初中数学沪教版（五四制）（2024）七年级下册15.1 平面直角坐标系同步训练题

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1．（2021春•霍林郭勒市期末）点P（﹣3，2）在平面直角坐标系中所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标符号可得答案．
【解答】解：点P（﹣3，2）在平面直角坐标系中所在的象限是第二象限，
故选：B．
【点评】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握平面直角坐标系中个象限内的点的坐标符号，第一象限（+，+），第二象限（﹣，+），第三象限（﹣，﹣）第四象限（+，﹣）．
2．（2021春•黄浦区期末）平面直角坐标系中，将点A（﹣3，﹣5）向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，则点B的坐标为（ ）
A．（1，﹣8）B．（1，﹣2）C．（﹣6，﹣1）D．（0，﹣1）
【分析】利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．
【解答】解：点A的坐标为（﹣3，﹣5），将点A向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，
点B的横坐标是﹣3﹣3＝﹣6，纵坐标为﹣5+4＝﹣1，即（﹣6，﹣1）．
故选：C．
【点评】本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减、右加；上下移动改变点的纵坐标，下减、上加．
3．（2021春•浦东新区期末）点P的横坐标是﹣3，且到x轴的距离为5，则P点的坐标是（ ）
A．（5，﹣3）或（﹣5，﹣3）B．（﹣3，5）或（﹣3，﹣5）
C．（﹣3，5）D．（﹣3，﹣5）
【分析】点P到x轴的距离为5即P点的纵坐标是5或﹣5，又因为点P的横坐标是﹣3，即可得P点坐标．
【解答】解：∵点P到x轴的距离为5，
∴P点的纵坐标是5或﹣5，
∵点P的横坐标是﹣3，
∴P点的坐标是（﹣3，5）或（﹣3，﹣5）．
故选：B．
【点评】本题考查的是点的坐标的几何意义，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离．
4．（2020•南丹县模拟）在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点（﹣2，3）在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
5．（2020秋•田林县期中）无论m取什么实数，点（﹣1，﹣m2﹣1）一定在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断其所在的象限．
【解答】解：∵点（﹣1，﹣m2﹣1）的横坐标﹣1＜0，纵坐标﹣m2﹣1中，m2≥0，
∴﹣m2﹣1＜0，
故满足点在第三象限的条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号，第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
6．（2019春•虹口区期末）平面直角坐标系中，将正方形向上平移3个单位后，得到的正方形各顶点与原正方形各顶点坐标相比（ ）
A．横坐标不变，纵坐标加3
B．纵坐标不变，横坐标加3
C．横坐标不变，纵坐标乘以3
D．纵坐标不变，横坐标乘以3
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【解答】解：平面直角坐标系中，将正方形向上平移3个单位后；
即各点坐标变化为（x，y+3）；即横坐标不变，纵坐标加3．
故选：A．
【点评】本题考查点坐标的平移变换．关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移中，对应点的对应坐标的差相等．
7．（2020秋•普陀区期末）如果点A（3，m）在x轴上，那么点B（m+2，m﹣3）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据x轴上的点的纵坐标为0列式求出m的值，然后计算即可得解．
【解答】解：∵A（3，m）在x轴上，
∴m＝0，
∴m+2＝2，m﹣3＝﹣3，
∴B（m+2，m﹣3）所在的象限是第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0是解题的关键．
8．（2020春•迁西县期末）在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ）
A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）
【分析】根据点在第二象限的符号特点横坐标是负数，纵坐标是正数作答．
【解答】解：∵点在第二象限的符号特点是横坐标是负数，纵坐标是正数，
∴符合题意的只有选项C．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
9．（2019春•长宁区期末）如图是在方格纸上画出的小旗图案，若用（0，0）表示A点，（0，4）表示B点，那么C点的位置可表示为（ ）
A．（0，3）B．（2，3）C．（3，2）D．（3，0）
【分析】根据已知两点坐标建立坐标系，然后确定其它点的坐标．
【解答】解：用（0，0）表示A点，（0，4）表示B点，则以点A为坐标原点，AB所在直线为y轴，向上为正方向，x轴是过点A的水平直线，向右为正方向．所以点C的坐标为（3，2）
故选：C．
【点评】考查类比点的坐标及学生解决实际问题和阅读理解的能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置，或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．解题的关键是确定原点及x，y轴的位置和方向．
10．（2018•温州）如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（0，）．现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB′，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（1，0）B．（，）C．（1，）D．（﹣1，）
【分析】根据平移的性质得出平移后坐标的特点，进而解答即可．
【解答】解：因为点A与点O对应，点A（﹣1，0），点O（0，0），
所以图形向右平移1个单位长度，
所以点B的对应点B'的坐标为（0+1，），即（1，），
故选：C．
【点评】此题考查坐标与图形变化，关键是根据平移的性质得出平移后坐标的特点．
二．填空题（共15小题）
11．（2021秋•柯桥区期末）在平面直角坐标系中，点E（﹣2，3）到y轴距离是 2 ．
【分析】根据点到直线的距离的定义即可解答．
【解答】解：点到y轴的距离即是点的横坐标的绝对值，则点E（﹣2，3）到y轴距离是2．故填2．
【点评】本题主要考查点的坐标的几何意义，到x轴的距离就是纵坐标的绝对值，到y轴的距离就是横坐标的绝对值．
12．（2021春•黄浦区期末）点A（1﹣a，5）和点B（3，b）关于y轴对称，则a+b＝ 9 ．
【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
【解答】解：∵点A（1﹣a，5）与B（3，b）关于y轴对称
∴a＝4，b＝5
∴a+b＝4+5＝9．
【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
13．（2020春•闵行区期末）已知点A（m，n）在第四象限，那么点B（m，﹣n）在第 一 象限．
【分析】根据点所在象限判断出m、n的取值范围，然后再确定﹣n的取值范围，进而可得答案．
【解答】解：∵点A（m，n）在第四象限，
∴m＞0，n＜0，
∴﹣n＞0，
∴点B（m，﹣n）在第一象限，
故答案为：一．
【点评】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握四个象限内点的坐标符号，第一象限（+，+），第二象限（﹣，+），第三象限（﹣，﹣），第四象限（+，﹣）．
14．（2020秋•瑶海区期中）点P（a﹣3，5﹣a）在第一象限内，则a的取值范围是 3＜a＜5 ．
【分析】根据第一象限内点的横坐标与纵坐标都是正数列出不等式组，然后求解即可．
【解答】解：∵点P（a﹣3，5﹣a）在第一象限内，
∴，
解不等式①得，a＞3，
解不等式②得，a＜5，
所以，a的取值范围是3＜a＜5．
故答案为：3＜a＜5．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
15．（2020秋•丹阳市期末）平面直角坐标系中，点M（3，﹣2）关于y轴的对称点的坐标是 （﹣3，﹣2） ．
【分析】关于y轴对称的点的坐标特征是横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得答案．
【解答】解：点M （3，﹣2）关于y轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣2），
故答案为：（﹣3，﹣2）．
【点评】本题考查了关于x轴、关于y轴堆成的点的坐标，关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同．
16．（2019•邵阳）如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B在第一象限，将等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是 （﹣2，﹣2） ．
【分析】作BH⊥y轴于H，如图，利用等边三角形的性质得到OH＝AH＝2，∠BOA＝60°，再计算出BH，从而得到B点坐标为（2，2），然后根据关于原点对称的点的坐标特征求出点B′的坐标．
【解答】解：作BH⊥y轴于H，如图，
∵△OAB为等边三角形，
∴OH＝AH＝2，∠BOA＝60°，
∴BH＝OH＝2，
∴B点坐标为（2，2），
∵等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，
∴点B′的坐标是（﹣2，﹣2）．
故答案为（﹣2，﹣2）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了等边三角形的性质．
17．（2022•南平模拟）已知点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是 （﹣2，3） ．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【解答】解：点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．
18．（2020秋•金塔县期末）若点P在第二象限，且点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，则点P的坐标是 （﹣5，3） ．
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【解答】解：∵点P在第二象限，且点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，
∴点P的横坐标是﹣5，纵坐标是3，
∴点P的坐标是（﹣5，3）．
故答案为：（﹣5，3）．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
19．（2021春•静安区期末）在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称该点是格点．若格点P（2m﹣1，m+2）在第二象限，则m的值为 ﹣1或0 ．
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组，然后求解即可．
【解答】解：∵格点P（2m﹣1，m+2）在第二象限，
∴，
解不等式①得，m＜，
解不等式②得，m＞﹣2，
∴不等式的解集为﹣2＜m＜，
∵点的横、纵坐标均为整数，
∴m是整数，
∴m的值为﹣1或0．
故答案为：﹣1或0．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
20．（2021春•玉田县期末）平面直角坐标系中点P（3，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是 （3，2） ．
【分析】根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果．
【解答】解：根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴点P（3，﹣2）关于x轴的对称点P′的坐标是（3，2）．
故答案为：（3，2）．
【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标的知识，注意掌握两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数．
21．（2021•上海模拟）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣2，x）在第二象限，则x的取值范围为 0＜x＜2 ．
【分析】根据点在第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数．
【解答】解：因为点P（x﹣2，x）在第二象限，所以，解得0＜x＜2．
【点评】解答此题的关键是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的符号．
22．（2020春•奉贤区期末）在平面直角坐标系中，已知点A（m，n）在第二象限，那么点B（﹣n，m）在第 三 象限．
【分析】在第二象限中，横坐标小于0，纵坐标大于0，所以﹣n＜0，m＜0，再根据每个象限的特点，得出点B在第三象限，即可解答．
【解答】解：∵点A（m，n）在第二象限，
∴m＜0，n＞0，
∴﹣n＜0，m＜0，
∵点B（﹣n，m）在第三象限，
故答案为三．
【点评】本题考查了每个象限中横纵坐标的特点，难度适中．解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
23．（2020•贺州）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标是 （﹣3，﹣2） ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），据此即可求得点（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标．
【解答】解：∵点（﹣3，2）关于x轴对称，
∴对称的点的坐标是（﹣3，﹣2）．
故答案为（﹣3，﹣2）．
【点评】本题主要考查了直角坐标系点的对称性质，比较简单．
24．（2019春•虹口区期末）如图，将Rt△ABO绕点O顺时针旋转90°，得到Rt△A′B′O，已知点A的坐标为（4，2），则点A′的坐标为 （2，﹣4） ．
【分析】在Rt△ABO中，AB⊥OB，点A的坐标为（4，2），可得到AB、OB的长，旋转后的图形与原图形全等，绕点O顺时针旋转90°，故可知A′点的坐标．
【解答】解：在Rt△ABO中，AB⊥OB，
∵点A的坐标为（4，2），
∴AB＝2，OB＝4，
∵旋转后的图形与原图形全等，
∴OB′＝OB＝4，A′B′＝AB＝2，
∵绕点O顺时针旋转90°，A点处于第四象限，
∴A′点的坐标为（2，﹣4），
故答案为：（2，﹣4）．
【点评】本题主要考查了图形旋转的应用，解答时应结合直角三角形的性质．
25．（2020•射阳县一模）在平面直角坐标系中，点A（2，1）关于x轴对称的点的坐标是 （2，﹣1） ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．
【解答】解：点（2，1）关于x轴对称的点的坐标是（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
【点评】本题比较容易，考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容．
三．解答题（共5小题）
26．（2020春•浦东新区校级期末）已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D关于原点对称．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）顺次连接点A、D、B、C，求所得图形的面积．
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，分别求出a，b的值，进而求出点A、B、C的坐标，再根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数求出点D的坐标；
（2）把这些点按A﹣D﹣B﹣C﹣A顺次连接起来，再根据三角形的面积公式计算其面积即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，
∴2b+1＝﹣1，3a﹣1＝2，
解得a＝1，b＝﹣1，
∴点A（﹣1，2），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣1），
∵点C（a+2，b）与点D关于原点对称，
∴点D（﹣3，1）；
（2）如图所示：
四边形ADBC的面积为：．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于x、y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
27．（2020春•赣州期末）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣3，﹣2）
（1）图中点C的坐标是 （3，﹣2） ．
（2）三角形ABC的面积为 15 ．
（3）点C关于x轴对称的点D的坐标是 （3，2） ．
（4）如果将点B沿着与x轴平行的方向向右平移3个单位得到点B′，那么A、B′两点之间的距离是 5 ．
（5）图中四边形ABCD的面积是 21 ．
【分析】（1）根据平面直角坐标系可直接写出C点坐标；
（2）根据三角形的面积公式可得答案；
（3）根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得D点坐标；
（4）根据点的平移：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得B′点坐标，进而得到答案；
（5）用△ABC的面积加上△ACD的面积即可．
【解答】解：（1）根据题意得点C的坐标为（3，﹣2）；
故答案为：（3，﹣2）；
（2）△ABC的面积：．
故答案为：15；
（3）点C关于x轴对称的点D的坐标是（3，2）；
故答案为：（3，2）；
（4）将点B沿着与x轴平行的方向向右平移3个单位得到点B′（﹣3+3，﹣2），即（0，﹣2），
A、B′两点之间的距离是：3﹣（﹣2）＝5；
故答案为：5；
（5），
∴四边形ABCD的面积为：S△ABC+S△ACD＝15+6＝21．
故答案为：21
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关于x轴对称的点的坐标，平面直角坐标系，以及三角形的面积，关键是掌握点的坐标的变化规律．
28．（2013春•无棣县期中）已知点P的坐标为（2﹣a，3a+6），且点P到两坐标轴的距离相等，求点P坐标．
【分析】根据到两坐标轴的距离相等的点的特点解答即可．
【解答】解：∵点P的坐标为（2﹣a，3a+6），且点P到两坐标轴的距离相等，
∴2﹣a＝3a+6或（2﹣a）+（3a+6）＝0；
解得：a＝﹣1或a＝﹣4，
∴P点坐标为（3，3）或（6，﹣6）．
【点评】解答此题的关键是熟知到两坐标轴的距离相等的点的特点是：横纵坐标相等或横纵坐标互为相反数．
29．（2014春•广汉市期中）已知A（a﹣3，a2﹣4），求a及A点的坐标：
（1）当A在x轴上；
（2）当A在y轴上．
【分析】（1）在x轴上说明a2﹣4＝0．
（2）在y轴上说明a﹣3＝0．
【解答】解：（1）∵A在x轴上，
∴a2﹣4＝0，即a＝±2，
∴点A的坐标为（﹣1，0）或（﹣5，0）；
（2）∵A在y轴上，
∴a﹣3＝0，解得a＝3，
∴点A的坐标为（0，5）．
【点评】此题根据点在x轴上的点的纵坐标为0；在y轴上的点的横坐标为0解答．
30．（2021春•官渡区期末）如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足+|b﹣2|＝0．
（1）则C点的坐标为 （2，0） ；A点的坐标为 （0，4） ．
（2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点Q到达A点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（1，2），设运动时间为t（t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使S△ODP＝S△ODQ？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由
（3）点F是线段AC上一点，满足∠FOC＝∠FCO，点G是第二象限中一点，连OG，使得∠AOG＝∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a，b的值即可；
（2）先得出CP＝t，OP＝2﹣t，OQ＝2t，AQ＝4﹣2t，再根据S△ODP＝S△ODQ，列出关于t的方程，求得t的值即可；
（3）过H点作AC的平行线，交x轴于P，先判定OG∥AC，再根据角的和差关系以及平行线的性质，得出∠PHO＝∠GOF＝∠1+∠2，∠OHC＝∠OHP+∠PHC＝∠GOF+∠4＝∠1+∠2+∠4，最后代入进行计算即可．
【解答】解：（1）∵+|b﹣2|＝0，
∴a﹣2b＝0，b﹣2＝0，
解得a＝4，b＝2，
∴A（0，4），C（2，0）；
（2）由条件可知：P点从C点运动到O点时间为2秒，Q点从O点运动到A点时间为2秒，
∴0＜t≤2时，点Q在线段AO上，
即 CP＝t，OP＝2﹣t，OQ＝2t，AQ＝4﹣2t，
∴，，
∵S△ODP＝S△ODQ，
∴2﹣t＝t，
∴t＝1；
（3）的值不变，其值为2．
∵∠2+∠3＝90°，
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠FCO，
∴∠GOC+∠ACO＝180°，
∴OG∥AC，
∴∠1＝∠CAO，
∴∠OEC＝∠CAO+∠4＝∠1+∠4，
如图，过H点作AC的平行线，交x轴于P，则∠4＝∠PHC，PH∥OG，
∴∠PHO＝∠GOF＝∠1+∠2，
∴∠OHC＝∠OHP+∠PHC＝∠GOF+∠4＝∠1+∠2+∠4，
∴．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，解决问题的关键值作辅助线构造平行线．解题时注意：任意一个数的绝对值都是非负数，算术平方根具有非负性，非负数之和等于0时，各项都等于0。