2024-2025学年上海市黄浦区敬业中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市黄浦区敬业中学高三（上）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设i为虚数单位，若z=2−ii3，则z−=( )
A. 2+iB. 2−iC. 1+2iD. 1−2i
2.某校期中考试后，为分析100名高三学生的数学学习情况，整理他们的数学成绩得到如图所示的频率分布直方图.则下列结论错误的是( )
A. 估计数学成绩的众数为75
B. a=0.05
C. 估计数学成绩的75百分位数约为85
D. 估计成绩在80分及以上的学生的平均分为87.50
3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|b>0)经过点( 2,1)且离心率为 22，设直线l与椭圆C相交于A，B两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l的斜率为1，求线段AB中点M的轨迹方程；
(3)若直线l的斜率为2，在椭圆C上是否存在定点R，使得kRA+kRB=0(kRA,kRB分别为直线RA，RB的斜率)恒成立？若存在，求出所有满足条件的点R，若不存在.请说明理由．
21.(本小题18分)
设f(x)=mx+sinx(m∈R且m≠0)．
(1)若函数y=f(x)是R上的严格增函数，求实数m的取值范围；
(2)已知数列{an}是等差数列(公差d≠0)，设bn=f(an)，若存在数列{an}使得数列{bn}也是等差数列，试求满足条件的一个数列{an}；
(3)若m=1，是否存在直线y=kx+b满足：①对任意的x∈R，都有f(x)≥kx+b成立；②存在x0∈R，使得f(x0)=kx0+b？若存在，求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.D
2.B
3.A
4.D
5.{x|x≤5且x≠2}
6.[−3,4)
7.−78
8.5
9.4
10.{−2,−3,2,3}
11. 1515
12.12π
13.37
14.80
15.278
16.{x|x3}
17.解：(1)由题意，a2+b2−c2= 3ab，
由余弦定理得csC=a2+b2−c22ab= 3ab2ab= 32，故sinC=12，
又csB= 3sinC= 32，且B∈(0,π)，
所以B=π6；
(2)由(1)知B=C=π6，所以b=c，A=2π3，
因为S△ABC=12bcsinA=3 3，所以bc=12，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=36，所以a=6．
18.解：(1)在等差数列{an}中，a1=2，设公差为d，
由a2，a3+2，a8构成等比数列，可得a2a8=(a3+2)2，
即有(2+d)(2+7d)=(4+2d)2，解得d=±2(−2舍去，由于a2=0)，
则an=2+2(n−1)=2n；
(2)bn=2an+9=4n+9，
Sn=(4+16+...+4n)+9n=4(1−4n)1−4+9n=4n+1−43+9n，
由S5=13×(46−4)+45=14092024，
且{Sn}为递增数列，
所以Sn≥2024时，正整数n的最小值为6．
19.解：(1)证明：连接EC，设EB与AC相交于点O，如图，

因为BC/​/AD，且BC=12AD=AE，AB⊥AD，
所以四边形ABCE为矩形，
所以O为EB的中点，又因为G为PB的中点，
所以OG为△PBE的中位线，即OG/​/PE，
因为OG⊄平面PEF，PE⊂平面PEF，
所以OG/​/平面PEF，
因为E，F分别为线段AD，DC的中点，所以EF/​/AC，
因为AC/​/平面PEF，EF⊂平面PEF，
所以AC/​/平面PEF，
因为OG⊂平面GAC，AC⊂平面GAC，AC∩OG=O，
所以平面PEF//平面GAC．
(2)因为PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，因为AB⊥AD，
所以PA，AB，AD两两互相垂直，
以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示：

则A(0,0,0)，G(12,0,12)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，
所以GC=(12,1,−12)，PC=(1,1,−1)，PD=(0,2,−1)，
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅PD=0n⋅PC=0，所以2y−z=0x+y−z=0，
令y=1，可得z=2，x=1，
所以n=(1,1,2)，
设直线GC与平面PCD所成角为θ，
则sinθ=|n⋅GC||n||GC|=|12×1+1×1+(−12)×2| 6× (12)2+12+(−12)2=16，
所以直线GC与平面PCD所成角的正弦值为16．
20.解：(1)由题可得：2a2+1b2=1ca= 22a2=b2+c2，解得：a2=4b2=2，
所以椭圆C的标准方程为：x24+y22=1；
(2)因为直线AB的斜率为1，所以可设直线AB的方程为y=x+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立 y=x+mx24+y22=1，化简得3x2+4mx+2m2−4=0，则Δ=16m2−4×3(2m2−4)>0，解得：− 61，存在t∈Z，使得g(b1−k+2tπ)