苏科版数学八上期末专题复习专题02 作图精选（2份，原卷版+解析版）

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实战训练
一．解答题（共26小题）
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿射线AC运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）把△ABC沿着过点P的直线折叠，使点A与点B重合，请求出此时t的值．
（2）是否存在t值，使得△ABP为等腰三角形？若存在，直接写出结果；若不存在，请说明理由．
（3）现把△ABC沿着直线BP翻折，当t为何值时点C恰好落在直线AB上．
试题分析：（1）连接PB，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理列式计算，得到答案；
（2）分AP＝AB、PA＝PB、BA＝BP三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可；
（3）分点P在AC上、点P在AC的延长线上两种情况，根据翻转变换的性质、勾股定理计算，求出t的值．
答案详解：解：（1）如图1，连接PB，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
则AC8（cm），
∵△ABC沿着过点P的直线折叠，点A与点B重合，
∴PD是AB的垂直平分线，
∴PA＝PB，
在Rt△BPC中，PB2＝PC2+BC2，即PA2＝（8﹣PA）2+62，
解得：PA，
∴t；
（2）当AP＝AB＝10cm时，t＝10；
当PA＝PB时，由（1）可知，PA，
∴t；
当BA＝BP时，AP＝2AC＝16cm，
∴t＝16，
综上所述：△ABP为等腰三角形时，t的值为10或或16；
（3）当点P在AC上时，如图2，BC′＝BC＝6cm，PC′＝PC，∠BC′B＝∠PCB＝90°，
∴AC′＝10﹣6＝4cm，
在Rt△APC′中，AP2＝C′A2+C′P2，即AP2＝42+（8﹣AP）2，
解得：AP＝5，
∴t＝5；
当点P在AC的延长线上时，如图3，BC′＝BC＝6cm，PC′＝PC，∠BC′B＝∠PCB＝90°，
∴AC′＝10+6＝16cm，
在Rt△APC′中，AP2＝C′A2+C′P2，即AP2＝162+（AP﹣8）2，
解得：AP＝20，
∴t＝20；
综上所述：当t为5或20时，点C恰好落在直线AB上．
2．按要求作（画）图并证明：
（1）尺规作图：如图∠AOB，作∠AOB的平分线OP（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）过平分线上一点C画CD∥OB交OA于点D，取线段OC的中点E，过点E画直线分别交射线CD、OB于点M、N（M不与C、D重合），请你探究线段OD、ON、DM之间的数量关系，并证明你的结论．
试题分析：（1）利用基本作图，作∠AOB的平分线即可；
（2）如图2，先证明∠DOC＝∠DCO得到OD＝CD，再证明△OEN≌△CEM得到ON＝CM，则OD＝CD＝CM+DM＝ON+DM；如图3，同样方法证得OD＝CD，ON＝CM，则OD＝CD＝ON﹣DM．
答案详解：解：（1）如图1，OP为所作；
（2）OD＝ON+DM或OD＝ON﹣DM．
理由如下：
如图2，∵CD∥OB，
∴∠DCO＝∠BOC，
∵OP平分∠AOB，
∴∠DOC＝∠BOC，
∴∠DOC＝∠DCO，
∴OD＝CD，
∵点E为OC的中点，
∴OE＝CE，
在△OEN和△CEM中，
，
∴△OEN≌△CEM（ASA），
∴ON＝CM，
∴CD＝CM+DM＝ON+DM，
∴OD＝ON+DM；
如图3，同样方法证得OD＝CD，
∴ON＝CM，
∴CD＝CM﹣DM＝ON﹣DM，
∴OD＝ON﹣DM，
综上所述，OD、ON、DM之间的数量关系为OD＝ON+DM或OD＝ON﹣DM．
3．如图，在△ABC中．
（1）作BC的垂直平分线DE，分别交AC、BC于点D、E；（要求：尺规作图保留作图痕迹，不写作法．）
（2）若AB＝6，AC＝10，求△ABD的周长．
试题分析：（1）根据线段垂直平分线的作法作图即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得“DB＝DC，进而得到AD+DC＝AD+BD＝5cm，然后可得周长．
答案详解：解：（1）如图所示：
（2）∵DE是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵AC＝10，
∴AD+DC＝AD+BD＝10，
∵AB＝6，
∴△ABD的周长是：10+6＝16．
4．如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点上．
（1）在图中作出△ABC关于直线l的对称图形△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（2）△A1B1C1的面积为 5 ；
（3）若有一格点P到点A、B的距离相等（PA＝PB），则网格中满足条件的点P共有 3 个．
试题分析：（1）利用网格特点和轴对称的性质画出A、B、C的对应点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A1B1C1的面积；
（3）利用网格特点作AB的垂直平分线可得到满足条件的格点P．
答案详解：解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）△A1B1C1的面积＝4×33×12×43×1＝5；
所以答案为：5；
（3）如图，网格中满足条件的点P共有3个．
所以答案为：3．
5．如图．在△ABC中，AB＝BC．
（1）按要求画图，尺规作图作出∠ABC的角平分线（射线）BD，交AC于点E；
（2）在（1）的结果下，画图并计算：点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，求△CEF的周长．
试题分析：（1）利用基本作图，作∠ABC的平分线即可；
（2）利用等腰三角形的性质得到BE⊥AC，AE＝CE＝1，再根据勾股定理计算出BC，接着利用直角三角形斜边上的中线性质得到EF＝BF＝CF，所以△CEF的周长＝CE+BC．
答案详解：解：（1）如图，BE为所作；
（2）∵BA＝BC，BE平分∠ABC，
∴BE⊥AC，AE＝CEAC＝1，
在Rt△BCE中，BC，
∵点F为BC的中点，
∴EF＝BF＝CF，
∴△CEF的周长＝CE+EF+FC＝CE+BF+FC＝CE+BC＝1．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B两点的距离相等（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）当满足（1）的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数．
试题分析：（1）作线段AB的垂直平分线交AC于点P；
（2）证明∠A＝∠PBA＝∠PBC，可得结论．
答案详解：解：（1）如图，点P即为所求；
（2）∵PA＝PB，
∴∠A＝∠PBA，
∵点P到AB，BC的距离相等，
∴PB平分∠ABC，
∴∠A＝∠PBA＝∠PBC，
∵∠C＝90°，
∴∠A＝∠PBA＝∠PBC＝30°．
7．请利用直尺与圆规作图：用两种不同的方法过点A作直线l的垂线．（不写作法，保留作图痕迹）
试题分析：方法一：利用基本作图，过A点作直线l的垂线；
方法二：在直线上取异于A点的B点，过B点作直线l的垂线，在垂线上任意取点C，然后以A、C为圆心，BC和BA为半径画弧，两弧相交于点D，则直线AD⊥直线l．
答案详解：解：如图，
8．问题探究
已知在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，AC＝A'C'，AD、A'D'分别是BC、B'C'边上的高，且AD＝A'D'．
（1）如图①，当AB＝AC时，求证：△ABC≌△A'B'C'．
（2）当AB≠AC时，△ABC与△A'B'C'不一定全等．请用直尺和圆规在图②中作出△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
解决问题
（3）在△ABC中，AB＝20，AC＝15，BC边上的高AD＝12，则△ABC的周长为 60或42 ．
试题分析：（1）利用全等三角形的性质证明∠B＝∠B′，∠C＝∠C′可得结论；
（2）作出图形即可；
（3）此题分两种情况：∠B为锐角或∠C为钝角．分别求出BC的长即可．
答案详解：（1）证明：∵AD、A'D'分别是BC、B'C'边上的高，
∴∠ADB＝∠A'D'B'＝90°，
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠ADB＝∠A'D'B'＝90°，
，
∴Rt△ABD和Rt△A'B'D'（HL），
∴∠B＝∠B'，
同理可得：∠C＝∠C'，
在△ABC和△A'B'C'中，
，
∴△ABC≌△A'B'C'（AAS）．
（2）反例如图所示：
（3）作AD⊥BC于D，则AD为BC边上的高，AD＝12．分两种情况：
①高AD在三角形内，如图所示：在Rt△ADC中，由勾股定理得：
AC2＝AD2+DC2，
∴DC9，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：
AB2＝AD2+BD2，
∴BD16，
∴BC＝BD+DC＝16+9＝25，
所以，△ABC的周长为AB+AC+BC＝20+15+25＝60．
②高AD在三角形外，如图所示：
在Rt△ADC中，由勾股定理得：DC＝9，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：BD＝16，
∴BC＝BD﹣DC＝16﹣9＝7，
所以，△ABC的周长为AB+AC+BC＝20+15+7＝42．
故△ABC的周长为60或42．
所以答案为：60或42．
9．已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．
（1）①在射线AB取一点P，使△APC是以AC为底边的等腰三角形；
②过P作射线PD，使PD∥AC；（以上按要求尺规作图，并保留作图痕迹）
（2）若∠BPD＝40°，则∠ACP＝ 40 °．
试题分析：（1）①作AC的垂直平分线交AB于点P即可；
②作∠BPD＝∠A即可得PD∥AC；
（2）根据平行线的性质即可得∠ACP的度数．
答案详解：解：（1）①如图，点P即为所求；
②射线PD即为所求；
（2）∵PD∥AC，
∴∠BPD＝∠A＝40°，
∵PA＝PC，
∴∠ACP＝∠A＝40°，
所以答案为：40．
10．如图，已知△ABC，用直尺和圆规作△ABC的角平分线BD和高AE．
（不写作法，保留作图痕迹）
试题分析：利用尺规作△ABC的角平分线BD和高AE即可．
答案详解：解：如图所示，
BD和AE即为△ABC的角平分线和高．
11．尺规作图：如图，射线OM⊥射线ON，A为OM上一点，请以OA为一边作两个大小不等的等腰直角三角形．保留作图痕迹，标上顶点字母，并写出所画的三角形．
试题分析：作法一：作线段OA垂直平分线，再以OA中点为圆心，OA为半径画弧，在OM上方的垂直平分线交于点B，△OAB即为所求；
作法二：以O为圆心，OA为半径画弧，交ON于点D，△OAD即为所求．
答案详解：解：如图1所示，△OAB即为所求．
如图2所示，△OAD即为所求．
12．如图，铁路上A、B两站相距8km，C、D为两个村庄，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，已知AC＝2km，BD＝4km，现在要在铁路AB上修建一个中转站P，使得P到C、D两村的距离和最短．请在图中画出P点的位置，并求出PC+PD的最小值．
试题分析：作C点关于AB的对称点C'，连接C'D与AB的交点就是P点，点P即为中转站的位置；然后根据勾股定理即可得PC+PD的最小值．
答案详解：解：如图，作C点关于AB的对称点C'，连接C'D与AB的交点就是P点，
点P即为中转站的位置；
过C'作C'E⊥DB的延长线于点E，
则BE＝AC'＝AC＝2km，C'E＝AB＝8km，
∴DE＝BD+BE＝6km，
在Rt△DEC'中，根据勾股定理，得
C'D2＝DE2+C'E2＝62+82＝100，
∴C'D＝10km，
∴PC+PD的最小值为10km．
13．网购已经融入市民们的日常生活，在2021年泗阳县老旧小区的改造中，为了便于人们及时、安全收到网购物品，打算增设快递云柜，计划在道路m、n两旁建立一个快递云柜点P．使得快递云柜点P到两条道路m、n的距离相等，且快递云柜点P到A、B两个小区的距离也相等．请你利用直尺和圆规找出点P的位置．（不写作法，保留作图痕迹）
试题分析：连接AB，作∠MON的角平分线交线段AB的垂直平分线于点P，点P即为所求．
答案详解：解：如图，点P即为所求．
14．A，B两个居民楼在公路同侧，它们离公路的距离分别为AE＝200米，BF＝70米，它们的水平距离EF＝390米．现欲在公路旁建一个超市P，使超市到两居民楼的距离相等．
（1）尺规作图：请在图中作出符合题意的点P；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求PE长．
试题分析：（1）作线段AB的垂直平分线交EF于点P，点P即为所求
（2）连接PA，PB，首先设EP＝x米，则PF＝（390﹣x）米，根据AP＝PB利用勾股定理可得2002+x2＝702+（390﹣x）2，再解方程即可．
答案详解：解：（1）如图，点P即为所求；
（2）连接PA，PB，设EP＝x米，则PF＝（390﹣x）米，由题意得：
2002+x2＝702+（390﹣x）2，
解得：x＝150．
答：超市应建在距离E处150米的位置．
15．方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形．
（1）在图1中确定格点C，使△ABC为等腰三角形．（如果有多个点C，请分别以点C1，C2，C3…编号）
（2）在图2中，请用无刻度的直尺找出一个格点P，使BP平分∠ABC．（不写画法，保留画图痕迹）
试题分析：（1）根据等腰三角形的定义作出图形即可．
（2）取格点R，连接AR，取AR的中点P，连接BP，点P即为所求．
答案详解：解：（1）如图，C1，C2，C3，C4即为所求．
（2）如图，点P即为所求．
16．在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标是（1，0）．
（1）将△ABC沿y轴向下平移6个单位得到△A1B1C1，请在网格内画出△A1B1C1．
（2）将△A1B1C1沿y轴翻折得到△A2B2C2，请在网格内画出△A2B2C2．
（3）点P（m，n）是△ABC边上一点，写出点P经过（1）（2）两次变换后的对应点P′的坐标 （﹣m，n﹣6） ．
试题分析：（1）利用点平移的坐标变换规律，把点A、B、C的横坐标不变，纵坐标都减去6得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）利用（1）（2）中点的坐标变换规律求解．
答案详解：解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）点P经过（1）（2）两次变换后的对应点P′的坐标为（﹣m，n﹣6）
所以答案为：（﹣m，n﹣6）．
17．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1．
（1）画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；
（2）在直线l上找一点P，使PB+PC值最小；（要求在直线l上标出点P的位置）
（3）在直线l上找一点Q，使QB＝QC（要求在直线l上标出点Q的位置）
试题分析：（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；
（2）连接CB1交直线l于点P，根据轴对称的性质可得PB+PC值最小；
（3）根据网格即可在直线l上找一点Q，使QB＝QC．
答案详解：解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，点P即为所求；
（3）如图，点Q即为所求．
18．如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，方格纸中每个小正方形的边长均为1．
（1）画出△ABC关于直线l对称的△DEF；
（2）结合所画图形，在直线l上画出点P，使PD+PE的长度最小．
试题分析：（1）分别作出三个顶点关于直线l的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）连接BD，与直线l的交点即为所求点P．
答案详解：解：（1）如图所示，△DEF即为所求．
（2）如图所示，点P即为所求．
19．（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1；
（2）△ABC的面积为 ；
（3）在直线l上找一点P（在答题纸的图中标出点P），使PB+PC的长最短．
试题分析：（1）分别作出三个顶点关于直线l的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可；
（3）连接B1C，与直线l的交点即为所求．
答案详解：解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）△ABC的面积为3×41×32×31×4，
所以答案为：；
（3）如图所示，点P即为所求．
20．（1）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
①画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A′B′C′；
②在DE上画出点Q，使QA+QC最小；
（2）如图：已知∠AOB和C、D两点，用直尺和圆规求作一点P，使PC＝PD，且点P到∠AOB两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
试题分析：（1）①分别作出三个顶点关于直线DE的对称点，再首尾顺次连接即可；
②连接A′C，与直线DE的交点即为所求；
（2）作∠AOB的平分线和线段CD的中垂线，交点即为所求．
答案详解：解：（1）①如图所示，△A′B′C′即为所求．
②如图所示，点Q即为所求．
（2）如图所示，点P即为所求．
21．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在边BC上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE．
（1）在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称；
（2）△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积＝ 6 ；
（3）在AE上找一点P，使得PC+PD的值最小．
试题分析：（1）利用轴对称的性质作出点B的对应点F，即可解决问题；
（2）△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积＝四边形ADTE的面积，利用分割法求解；
（3）作点D关于直线AE的对称点D′，连接CD′交AE于点P，点P即为所求．
答案详解：解：（1）如图，△AEF即为所求；
（2）△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积＝四边形ADTE的面积＝2×42×2＝6；
（3）如图，点P即为所求．
22．如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形．
（1）利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l；
（2）结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小；
（3）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝ 3 ．
试题分析：（1）利用网格特点，作AD的垂直平分线即可；
（2）连接CD，与直线l的交点即为所求；
（3）利用割补法求解可得．
答案详解：解：（1）如图所示，直线l即为所求．
（2）如图所示，点P即为所求；
（3）△ABC的面积＝2×41×21×42×2＝3，
所以答案为：3．
23．图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：
（1）在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．
（2）在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点．
（3）在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．
试题分析：（1）根据对称性在图①中，画一条不与AB重合的线段MN并且与AB对称即可；
（2）根据对称性即可在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ并且与AC对称；
（3）根据对称性在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称即可．
答案详解：解：（1）如图①，MN即为所求；
（2）如图②，PQ即为所求；
（3）如图③，△DEF即为所求．（答案不唯一）．
24．如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，在所给正方形网格图中完成下列各题：
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线l对称的△A1B1C1；
（2）格点△ABC的面积为 5 ．
试题分析：（1）利用轴对称的性质作出A，B，C的对应点A1，B1，C1；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围三个三角形面积即可．
答案详解：解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）S△ABC＝4×42×43×41×2＝5，
所以答案为：5．
25．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．
（1）在图1中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1；
（2）在图2中画出∠ABC的角平分线；
（3）在正方形网格中存在 8 个格点，使得该格点与A、C两点构成以AC为腰的等腰三角形．
试题分析：（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）取格点G，H，R，连接AR，GH，交于点P，作射线BP，射线BP即为所求．
（3）画出满足条件的点即可判断．
答案详解：解：（1）如图1中，△A1B1C1即为所求．
（2）如图2中，射线BP即为所求．
（3）如图2中，使得该格点与A、C两点构成以AC为腰的等腰三角形的格点有8个，
所以答案为：8．
26．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形ABC（三角形的顶点都在网格格点上）．
（1）在图中画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′（要求：点A与点A′、点B与点B′、点C与点C′相对应）；
（2）在（1）的结果下，设AB交直线l于点D，连接AB′，求四边形AB′CD的面积．
试题分析：（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于直线l对称的△A′B′C′；
（2）依据割补法进行计算，即可得到四边形AB′CD的面积．
答案详解：解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）四边形AB′CD的面积为：
4×61×13×51×4＝24﹣0.5﹣7.5﹣2＝14．