浙教版数学八上期末培优训练专题3.3大题易丢分期末考前必做解答30题（提升版）（2份，原卷版+解析版）

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1．（2022秋•新昌县校级期中）解下列不等式（组），并把解在数轴上表示出来．
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）∵，
∴3（2+x）≥4（2x﹣1），
6+3x≥8x﹣4，
3x﹣8x≥﹣4﹣6，
﹣5x≥﹣10，
∴x≤2，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
（2）由2x﹣4＜0，得：x＜2，
由（x+8）﹣2＞0，得：x＞﹣4，
则不等式组的解集为﹣4＜x＜2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
2．（2022秋•下城区校级期中）以下是圆圆解不等式组的解答过程：
解：由①，得2+x＞﹣2，
所以x＞﹣4．
由②，得1﹣x＞﹣3，
所以﹣x＞﹣2，
所以x＞2．
所以原不等式组的解是x＞2．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：以上解答过程有错误，
正确解答如下：
由①，得：2+2x＞﹣2，
∴x＞﹣2，
由②，得：﹣1+x＞3，
∴x＞4，
所以原不等式组的解集为x＞4．
3．（2022秋•鹿城区校级期中）当x＞y时，
（1）请比较﹣3x+5与﹣3y+5的大小，并说明理由．
（2）若（a﹣3）x＜（a﹣3）y，则a的取值范围为 a＜3 ．（直接写出答案）
【分析】（1）先求出（﹣3x+5）﹣（﹣3y+5）的值，再根据x＞y判断即可；
（2）根据不等式的性质3得出a﹣3＜0，再求出答案即可．
【解答】解：（1）﹣3x+5＜﹣3y+5，
理由是：∵x＞y，
∴y﹣x＜0，
∴（﹣3x+5）﹣（﹣3y+5）
＝﹣3x+5+3y﹣5
＝3y﹣3x
＝3（y﹣x）＜0，
∴﹣3x+5＜﹣3y+5；
（2）∵x＞y，（a﹣3）x＜（a﹣3）y，
∴a﹣3＜0，
∴a＜3，
即a的取值范围是a＜3．
故答案为：a＜3．
4．（2022秋•下城区校级期中）随着新冠疫情的出现，口罩成为日常生活的必需品，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部卖出，其中成本、售价如表：
（1）若该公司三月份的利润为100万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？（利润＝售价﹣成本）
（2）如果该公司四月份投入成本不超过216万元，该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩多少万只？
（3）某学校到该公司购买乙型口罩有如下两种方案，方案一：乙型口罩一律打9折：方案二：购买168元会员卡后，乙型口罩一律8折，请帮学校设计出合适的购买方案．
【分析】（1）设生产甲型口罩x万只，乙型口罩y万只，结合该公司三月份生产两种口罩20万只，且该公司三月份的利润为100万元，列出二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设生产甲型口罩m万只，则生产乙型口罩（20﹣m）万只，根据该公司四月份投入成本不超过216万元，列出一元一次不等式，解之即可解决问题；
（3）设购买乙型口罩a只，则选择方案一所需费用为5.4a元，选项方案二所需费用为（168+4.8a）元，分5.4a＜168+4.8a，5.4a＝168+4.8a及5.4a＞168+4.8a三种情况，可求出a的取值范围（或a的值），进而可得出：当购买数量少于280只时，选项方案一购买更实惠；当购买数量等于280只时，选择两种方案所需费用相同；当购买数量多于280只时，选择方案二购买更实惠．
【解答】解：（1）设生产甲型口罩x万只，乙型口罩y万只，
依题意得：，
解得：，
答：生产甲型口罩15万只，乙型口罩5万只．
（2）设生产甲型口罩m万只，则生产乙型口罩（20﹣m）万只，
依题意得：12m+4（20﹣m）≤216，
解得：m≤17．
答：该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩17万只；
（3）设购买乙型口罩a只，则选择方案一所需费用为6×0.9a＝5.4a（元），选项方案二所需费用为168+6×0.8a＝（168+4.8a）（元）．
当5.4a＜168+4.8a时，a＜280；
当5.4a＝168+4.8a时，a＝280；
当5.4a＞168+4.8a时，a＞280．
答：当购买数量少于280只时，选项方案一购买更实惠；当购买数量等于280只时，选择两种方案所需费用相同；当购买数量多于280只时，选择方案二购买更实惠．
5．（2022秋•义乌市期中）为响应舟山市创建全国文明城市，某校决定安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
（1）购买1个温馨提示牌和1个垃圾箱各需多少元？
（2）如果需要购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，费用不超过8000元，问：最多购买垃圾箱多少个？
【分析】（1）根据题意可得方程组，根据解方程组，可得答案；
（2）根据费用不超过8000元，可得不等式，根据解不等式，可得答案．
【解答】解：（1）设购买1个温馨提示牌需要x元，购买1个垃圾箱需要y元，依题意得，
，
解得：，
所以，购买1个温馨提示牌需要50元，购买1个垃圾箱需要150元；
（2）设购买垃圾箱m个，则购买温馨提示牌（100﹣m）个，依题意得：
50（100﹣m）+150m≤8000，
解得：m≤30，
答：最多购买垃圾箱30个．
6．（2022秋•青田县期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，AD与BE交于点F，AD＝BD，
求证：（1）△ACD≌△BFD；
（2）BF＝2AE．
【分析】（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD＝BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD＝∠CBE，然后利用“角边角”证明△ACD≌△BFD即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得BF＝AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC＝2AE，从而得证．
【解答】（1）∵AD⊥BC，∠BAD＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD＝BD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠CBE+∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠CBE，
在△ADC和△BDF中，
，
∴△ACD≌△BFD（ASA）；
（2）证明：由（1）可知：BF＝AC，
∵AB＝BC，BE⊥AC，
∴AC＝2AE，
∴BF＝2AE．
7．（2022秋•鄞州区校级期中）在如图所示的3×3的方格中，画出3个面积分别为2、4、5的正方形（并用阴影部分表示），且所画正方形的顶点都在方格的顶点上，并写出相应正方形的边长．
【分析】利用数形结合的思想画出图形即可．
【解答】解：图形如图所示，边长分别为：，2，．
8．（2022秋•义乌市期中）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，过AB边上一点D作DE⊥BC于点E，延长ED，与CA的延长线相交于点F．
（1）求证：AF＝AD．
（2）若D是AB的中点，DE＝4，求DF的长．
【分析】（1）由等腰三角形的性质证得∠F＝∠ADF，即可得出结论；
（2）作AG⊥DF于点G，证明△ADG≌△BDE，可得出DG＝DE＝4，则DF可求出．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠F+∠C＝90°，∠B+∠BDE＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
∵∠BDE＝∠ADF，
∴∠F＝∠ADF，
∴AF＝AD．
（2）解：作AG⊥DF于点G，
∵AD＝AF，
∴DF＝2DG＝2FG，
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∵∠ADG＝∠BDE，∠AGD＝∠BED＝90°，
∴△ADG≌△BDE（AAS），
∴DG＝DE＝4，
∴DF＝8．
9．（2022秋•上城区校级期中）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD＝∠A．
（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E （用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，若∠ACD＝50°，∠B＝30°，则∠EDO＝ 50° ；∠DEC＝ 80° ；∠DCE＝ 50° ；所以△DEC 的形状是 等腰三角形 ．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用三角形的外角的性质以及三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）∵∠ACD＝∠A＝50°，
∴∠BAD＝∠A+∠ACD＝100°，
∵ED平分∠BDC，
∴∠BDE＝∠CDE＝50°，
∴∠DEC＝∠B+∠BDE＝80°，
∴∠DCE＝180°﹣∠CDE﹣∠DEC＝180°﹣50°﹣80°＝50°，
∴∠EDC＝∠DCE，
∴ED＝EC，
∴△EDC的等腰三角形．
故答案为：50°，80°，50°，等腰三角形．
10．（2022秋•北仑区期中）如图，点B，C分别在射线AM，AN上，点E，F都在∠MAN内部的射线AD上，已知AB＝AC，且∠BED＝∠CFD＝∠BAC．
（1）求证：△ABE≌△CAF；
（2）试判断EF，BE，CF之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据已知和三角形外角性质求出∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，根据ASA证两三角形全等即可；
（2）结合（1）△ABE≌△CAF，可得AE＝CF，BE＝AF，进而根据线段的和差即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，
同理：∠BAE＝∠ACF，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（ASA）；
（2）EF+CF＝BE，理由如下：
∵△ABE≌△CAF，
∴AE＝CF，BE＝AF，
∵AE+EF＝AF，
∴CF+EF＝BE．
11．（2022秋•鹿城区校级期中）如图，在8×8正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．
（1）请在图中作出△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C′；
（2）在线段A'B'上找一点P（点P在格点上），使得△ABP为等腰三角形．
【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B、C关于直线l的对称点即可；
（2）当BP＝BA＝5时可确定P点位置；当AP′＝AB＝5时，可确定点P′的位置．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C′为所作；
（2）如图，点P和点P′为所作．
12．（2022秋•新昌县校级期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝CB．AD⊥BC．垂足为D．已知AD＝3，CD＝1．
（1）求AC与AB的长．
（2）点P是线段AB上的一动点，当AP为何值时，△ADP为等腰三角形．
【分析】（1）由勾股定理直接求得AC，设AB＝x，由勾股定理列出x的方程，便可求得AB；
（2）分三种情况：AP＝AD；AP＝DP；AD＝DP．分别进行解答便可．
【解答】解：（1）由勾股定理得，AC＝，
设AB＝BC＝x，则BD＝x﹣1，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，x2﹣（x﹣1）2＝32，
解得x＝5，
∴AB＝5；
（2）当AP＝AD＝3时，，△ADP为等腰三角形；
当AP＝DP时，如图，
∴∠PAD＝∠PDA，
∵∠PAD+∠B＝90°，∠PDA+∠BDP＝90°，
∴∠PDB＝∠B，
∴PD＝PB＝PA，
∴AP＝AB＝2.5；
当AD＝DP＝3时，如图，过D作DE⊥AP于点E，
∴AE＝PE，
设AE＝PE＝x，则BE＝5﹣x，
∵AD2﹣AE2＝DE2＝BD2＝BE2，
即32﹣x2＝42﹣（5﹣x）2，
解得x＝1.8，
∴AP＝3.6．
综上，当AP＝2.5或3或3.6时，△ADP为等腰三角形．
13．（2022秋•新昌县校级期中）如图，已知△ABC，AB＝AC，点D在线段BC上，点E在线段AC上，设∠BAD＝α，∠CDE＝β．
（1）如果∠B＝60°，α＝20°；β＝10°，那么△ADE是什么特殊三角形？请说明理由；
（2）猜想α与β之间有什么关系时，使得AD＝AE，并进行证明．
【分析】（1）根据已知易得△ABC是等边三角形，从而可得∠C＝∠BAC＝60°，进而可得∠DAE＝40°，然后利用三角形的外角性质可得∠AED＝70°，从而利用三角形内角和定理求出∠ADE＝70°，最后利用等角对等边即可解答；
（2）利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，然后利用三角形的外角性质，进行计算即可解答．
【解答】（1）解：△ADE是等腰三角形，
理由：∵AB＝AC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠BAC＝60°，
∵∠BAD＝20°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝40°，
∵∠AED是△CDE的一个外角，
∴∠AED＝∠C+∠CDE＝70°，
∴∠ADE＝180°﹣∠DAE﹣∠AED＝70°，
∴∠ADE＝∠AED＝70°，
∴AD＝AE，
∴△ADE是等腰三角形；
（2）当α＝2β时，使得AD＝AE，
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，
∴∠ADE+β＝∠B+α，
∵α＝2β，
∴∠ADE＝∠B+β，
∵∠AED＝∠C+∠CDE，
∴∠AED＝∠C+β，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE．
14．（2022秋•瑞安市期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，G为CE中点，连接DG，CD＝AE．
（1）求证：DG⊥CE；
（2）已知∠AEC＝69°，求∠ECB的度数．
【分析】（1）连接DE，根据垂直定义可得∠ADB＝90°，从而利用直角三角形斜边上的中线性质可得DE＝AE，进而可得DE＝CD，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答；
（2）利用等腰三角形的性质可得∠DCE＝∠DEC，从而利用三角形的外角性质可得∠EDB＝2∠DCE，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得DE＝BE，从而可得∠B＝∠EDB＝2∠DCE，最后利用三角形的外角性质可得3∠DCE＝69°，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接DE，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵点E是AB的中点，
∴DE＝AE＝AB，
∵CD＝AE，
∴DE＝CD，
∵G为CE中点，
∴DG⊥CE；
（2）解：∵DE＝DC，
∴∠DCE＝∠DEC，
∴∠EDB＝∠DCE+∠DEC＝2∠DCE，
∵∠ADB＝90°，点E是AB的中点，
∴BE＝DE＝AB，
∴∠B＝∠EDB＝2∠DCE，
∵∠AEC＝∠B+∠DCE，∠AEC＝69°，
∴3∠DCE＝69°，
∴∠DCE＝23°，
∴∠ECB的度数为23°．
15．（2022秋•桐乡市期中）我们定义：最大边与最小边的比为5：3的三角形叫做“[5，3]型三角形”，最长边称为“弦边”．
（1）小张认为：等腰三角形不可能是“[5，3]型三角形”．你认为他的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；
（2）若△ABC是“[5，3]型三角形”，∠A＝30°，“弦边”AB＝2，则AC＝ 或+ ；
（3）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10．现将△ABC关于直线BC作轴对称，点A的对称点为点D，连结BD，作AP⊥BD，垂足为P．当△ABC是“[5，3]型三角形”时，求线段DP的长．
【分析】（1）根据[5，3]型三角形的定义判断即可；
（2）分两种情形：AC是最小的边，BC是最小的边，分别求解即可；
（3）分两种情形：AC是最小的边，BC是最小的边，分别求解即可．
【解答】解：（1）小张的说法错误．当等腰三角形的底为5．腰为3时，等腰三角形不可能是[5，3]型三角形；
（2）如图1中，当AC是最小边时，AC＝AB＝．
如图2中，当BC是最小边时，BC＝，过点B作BH⊥AC交AC于点H．
∵∠A＝30°，
∴BH＝AB＝1，
∴AH＝＝＝，CH＝＝＝，
∴AC＝AH+CH＝+．
综上所述，AC的值为或+．
故答案为：或+；
（3）如图3中，当AC＜BC时，AC＝AB＝6，则BC＝＝＝8，
由翻折变换的性质可知BA＝BD＝10，AC＝CD＝6，
∵AP⊥BD，BC⊥AD，
∴•BD•AP＝•AD•BC，
∴AP＝＝，
∴PD＝＝＝．
当BC是最小边时，同法可得PD＝，
综上所述，满足条件的PD的值为或．
16．（2022秋•海曙区期中）（1）如图，△ABC中，BA＝BC，CO⊥AB于点O，AO＝2，BO＝3．
（1）求BC，AC的长；
（2）若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连结OE．当点D在线段OB上时，若△AOE是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长．
【分析】（1）根据BA＝BC可得BC的长，分别根据勾股定理可得OC和AC的长；
（2）①分两种情况：AO＝OE和AO＝AE时，分别画图，根据三角形的中位线定理和证明三角形全等可解决问题．
【解答】解：（1）∵AO＝2，BO＝3，
∴AB＝5，
∵BA＝BC，
∴BC＝5，
∵CO⊥AB，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
由勾股定理得：CO＝＝＝4，
AC＝＝＝2；
（2）①分两种情况：
i）当AO＝OE＝4时，过O作ON⊥AC于N，如图1所示：
∴AN＝EN，
∵DE⊥AC，
∴ON∥DE，
∴ON是△ADE的中位线，
∴OD＝AO＝2；
ii）当AO＝AE＝4时，如图2所示：
在△CAO和△DAE中，
，
∴△CAO≌△DAE（ASA），
∴AD＝AC＝2，
∴OD＝AD﹣AO＝2﹣2；
综上所述，OD的长为2或2﹣2．
17．（2022秋•乐清市期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝5cm，点P是从A点出发的动点，在三角形边上沿着A﹣B﹣C运动，速度为每秒2cm，设点P的运动时间为t秒．
（1）当t＝7.5秒时，CP的长为 10cm ．
（2）是否存在t的值，使得时间为t秒时△ABP的面积与时间为（t+2）秒时△ACP的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由勾股定理求出BC＝13cm，则可求出CP的长；
（2）用t的代数式分别表示时间为t秒时△ABP的面积，与时间为（t+2）秒时△ACP的面积，由题意列出方程求出t的值即可；
【解答】解：（1）当t＝7.5秒时，点P在BC上，
∵∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝5cm，
∴BC＝＝＝13（cm），
∴CP＝AB+BC﹣2t＝12+13﹣2×7.5＝10（cm），
故答案为：10cm；
（2）存在，理由：
如图1，过点A作AD⊥CB于点D，
t秒时△ABP的面积＝BP×AD＝（2t﹣12）×AD，
∵时间为（t+2）秒时，点P不可能在AC上，
∴△ACP的面积＝PC×AD＝[12+13﹣2（t+2）]×AD＝（21﹣2t）×AD，
∴（2t﹣12）×AD＝（21﹣2t）×AD，
∴2t﹣12＝21﹣2t，
解得t＝．
∴存在t的值，使得时间为t秒时△ABP的面积与时间为（t+2）秒时△ACP的面积相等，此时t＝s．
18．（2022秋•上城区校级期中）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“奇妙三角形”．
（1）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，求证：△ABC是“奇妙三角形”；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，若△ABC是“奇妙三角形”，求BC的长．
【分析】（1）过点A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质求出BD，根据勾股定理求出AD，根据“奇妙三角形”的定义证明；
（2）分AC边上的中线BD等于AC，BC边上的中线AE等于BC两种情况，根据勾股定理计算．
【解答】（1）证明：过点A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝2，
由勾股定理得，AD＝＝4，
∴AD＝BC，
即△ABC是“奇妙三角形”；
（2）解：当AC边上的中线BD等于AC时，BC＝＝3，
当BC边上的中线AE等于BC时，
AC2＝AE2﹣CE2，即BC2﹣（BC）2＝（2）2，
解得BC＝4．
综上所述，BC的长是3或4．
19．（2022秋•拱墅区期中）已知点P（2m+4，m﹣1），试分别根据下列条件，求点P的坐标．
（1）点P在y轴上；
（2）点P在过点A（2，﹣4）且与x轴平行的直线上；
（3）点P到两坐标轴的距离相等．
【分析】（1）根据横坐标为0列方程求出m的值，再求解即可；
（2）根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等列方程求出m的值，再求解即可；
（3）根据点到两坐标轴的距离相等，横坐标与纵坐标相等或互为相反数列方程分别求出m的值，再求解即可．
【解答】解：（1）根据题意，得2m+4＝0，
解之，得m＝﹣2，
∴点P的坐标为（0，﹣3）；
（2）根据题意，得m﹣1＝﹣4，
解之，得m＝﹣3，
∴2m+4＝﹣2，m﹣1＝﹣4，
∴点P的坐标为（﹣2，﹣4）；
（3）根据题意，得2m+4＝m﹣1或2m+4+m﹣1＝0，
解之，得m＝﹣5或m＝﹣1，
∴2m+4＝﹣6，m﹣1＝﹣6或2m+4＝2，m﹣1＝﹣2，
∴点P的坐标为（﹣6，﹣6）或（2，﹣2）．
20．（2022秋•下城区校级期中）已知点P（3a﹣15，2﹣a）．
（1）若点P位于第四象限，它到x轴的距离是4，试求出a的值：
（2）若点P位于第三象限且横、纵坐标都是整数，试求点P的坐标．
【分析】（1）根据第四象限的点的纵坐标为负数以及点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值构建方程求解即可．
（2）根据不等式组解决问题即可．
【解答】解：（1）由点P（3a﹣15，2﹣a）位于第四象限，
∴，
解得a＞5，
∵点P到x轴的距离是4，
得|2﹣a|＝4，
2﹣a＝4或2﹣a＝﹣4，
解得a＝﹣2（不合题意，舍去）或6；
（2）∵点P（3a﹣15，2﹣a）位于第三象限，
∴，
解得：2＜a＜5．因为点P的横、纵坐标都是整数，所以a＝3或4，
当a＝3时，点P（﹣6，﹣1），
当a＝4时，点P（﹣3，﹣2）．
综上所述，点P的坐标为（﹣6，﹣1）或（﹣3，﹣2）．
21．（2021秋•济宁期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣2），点P是x轴上的一个动点．
（1）A1，A2分别是点A关于原点的对称点和关于y轴对称的点，直接写出点A1，A2的坐标，并在图中描出点A1，A2．
（2）求使△APO为等腰三角形的点P的坐标．
【分析】（1）利用关于原点对称和y轴对称的点的坐标特征写出点A1，A2的坐标，然后描点；
（2）先计算出OA的长，再分类讨论：当OP＝OA或AP＝AO或PO＝PA时，利用直角坐标系分别写出对应的P点坐标．
【解答】解：（1）A1（﹣2，2），A1（﹣2，﹣2），如图，
（2）设P点坐标为（t，0），
OA＝＝2，
当OP＝OA时，P点坐标为（﹣2，0）或（2，0）；
当AP＝AO时，P点坐标为（4，0），
当PO＝PA时，P点坐标为（2，0），
综上所述，P点坐标为（﹣2，0）或（2，0）或（4，0）或（2，0）．
22．（2022春•滨海新区期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，﹣3），B（﹣2，0）．
（Ⅰ）如图①，则三角形OAB的面积为 3 ；
（Ⅱ）如图②，将线段AB向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到平移后的线段A′B′．连接OA′，OB′．
①求三角形OA′B′的面积；
②P（﹣1，m）（m＞0）是一动点，若S三角形POB＝10，请直接写出点P坐标．
【分析】（Ⅰ）判断出OA，OB的长，利用三角形面积公式求解．
（Ⅱ）①利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．
②利用三角形面积公式，构建方程求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵A（0，﹣3），B（﹣2，0），
∴OA＝3，OB＝2，
∴S△AOB＝×2×3＝3，
故答案为：3．
（Ⅱ）①如图，S△A′B′O＝4×5﹣×3×4﹣×2×3﹣×5×1＝．
②由题意，×2×m＝10，
∴m＝10，
∴P（﹣1，10）．
23．（2020秋•拱墅区期中）已知当m，n都是实数．且满足2m＝8+n时，称p（m﹣1，）为“开心点”．
（1）判断点A（5，3），B（4，10）是否为“开心点”，并说明理由；
（2）若点M（a，2a﹣1）是“开心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．
【分析】（1）根据A、B点坐标，代入（m﹣1，）中，求出m和n的值，然后代入2m＝8+n检验等号是否成立即可；
（2）直接利用“开心点”的定义得出a的值进而得出答案．
【解答】解：（1）点A（5，3）为“开心点”，理由如下，
当A（5，3）时，m﹣1＝5，，得m＝6，n＝4，
则2m＝12，8+n＝12，
所以2m＝8+n，
所以A（5，3）是“开心点”；
点B（4，10）不是“开心点”，理由如下，
当B（4，10）时，m﹣1＝4，，得m＝5，n＝18，
则2m＝10，8+18＝26，
所以2m≠8+n，
所以点B（4，10）不是“开心点”；
（2）点M在第三象限，
理由如下：
∵点M（a，2a﹣1）是“开心点”，
∴m﹣1＝a，，
∴m＝a+1，n＝4a﹣4，
代入2m＝8+n有2a+2＝8+4a﹣4，
∴a＝﹣1，2a﹣1＝﹣3，
∴M（﹣1，﹣3），
故点M在第三象限．
24．（2021秋•钱塘区期末）已知直线l1，l2的函数表达式分别为y1＝x﹣1，y2＝（k+1）x﹣1﹣2k（k≠0）．
（1）若直线l2经过点（1，2），求函数y2的表达式．
（2）若直线l2经过第一、二、四象限，求k的取值范围．
（3）设直线l1与x轴交于点A，直线l2与x轴交于点B，l1与l2交于点C，当△ABC的面积等于1.5时，求k的值．
【分析】（1）根据待定系数法求解；
（2）根据数形结合法，列不等式组求解；
（3）先求A，B，C的坐标，再利用三角形的面积公式列方程求解．
【解答】解：（1）由题意得：k+1﹣1﹣2k＝2，
解得：k＝﹣2，
∴函数y2的表达式为：y2＝﹣x+3；
（2）由题意得：，
解得：k＜﹣1；
（3）当y1＝x﹣1＝0时，x＝1，
∴A（1，0），
当y2＝（k+1）x﹣1﹣2k＝0时，x＝，
∴B（，0），
解得：，
∴C（2，1），
∴|1﹣|＝1.5，
解得：k＝﹣或k＝﹣．
25．（2022春•西湖区期末）一辆汽车从甲地前往乙地，若以100km/h的平均速度行驶，则3h后到达，
（1）该车原路返回时，求平均速度v（km/h）与时间t（h）之间的函数关系式．
（2）已知该车上午8点从乙地出发，
①若需在当天11点至13点间（含11点与13点）返回甲地，求平均速度v（km/h）的取值范围．
②若该车最高限速为120km/h，能否在当天10点前返回甲地？请说明理由．
【分析】（1）根据路程、速度、时间之间的关系即可解决问题；
（2）①根据题意，结合（1）即可解决问题；
②将t＝2，代入v＝，得v＝150＞120千米/小时，超速了．进而可以解决问题．
【解答】解：（1）∵路程＝vt＝100×3＝300（km）
∴v关于t的函数表达式为：v＝；
（2）①8点至11点时间长为3小时，8点至13点时间长为5小时，
将t＝3代入v＝，得v＝100．
将t＝5代入v＝，得v＝60．
∴汽车平均速度v（km/h）的取值范围为：60≤v≤100；
②不能在当天10点前返回甲地．理由如下：
∵8点至10点时间长为2小时，
将t＝2，代入v＝，
得v＝150＞120千米/小时，超速了．
故汽车不会在当天10点前返回甲地．
26．（2021秋•龙泉市期末）某学校准备组织30名教师和若干名学生去“百山祖国家公园”开展研学活动，联系了甲、乙两家旅行社．经洽谈，两家旅行社的收费如下表所示：
设参加研学活动的学生共有x人，甲、乙两家旅行社的费用分别为y甲，y乙．
（1）分别求y甲，y乙关于x的函数表达式．
（2）问学校选择哪家旅行社付费较少？
【分析】（1）根据已知直接可得y甲，y乙关于x的函数表达式；
（2）分三种情况，列出不等式或方程，即可解得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：
y甲＝30×100+100×0.75x＝75x+3000，
y乙＝100×0.8（x+30）＝80x+2400；
（2）①当75x+3000＜80x+2400时，解得x＞120，
∴当学生数多于120人，选择甲旅行社，
②当75x+3000＝80x+2400时，解得x＝120，
∴当学生数等于120人，选择甲、乙旅行社都一样，
③当75x+3000＞80x+2400时，解得x＜120，
∴当学生数少于120人，选择乙旅行社，
综上所述，当学生数多于120人，选择甲旅行社，当学生数等于120人，选择甲、乙旅行社都一样，当学生数少于120人，选择乙旅行社．
27．（2021秋•东阳市期末）某校为“防疫知识小竞赛”准备奖品，购进A，B两种文具共40件作为奖品，设购进A种文具x件，总费用为y元．已知A、B文具的费用与x的部分对应数据如下表．
（1）将表格补充完整：a＝ 600 ；b＝ 180 ；
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）当A种文具的费用不大于B种文具的费用时，求总费用y的最小值．
【分析】（1）根据表格中的数据，可以先计算出A种文具的单价，然后再计算出B种文具的单价，再计算a和b的值即可；
（2）根据题意和（1）中两种文具的单价，可以写出y与x的函数关系式；
（3）根据题意，可以得到相应的不等式，然后求出x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到y的最小值．
【解答】解：（1）由表格可得，
A种文具每件的价格为：120÷8＝15（元），
B种文具每件的价格为：640÷（40﹣8）＝20（元），
则a＝20×（40﹣10）＝600，b＝12×15＝180，
故答案为：600，180；
（2）设购进A种文具x件，则购进B种文具（40﹣x）件，
由题意可得：y＝15x+20（40﹣x）＝﹣5x+800，
即y关于x的函数表达式是y＝﹣5x+800；
（3）∵A种文具的费用不大于B种文具的费用，
∴15x≤20（40﹣x），
解得x≤22，
∵y＝﹣5x+800，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝22时，y取得最小值，此时y＝690，
答：总费用y的最小值是690．
28．（2021秋•龙泉市期末）如图，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），P是x轴上的动点．
（1）求k的值．
（2）连结PB，当∠PBA＝90°时，求OP的长．
（3）过点P作AB的平行线，交y轴于点M，点Q在直线x＝2上．是否存在点Q，使得△PMQ是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法得出解析式解答即可；
（2）设P（m，0），根据勾股定理得出方程解答即可；
（3）设Q（2，t），分下列情况：①当△PMQ是等腰直角三角形，∠MPQ＝90°时，如图1；②当△PMQ是等腰直角三角形，∠PMQ＝90°时，如图2；③当△PMQ是等腰直角三角形，∠PQM＝90°时，如图3；④当△PMQ是等腰直角三角形，∠PQM＝90°时，如图4；分别利用全等三角形的判定和性质列出方程即可得到结论．
【解答】解：（1）将A（4，0），B（0，2）代入y＝kx+b得：
，
解得：，
∴k的值是﹣；
（2）设P（m，0），
∵A（4，0），B（0，2），
∴PA2＝（m﹣4）2，PB2＝m2+4，AB2＝20，
∵∠PBA＝90°，
∴PB2+AB2＝PA2，即m2+4+20＝（m﹣4）2，
解得m＝﹣1，
∴P（﹣1，0）；
∴OP＝1；
（3）存在，Q点坐标为：（2，）或（2，2）或（2，﹣2）．
∵过点Q作平行于y轴的直线，点Q在直线x＝2上，设直线x＝2交x轴于点E（2，0），
∴设Q（2，t），
∵A（4，0），B（0，2），
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+2，
设点P的坐标为（m，0），
∵过点P作AB的平行线，交y轴于点M，
∴直线PM的解析式为：yPM＝﹣x+m，
∴PM2＝，PQ2＝（m﹣2）2+t2，MQ2＝22+（﹣t）2，
①当△PMQ是等腰直角三角形，∠MPQ＝90°时，如图1，
则PM＝PQ，
∴m2＝（m﹣2）2+t2，
∵∠POM＝∠PEQ＝90°，
∴∠PMO+∠MPO＝90°，
∵∠QPE+∠MPO＝90°，
∴∠PMO＝∠QPE，
∴△PMO≌△QPE（AAS），
∴OP＝EQ＝t，PE＝OM＝m，
∵OP+PE＝2，
∴t+m＝2，
联立方程组得，
解得：，
∴Q（2，）；
②当△PMQ是等腰直角三角形，∠PMQ＝90°时，如图2，
则PM＝MQ，
∴m2＝22+（﹣t）2①，
过点M作MF⊥直线x＝2，垂足为F，
则MF＝2，∠MFQ＝90°＝∠MOP，
∴∠MPO+∠PMO＝90°，
∵∠PMO+∠BMQ＝∠QMF+∠BMQ＝90°，
∴∠PMO＝∠QMF，
∴△MPO≌△MQF（AAS），
∴OM＝MF＝2，QF＝OP，
∴M（0，﹣2），F（2，﹣2），
∴P（﹣4，0），
∴OP＝4，
∴QF＝4，
∴t﹣（﹣2）＝4，
∴t＝2，
∴Q（2，2）；
③当△PMQ是等腰直角三角形，∠PQM＝90°时，如图3，
则QM＝PQ，
过点Q作QH⊥y轴于点H，
则∠QHM＝∠QEP＝∠PQM＝90°，
∵QE∥y轴，
∴∠HQE＝180°﹣∠QHM＝90°，
∴∠MQH+∠MQE＝∠PQE+∠MQE＝90°，
∴∠MQH＝∠PQE，
∴△QMH≌△QPE（AAS），
∴QE＝QH＝2，
∴t＝2，
∴Q（2，2）；
④当△PMQ是等腰直角三角形，∠PQM＝90°时，如图4，
则QM＝PQ，
过点Q作QH⊥y轴于点H，
则∠QHM＝∠QEP＝∠PQM＝90°，
∴∠MQH+∠MQE＝∠MQE+∠PQE＝90°，
∴∠MQH＝∠PQE，
∴△QMH≌△QPE（AAS），
∴QE＝QH＝2，MH＝PE，
∴t＝﹣2，m+2＝m﹣2，
∴m＝8，
∴Q（2，﹣2）；
综上所述，Q点坐标为：（2，）或（2，2）或（2，﹣2）．
29．（2021秋•义乌市期末）某医药研究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（时）的变化情况如图所示，那么当成人按规定剂量服药后，根据图象回答下列问题：
（1）服药 2 小时，血液中含药量最高，达到每毫升 6 微克，接着逐步衰减．服药后5小时，血液中含药量每毫升 3 微克．
（2）如果每毫升血液中含药量为3微克及以上时治疗疾病有效．某老师要在上午8：00～11：30之间参加活动，则该老师在哪个时间段内服药，才能使药效持续有效？请你通过计算说明．
【分析】（1）由函数图象可以直接得出服药后2时，血液中含药量最高为每毫升6微克，而得出结论；求出2≤x≤8时，y与x之间的函数关系式，当x＝5时，求出y的值即可；
（2）由待定系数法求出x≤2时，y与x之间的函数关系式，当y＝3时代入解析式求出x的值就可以求出结论．
【解答】解：（1）由函数图象得，服药后2小时，血液中含药量最高为每毫升6微克．
当2≤x≤8时，y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，
由题意，得，
解得：，
∴y＝﹣x+8，
x＝5时，y＝﹣5+8＝3，
故答案为：2，6，3；
（2）当x≤2时，设y与x之间的函数关系式y＝k1x，由题意，得
6＝2k1，
解得：k1＝3，
∴y＝3x．
当y＝3时，x＝1，
∴有效时间范围是：5﹣1＝4小时．服药1小时至5小时每毫升血液中含药量为3微克及以上，
上午8：00～11：30共3.5小时，
8﹣1＝7，11.5﹣5＝6.5，
∴该老师在6：30～7：00时间段内服药，才能使药效持续有效．
30．（2021秋•义乌市期末）12月、浙江突发疫情，我市立即启动疫情应急处置模拟演练．为配合演练顺利开展，某校需要购进A、B两款体温枪共100只．已知购进A型体温枪花费1000元，B型体温枪花费1500元，A型体温枪的价格比B型高50元，B型体温枪的数量是A型的两倍．
（1）求每只A型、B型体温枪的价格；
（2）若购进B型体温枪的数量不超过A型体温枪的2倍，设购进A型体温枪x只．这100只体温枪的总费用为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②某校实际购买时，发现某店对A型体温枪进行降价处理，比原价降低a元出售（10＜a＜100），且限定一次性最多购买A型体温枪50只，当a满足什么条件时，能使该校购进这100只体温枪总费用最小．
【分析】（1）设每只A型体温枪的价格为m元，则每只B型体温枪的价格（m﹣50）元，根据B型体温枪的数量是A型的两倍列方程求解即可；
（2）①设购进A型体温枪x只，则购进B型体温枪（100﹣x）只，根据题意列不等式组求得x的取值范围，再根据总费用＝A型费用+B型费用即可求解；
②根据y关于x的函数关系式以及一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设每只A型体温枪的价格为m元，则每只B型体温枪的价格（m﹣50）元，根据题意得，
，
解得m＝200，
经检验：m＝200是原分式方程的解，且符合题意，
m﹣50＝200﹣50＝150，
答：每只A型体温枪的价格为200元，每只B型体温枪的价格150元；
（2）①设购进A型体温枪x只，则购进B型体温枪（100﹣x）只，根据题意得，
，
解得33≤x≤100，
设这100只体温枪的总费用为y元，根据题意得，
y＝200x+150（100﹣x），即y＝50x+15000，
∴y关于x的函数关系式为y＝50x+15000（33≤x≤100，且x为整数）；
②∵限定一次性最多购买A型体温枪50只，
∴33≤x≤50，且x为非负整数，
∵某店对A型体温枪进行降价处理，比原价降低a元出售（10＜a＜100），
∴y＝（200﹣a）x+150（100﹣x），即y＝（50﹣a）x+15000，
当10＜a＜50时，50﹣a＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵33≤x≤50，且x为非负整数，
∴当x＝34，a＝49时，y取最小值，即该校购进这100只体温枪总费用最小，最小费用为y＝34（50﹣a）+15000，
即y＝34+15000＝15034；
当a＝50时，y＝15000，即该校购进这100只体温枪总费用为15000元，
当50＜a＜100时，50﹣a＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵33≤x≤50，且x为非负整数，
∴当x＝50时，a＝99时，y取最小值，即该校购进这100只体温枪总费用最小，最小费用为y＝50（50﹣a）+15000，
即y＝（50﹣99）×50+15000＝12550，
∵12250＜15000＜15034，
∴当a＝99时，能使该校购进这100只体温枪总费用最小．
答：当a＝99时，能使该校购进这100只体温枪总费用最小．
甲
乙
成本
12元/只
4元/只
售价
18元/只
6元/只
旅行社
收费标准
优惠
甲
100元/人
教师全额收费，学生按七五折收费
乙
100元/人
师生一律按八折收费
x（件）
8
10
12
A种文具费用（元）
120
150
b
B种文具费用（元）
640
a
560