，所以错误；B、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；C、如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角不一定相等，应强调是两直线平行，是错误的；D、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确；故选：D．【点评】此题考查了平行公理及推论，用到的知识点是对顶角的定义，平行线的定义，平行公理和垂线的性质，熟练掌握公理和概念是解决本题的关键，是一道基础题．6．（2021春•松江区期中）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠AOE+∠DOB+∠COF等于（　　）A．150° B．180° C．210° D．120°【分析】根据对顶角相等和周角的定义求三个角的和．【解答】解：∵∠COF与∠DOE是对顶角，∴∠COF＝∠DOE，∴∠AOE+∠DOB+∠COF＝∠AOE+∠DOB+∠COF＝×360°＝180°．故选：B．【点评】本题考查了利用对顶角相等计算角的度数的能力．7．（2021春•宣化区期末）如图，下列判断中错误的是（　　）A．由∠A+∠ADC＝180°得到AB∥CD B．由AB∥CD得到∠ABC+∠C＝180° C．由∠1＝∠2得到AD∥BC D．由AD∥BC得到∠3＝∠4【分析】根据平行线的性质与判定，逐一判定．【解答】解：A、由∠A+∠ADC＝180°得到AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），正确；B、由AB∥CD得到∠ABC+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补），正确；C、由∠1＝∠2得到AD∥BC（内错角相等，两直线平行），正确；D、由AD∥BC得到∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），所以此选项错误．故选：D．【点评】此题考查了平行线的判定与性质．解题时注意内错角与同旁内角的确定，关键是找到哪两条直线被第三条直线所截构造的内错角与同旁内角．8．（2021春•浦东新区期末）如图所示，能说明AB∥DE的有（　　）①∠1＝∠D；②∠CFB+∠D＝180°；③∠B＝∠D；④∠BFD＝∠D．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．【解答】解：①∵∠1＝∠D，∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）；②∵∠CFB＝∠AFD（对顶角相等），又∠CFB+∠D＝180°，∴∠AFD+∠D＝180°，∴AB∥DE（同旁内角互补，两直线平行）；③中的∠B和∠D不符合“三线八角”，不能构成平行的条件；④∵∠BFD＝∠D，∴AB∥DE（内错角相等，两直线平行）；所以①②④都能说明AB∥DE．故选：C．【点评】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．9．（2020春•华亭市期末）如图，点E在BC的延长线上，由下列条件不能得到AB∥CD的是（　　）A．∠1＝∠2 B．∠B＝∠DCE C．∠3＝∠4 D．∠D+∠DAB＝180°【分析】根据平行线的判定定理进行逐一分析解答即可．【解答】解：A、正确，符合内错角相等，两条直线平行的判定定理；B、正确，符合同位角相等，两条直线平行的判定定理；C、错误，若∠3＝∠4，则AD∥BE；D、正确，符合同旁内角互补，两条直线平行的判定定理；故选：C．【点评】本题考查的是平行线的判定定理，比较简单．10．（2021春•无为市期末）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（　　）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠3＝∠4 D．∠1＝∠5【分析】根据对顶角、平行线的性质判断即可．【解答】解：A、∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2，本选项说法正确；B、∵AD与AB不平行，∴∠2≠∠3，本选项说法错误；C、∵AD与CB不平行，∴∠3≠∠4，本选项说法错误；D、∵CD与CB不平行，∴∠1≠∠5，本选项说法错误；故选：A．【点评】本题考查的是对顶角、平行线的性质，掌握对顶角相等、平行线的性质是解题的关键．11．（2021•惠州一模）如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝36°，那么∠2＝（　　）A．54° B．56° C．44° D．46°【分析】先根据AB⊥BC，即可得到∠3＝90°﹣∠1＝54°．再根据a∥b，即可得出∠3＝∠2＝54°．【解答】解：∵AB⊥BC，∠1＝36°，∴∠3＝90°﹣∠1＝54°．∵a∥b，∴∠3＝∠2＝54°．故选：A．【点评】本题考查的是平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握垂线的性质和平行线的性质是解决问题的关键．12．（2021春•费县期末）如图所示，已知OA⊥BC，垂足为点A，连接OB，下列说法：①线段OB是O、B两点的距离；②线段AB的长度表示点B到OA的距离；③因为OA⊥BC，所以∠CAO＝90°；④线段OA的长度是点O到直线BC上点的最短距离．其中错误的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据点到直线的距离，两点之间的距离，垂线段最短逐个判断即可．【解答】解：线段OB的长度是O、B两点的距离，故①错误；线段AB的长度表示点B到OA的最短距离，故②正确；∵OA⊥BC，∴∠CAO＝90°，故③正确；线段OA的长度是点O到直线BC上点的最短距离，故④正确；错误的有①，共1个，故选：A．【点评】本题考查了点到直线的距离的定义，两点之间的距离，垂线段最短等知识点，注意：①从直线外一点向这条直线作垂线，这点和垂足之间线段的长，叫做这点到直线的距离，②连接两点之间线段的长度，叫两点之间的距离．13．（2020•香洲区校级一模）如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1+∠2＝70°，则∠BOC的度数是（　　）A．100° B．115° C．135° D．145°【分析】根据对顶角和邻补角的定义即可得到结论．【解答】解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝70°，∴∠1＝∠2＝35°，∴∠BOC＝180°﹣∠1＝145°，故选：D．【点评】本题考查了邻补角、对顶角的应用，主要考查学生的计算能力．14．（2021•浦东新区模拟）把一副三角尺放在同一水平桌面上，如果它们的两个直角顶点重合，两条斜边平行（如图所示），那么∠1的度数是（　　）A．75° B．90° C．100° D．105°【分析】通过在∠1的顶点作斜边的平行线可得∠1＝105°．【解答】解：如图：过∠1的顶点作斜边的平行线，利用平行线的性质可得，∠1＝60°+45°＝105°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，利用了转化的数学思想．二．填空题（共8小题）15．（2021春•浦东新区月考）如图直线AB，CD相交于O，直线FE⊥AB于O，∠BOD＝75°，则∠COF的度数为　15　度．【分析】利用图中角与角的关系即可求得，即∠COF＝∠DOE＝90°﹣∠BOD．【解答】解：∵直线FE⊥AB于O，∴∠BOE＝90°，∵∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD，∠BOD＝75°，∴∠DOE＝15°，∴∠COF＝∠DOE＝15°．故答案为：15．【点评】此题考查的知识点是垂线、角的计算及对顶角知识，关键是根据垂线、垂线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．16．（2021春•青浦区期中）已知∠A＝30°，∠A的两边与∠B的两边分别平行，∠B＝　30°或150°　．【分析】根据当两角的两边分别平行时，两角的关系可能可能相等也可能互补，即可得出答案．【解答】解：当∠A的两边与∠B的两边如图1所示时，∠B＝∠A＝30°；当∠A的两边与∠B的两边如图1所示时，∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣30°＝150°．故答案为：30°或150°．【点评】本题考查的是平行线的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．17．（2021春•普陀区期中）如图，如果∠A+　∠B　＝180°，那么AD∥BC．【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论．【解答】解：∵∠A+∠B＝180°，∴AD∥BC．故答案为∠B．【点评】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．18．（2021春•浦东新区期中）如图，DF平分∠CDE，∠CDF＝55°，∠C＝70°，则　DE∥BC　．【分析】由DF平分∠CDE，∠CDF＝55°可得∠CDE＝110°，再根据同旁内角互补两直线平行可得结论．【解答】解：∵DF平分∠CDE，∠CDF＝55°，∴∠CDE＝2∠CDF＝110°，∵∠C＝70°，∴∠C+∠CDE＝70°+110°＝180°，∴DE∥BC．故答案为：DE∥BC．【点评】本题考查平行线的判定，熟练的掌握平行线的判定方法是解题关键．19．（2021春•松江区期中）如图，和∠A是同位角的有　∠BED和∠CDE　．【分析】根据同位角的定义，可得答案．【解答】解：由图，得∠A的同位角是∠BED和∠CDE，故答案为：∠BED和∠CDE．【点评】本题考查了同位角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．20．（2021春•饶平县校级期末）如图，下列条件中：（1）∠B+∠BCD＝180°；（2）∠1＝∠2；（3）∠3＝∠4；（4）∠B＝∠5，能判定AB∥CD的条件个数有　3　个．【分析】根据平行线的判定定理即可判断．【解答】解：（1）∠B+∠BCD＝180°，则AB∥CD；（2）∠1＝∠2，则AD∥BC；（3）∠3＝∠4，则AB∥CD；（4）∠B＝∠5，则AB∥CD，故能判定AB∥CD的条件个数有3个．故答案为：3．【点评】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．21．（2021•湖北模拟）如图，一只因损坏而倾斜的椅子，从背后看到的形状如图，其中两组对边的平行关系没有发生变化，若∠1＝75°，则∠2的大小是　105°　．【分析】先根据AD∥BC求出∠3的度数，再根据AB∥CD即可得出结论．【解答】解：如图，∵AD∥BC，∠1＝75°，∴∠3＝∠1＝75°，∵AB∥CD，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣75°＝105°．故答案为：105°．【点评】本题考查的是平行线的性质，即两直线平行，同位角相等，同旁内角互补．22．（2021•南宁二模）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为　50　°．【分析】根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：∵直线m∥n，∴∠2＝∠ABC+∠1＝30°+20°＝50°，故答案为：50【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．三．解答题（共8小题）23．（2021春•金山区期末）已知：如图，AB∥CD，AD和BC交于点O，E为OC上一点，F为CD上一点，且∠CEF+∠BOD＝180°．求证：∠EFC＝∠A．【分析】由AB∥DC可得到∠A与∠D的关系，再由∠CEF+∠BOD＝180°可得到∠CEF＝∠COD，根据平行线的判定定理可得EF∥AD，可得∠D与∠EFC的关系，等量代换可得结论．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∵∠CEF+∠BOD＝180°，∠BOD+∠DOC＝180°，∴∠CEF＝∠DOC．∴EF∥AD．∴∠EFC＝∠D，∵∠A＝∠D，∴∠EFC＝∠A．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定方法是解决本题的关键．24．（2021春•浦东新区校级期末）已知：如图∠AED＝∠C，∠DEF＝∠B，请你说明∠1与∠2相等吗？为什么？解：因为∠AED＝∠C（已知）所以　DE　∥　BC　（　同位角相等，两直线平行　）所以∠B+∠BDE＝180° （　两直线平行，同旁内角互补　）因为∠DEF＝∠B（已知）所以∠DEF+∠BDE＝180° （　等量代换　）所以　EF　∥　AB　（　同旁内角互补，两直线平行，　）所以∠1＝∠2 （　两直线平行，内错角相等　）．【分析】先判断出DE∥BC得出∠B+∠BDE＝180°，再等量代换，即可判断出EF∥AB即可．【解答】解：因为∠AED＝∠C（已知）所以 DE∥BC（ 同位角相等，两直线平行）所以∠B+∠BDE＝180° （ 两直线平行，同旁内角互补）因为∠DEF＝∠B（已知）所以∠DEF+∠BDE＝180° （等量代换 ）所以 EF∥AB（同旁内角互补，两直线平行 ）所以∠1＝∠2 （ 两直线平行，内错角相等）．故答案为：DE，BC，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补，等量代换 EF，AB，同旁内角互补，两直线平行，两直线平行，内错角相等．【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．25．（2021秋•虎林市期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，FO⊥CD于点O，若∠BOD：∠EOB＝2：3，求∠AOF的度数．【分析】设∠BOD＝2x，∠EOB＝3x；根据题意列出方程3x+3x+2x＝180°，得出x＝22.5°，求出∠AOC＝∠BOD＝45°，即可求出∠AOF＝90°﹣∠AOC＝45°．【解答】解：设∠BOD＝2x，∠EOB＝3x；∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠EOB＝3x，则3x+3x+2x＝180°，解得：x＝22.5°，∴∠BOD＝45°，∴∠AOC＝∠BOD＝45°，∵FO⊥CD，∴∠AOF＝90°﹣∠AOC＝90°﹣45°＝45°．【点评】本题考查了垂线、对顶角、邻补角的知识；弄清各个角之间的数量关系是解题的关键．26．（2021春•济宁期末）如图，已知AD⊥BC，垂足为点D，EF⊥BC，垂足为点F，∠1+∠2＝180°．请填写∠CGD＝∠CAB的理由．∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90° （　垂直定义　），∴∠ADC＝∠EFC，∴AD∥　EF　（　同位角相等，两直线平行　），∴∠　3　+∠2＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　），∵∠1+∠2＝180°，∴∠　1　＝∠　3　（　同角的补角相等　），∴DG∥　AB　（　内错角相等，两直线平行　），∴∠CGD＝∠CAB．【分析】根据同位角相等，两直线平行得出AD∥EF，根据平行线的性质得出∠3+∠2＝180°，求出∠1＝∠3，根据平行线的判定得出DG∥AB，根据平行线的性质得出∠CGD＝∠CAB即可．【解答】解：∠CGD＝∠CAB，理由如下：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90°（垂直定义），∴∠ADC＝∠EFD，∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行），∴∠3+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠1+∠2＝180°，∴∠1＝∠3（同角的补角相等），∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行），∴∠CGD＝∠CAB．故答案为：垂直定义；EF；同位角相等，两直线平行；3；两直线平行，同旁内角互补；1；3；同角的补角相等；AB；内错角相等，两直线平行．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，补角定义的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．27．（2021春•宣化区期末）如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D，（推理时不需要写出每一步的理由）（1）求∠CBD的度数．（2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律．（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．【分析】（1）由平行线的性质可求得∠ABN，再根据角平分线的定义和整体思想可求得∠CBD；（2）由平行线的性质可得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，再由角平分线的定义可求得结论；（3）由平行线的性质可得到∠ACB＝∠CBN＝60°+∠DBN，结合条件可得到∠DBN＝∠ABC，且∠ABC+∠DBN＝60°，可求得∠ABC的度数．【解答】解：（1）∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A＝180°，∴∠ABN＝180°﹣60°＝120°，∴∠ABP+∠PBN＝120°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°；（2）不变，∠APB：∠ADB＝2：1．∵AM∥BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN，∴∠APB：∠ADB＝2：1；（3）∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN，当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，∴∠ABC＝∠DBN，由（1）可知∠ABN＝120°，∠CBD＝60°，∴∠ABC+∠DBN＝60°，∴∠ABC＝30°．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角相等⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．28．（2021春•长沙县期末）如图，直线AE、CF分别被直线EF、AC所截，已知，∠1＝∠2，AB平分∠EAC，CD平分∠ACG．将下列证明AB∥CD的过程及理由填写完整．证明：因为∠1＝∠2，所以　AE　∥　CF　，（　同位角相等，两直线平行　）所以∠EAC＝∠ACG，（　两直线平行，内错角相等　）因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，所以　∠3　＝，　∠4　＝，所以　∠3　＝　∠4　，所以AB∥CD（　内错角相等，两直线平行　）．【分析】利用平行线的判定及性质就可求得本题．即同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．反之即为性质．【解答】证明：因为∠1＝∠2，所以AE∥CF（同位角相等，两直线平行），所以∠EAC＝∠ACG（两直线平行，内错角相等），因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，所以∠3＝，∠4＝，所以∠3＝∠4，所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．【点评】此题主要考查了平行线的判定即同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．平行线的判定即两直线平行，同位角相等．两直线平行，内错角相等．两直线平行，同旁内角互补．29．（2021春•乌海期末）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，试说明：BE∥CF．完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：解：∵∠3＝∠4（已知）∴AE∥　BC　（　内错角相等，两直线平行　）∴∠EDC＝∠5（　两直线平行，内错角相等　）∵∠5＝∠A（已知）∴∠EDC＝　∠A　 （　等量代换　）∴DC∥AB（　同位角相等，两直线平行　）∴∠5+∠ABC＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　）即∠5+∠2+∠3＝180°∵∠1＝∠2（已知）∴∠5+∠1+∠3＝180°（　等量代换　）即∠BCF+∠3＝180°∴BE∥CF（　同旁内角互补，两直线平行　）．【分析】可先证明BC∥AF，可得到∠A+∠ABC＝180°，结合条件可得∠2+∠3+∠5＝180°，可得到∠1+∠3+∠5＝180°，可证明BE∥CF．【解答】解：∵∠3＝∠4（已知）∴AE∥BC（ 内错角相等，两直线平行）∴∠EDC＝∠5（ 两直线平行，内错角相等）∵∠5＝∠A（已知）∴∠EDC＝∠A （等量代换）∴DC∥AB（ 同位角相等，两直线平行）∴∠5+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）即∠5+∠2+∠3＝180°∵∠1＝∠2（已知）∴∠5+∠1+∠3＝180°（等量代换）即∠BCF+∠3＝180°∴BE∥CF（同旁内角互补，两直线平行）；故答案为：BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠A；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．【点评】本题主要考查平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．30．（2021春•肥西县期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝　110°　．问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．（1）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．【分析】过P作PE∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC＝50°+60°＝110°．（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（2）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．【解答】解：过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，∴∠APC＝50°+60°＝110°，故答案为：110°；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．