2024-2025学年河北省唐山市开滦一中高二（上）期中数学试卷（含答案）

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这是一份2024-2025学年河北省唐山市开滦一中高二（上）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知直线l经过点A(1,a)，B(1,b)，aA. π4B. π2C. 0D. 3π4
2.关于空间向量a，b，c，下列运算错误的是( )
A. a⋅b=b⋅aB. (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c
C. (λa)⋅b=λ(a⋅b)D. (a⋅b)c=a(b⋅c)
3.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，且过点(0, 2)，则C的方程为( )
A. x24+y22=1B. x22+y24=1C. x24+y28=1D. x2+y22=1
4.已知a=(0,1,2)，b=(−1,1,1)，c=(−1,0,m)，若a，b，c共面，则m=( )
A. 0B. 1C. 2D. −1
5.一条光线从点P(0,1)射出，与x轴相交于点Q(2,0)，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为( )
A. x−2y−1=0B. x−2y+1=0C. x−2y−2=0D. x+2y−2=0
6.已知椭圆C：x29+y24=1，过点M(−1,1)的直线l交C于A，B两点，且M是AB的中点，则直线l的斜率为( )
A. 49B. 29C. 23D. 43
7.如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD，AA1=A1B1=12AB=1，∠ABC=π3，则点B到直线A1D的距离为( )
A. 2B. 2 6C. 2 155D. 2 305
8.已知A(2,0)，B(10,0).若直线tx−4y+2=0上存在点P，使得PA⋅PB=0，则t的取值范围为( )
A. [−3,215]B. [−215,3]
C. (−∞,−215]∪[3,+∞)D. (−∞,−7]∪[95,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆C：x2k+y2=1的离心率为12，则k的值可以为( )
A. 14B. 43C. 4D. 34
10.圆O1：x2+y2−4y=0和圆O2：x2+y2−6x−4y+4=0的交点为A，B，点M在圆O1上，点N在圆O2上，则( )
A. 直线AB的方程为x=23B. 线段AB的中垂线方程为y=2
C. |AB|=2 53D. 点M与点N之间的距离的最大值为8
11.若E∉平面γ，F∈平面γ，EF⊥平面γ，则称点F为点E在平面γ内的正投影，记为F=tγ(E).如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，BC=2AD，AD⊥AB，P，N分别为AA1，CC1的中点，DQ=3QD1，AB=BC=AA1=6.记平面A1BC为α，平面ABCD为β，AH=λAA1(0<λ<1)，K1=tβ[tα(H)]，K2=tα[tβ(H)].( )
A. 若A1N=2A1Q−2A1P+μA1B，则μ=1
B. 存在点H，使得HK1//平面α
C. 线段HK1长度的最小值是6 55
D. 存在点H，使得HK1⊥HK2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线l1：−3x−y+3=0与l2：x−(2+a)y+1=0互相垂直，则a= ______．
13.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，F是CD1的中点，则AF⋅AC= ______．
14.已知圆O：x2+y2=9，椭圆C：x25+y22=1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P为椭圆C上一点，直线OP与圆O交于点M，N，若|PF1|⋅|PF2|=4，则|PM|⋅|PN|= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知在△ABC中，A(2,1)，B(2,3)，C(6,1)，记△ABC的外接圆为圆M．
(1)求圆M的标准方程；
(2)求过点A且与圆M相切的直线的方程．
16.(本小题15分)
如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，E，F，G分别为CC1，AB1，CD的中点，AA1=2AB．
(1)证明：EF//平面AGD1．
(2)求二面角G−AD1−D的余弦值．
17.(本小题15分)
在圆x2+y2=8上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，记线段PD的中点M的轨迹为C．
(1)求C的方程．
(2)直线l：y=x+m与C交于M，N两点(点M，N不重合)．
①求m的取值范围；
②若m=1，求|MN|．
18.(本小题17分)
如图，在三棱锥P−ABC中，△PAB为等边三角形，△ABC为等腰直角三角形，PA=2，AC⊥BC，平面PAB⊥平面ABC．
(1)证明：AB⊥PC．
(2)点D在线段PC上，求直线AD与平面PBC所成角的正弦值的最大值．
19.(本小题17分)
古希腊数学家阿波罗尼斯，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，其中一发现可表述为“平面内到两个定点A，B的距离之比|PA||PB|为定值λ(λ≠1)的点P的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.如平面内动点T到两个定点A(−3,0)，O(0,0)的距离之比|TA||TO|为定值2，则点T的轨迹就是阿氏圆，记为C．
(1)求C的方程；
(2)若C与x轴分别交于E，F两点，不在x轴上的点H是直线l：x=4上的动点，直线HE，HF与C的另一个交点分别为M，N，证明直线MN经过定点，并求出该定点的坐标．
参考答案
1.B
2.D
3.A
4.D
5.C
6.A
7.D
8.B
9.BD
10.ABD
11.ABC
12.1
13.6
14.6
15.解：(1)(方法一)A(2，1)，B(2,3)，则直线AB的方程为x=2，
线段AB的中点为(2,2)，则线段AB的中垂线方程为y=2，
A(2,1)，C(6,1)，
则直线AC的方程为y=1，A、C的中点为(4,1)，
线段AC的中垂线方程为x=4．
直线y=2与直线x=4的交点为(4,2)，即圆M的圆心为(4,2)．
点(4,2)与点A(2,1)的距离即圆M的半径为： (4−2)2+(2−1)2= 5，
则圆M的标准方程为(x−4)2+(y−2)2=5．
(方法二)设圆M的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，
则(2−a)2+(1−b)2=r2(2−a)2+(3−b)2=r2(6−a)2+(1−b)2=r2，a2−4a+b2−2b+5=r2a2−4a+b2−6b+13=r2a2−12a+b2−2b+37=r2，解得a=4b=2r2=5，
故圆M的标准方程为(x−4)2+(y−2)2=5
(2)圆M的圆心为M(4,2)，A(2,1)，直线AM的斜率为k1=2−14−2=12，
则切线斜率为k2=−1k1=−2，所求切线方程为y−1=−2(x−2)，
整理得2x+y−5=0．
16.解：(1)证明：设AA1=2AB=2，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0),D1(1,0,2),G(1,12,0),AD1=(1,0,2),AG=(1,12,0)，
设平面AGD1的法向量为n=(x,y,z)，
则n⊥AD1n⊥AG，则n⋅AD1=0n⋅AG=0，即x+2z=0x+12y=0，
令x=2，则n=(2,−4,−1)，
又E(1,1,1),F(0,12,1),EF=(−1,−12,0)，
因为EF⋅n=−1×2−12×(−4)+0×(−1)=0，
所以EF⊥n，
EF⊄平面ACD1，
所以EF//平面AGD1．
(2)易知AB为平面ADD1的一个法向量，且AB=(0,1,0)．
cs〈AB,n〉=AB⋅n|AB||n|=−4 2121，
易得二面角G−AD1−D为锐角，
所以二面角G−AD1−D的余弦值为4 2121．
17.解：(1)设M(x,y)，则P(x,2y)，又P在圆x2+y2=8上，
所以x2+4y2=8，所以x28+y22=1，
所以C的方程为x28+y22=1；
(2)①联立x2+4y2=8y=x+m，可得5x2+8mx+4m2−8=0，
因为直线l：y=x+m与C交于M，N两点(点M，N不重合)，
所以Δ=(8m)2−20(4m2−8)>0，解得− 10所以m的取值范围为(− 10, 10)；
②当m=1时，5x2+8x−4=0，解得x1=−2,x2=25，
故|MN|= 1+1|x1−x2|= 2×125=12 25．
18.解：(1)证明：取AB的中点O，连接OP，OC．
因为△PAB为等边三角形，所以OP⊥AB．
因为△ABC为等腰直角三角形，且AC⊥BC，所以OC⊥AB．
因为OP⊂平面POC，OC⊂平面POC，OP∩OC=O，所以AB⊥平面POC，
因为PC⊂平面POC，所以AB⊥PC．
(2)因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，OP⊂平面PAB，OP⊥AB，
所以OP⊥平面ABC．
以O为坐标原点，OC，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,−1,0),C(1,0,0),P(0,0, 3),B(0,1,0)，
所以CB=(−1,1,0),CP=(−1,0, 3)，
设CD=λCP(0≤λ≤1)，
则AD=AC+CD=(1,1,0)+λ(−1,0, 3)=(1−λ,1, 3λ)．
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，则n⊥CB，n⊥CP，
则CB⋅n=0CP⋅n=0，即−x+y=0−x+ 3z=0，
令z= 3，则x=3，y=3，所以n=(3,3, 3)．
设直线AD与平面PBC所成的角为θ，
则sinθ=|cs〈AD,n〉|=|3−3λ+3+3λ 21× (1−λ)2+1+3λ2|
=6 21× (1−λ)2+1+3λ2
=6 21× 4(λ−14)2+74≤6 21× 74=4 37，
当且仅当λ=14时，等号成立．
故直线AD与平面PBC所成角的正弦值的最大值为4 37．
19.解：(1)设T(x,y)，根据|TA||TO|=2，
得(x+3)2+y2=4(x2+y2)，即(x−1)2+y2=4，
所以C的方程为(x−1)2+y2=4；
(2)根据圆的对称性，不妨设E(−1,0)，F(3,0)，
设H(4,t)(t≠0)，则kHE=t5，kHF=t，
所以直线HE的方程为y=t5(x+1)，直线HF的方程为y=t(x−3)，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立方程y=t5(x+1),(x−1)2+y2=4,得(25+t2)x2+(2t2−50)x+t2−75=0，
所以−x1=t2−7525+t2，即x1=75−t225+t2，
则y1=20t25+t2，所以M(75−t225+t2,20t25+t2)，
联立方程y=t(x−3),(x−1)2+y2=4,得(1+t2)x2−(6t2+2)x+9t2−3=0，
所以3x2=9t2−31+t2，即x2=3t2−11+t2，
则y2=−4t1+t2，所以N(3t2−11+t2,−4t1+t2)，
当t≠± 5时，kMN=20t25+t2−−4t1+t275−t225+t2−3t2−11+t2=6t5−t2，
所以直线MN的方程为y−20t25+t2=6t5−t2(x−75−t225+t2)，
化简得y=2t5−t2(3x−7)，所以直线MN过定点(73,0)，
当t=± 5时，x1=x2=73，此时直线MN过定点(73,0)，
综上，直线MN过定点(73,0)．