2024-2025学年北京市平谷中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市平谷中学高二（上）期中数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.某工厂有A，B，C，D，E共五个车间，各车间人数所占比例依次为：A车间15%，B车间40%，C车间30%，D车间14%，E车间1%.现采用分层抽样的方法，从该工厂所有人中抽取300人作为样本，则该样本中得到A车间或B车间的人数共为( )
A. 195B. 165C. 120D. 45
2.已知向量a=(−1,2,4)，b=(x,−1,−2)，并且a⊥b，则实数x的值为( )
A. 10B. −10C. 12D. −12
3.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )
A. x2+(y−2)2=1B. x2+(y+2)2=1
C. (x−1)2+(y−3)2=1D. x2+(y−3)2=1
4.某校举办知识竞赛，将100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如图，则根据频率分布直方图，下列结论正确的是( )
A. 中位数估计为75B. 众数估计为70
C. 平均数估计为68.5D. 第85百分位数估计为85
5.圆(x−1)2+y2=1的圆心到直线y= 33x的距离是( )
A. 12B. 32C. 1D. 3
6.设直线l1：2x−my−1=0，l2：(m−1)x−y+1=0.则“m=2”是“l1//l2”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7.在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板ABC折起，使得二面角A−BC−D为直二面角，得图2所示四面体ABCD.小明对四面体ABCD中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①CD⊥平面ABC；②AB⊥平面ACD；③平面ABD⊥平面ACD；④平面ABD⊥平面BCD.其中判断正确的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.从甲袋中摸出1个红球的概率是13，从乙袋中摸出1个红球的概率是12，从甲、乙两袋中各摸出1个球，则23可能是( )
A. 2个球不都是红球的概率B. 2个球都是红球的概率
C. 至少有1个红球的概率D. 2个球中恰有1个红球的概率
9.已知向量a=(x,1),b=(−1,y)，则下列等式中，有且仅有一组实数x，y使其成立的是( )
A. a⋅b=0B. |a|+|b|=2C. |a|=|b|D. |a+b|=2
10.如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数f(x)=sin(πx+5π6)的部分图象，A，B分别是f(x)图象的一个最高点和最低点，M是f(x)图象与y轴的交点，BD⊥OD，现将该卡片沿x轴折成如图2所示的直二面角A−OD−B，在图2中，则下列结果不正确的是( )
A. AB= 3
B. 点D到平面ABM的距离为 1414
C. 点D到直线AB的距离为 33
D. 平面OBD与平面ABM夹角的余弦值为 147
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.直线x− 3y+a=0(a为实常数)的倾斜角的大小是______
12.经过圆x2+y2+2x−2y=0的圆心且与直线x−2y=0垂直的直线方程是______．
13.某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时的部分按1小时计算).现有甲在该商区临时停车不超过4小时，若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为14，停车付费多于14元的概率为512，则甲停车付费恰好6元的概率为______．
14.一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽为______米．
15.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为线段BD，AD1上的动点，给出下列四个结论：
①存在点M，N，使得MN⊥平面AB1C；
②当N为线段AD1的中点时，三棱锥N−MB1D1的体积为定值；
③当M为线段BD的中点时，M，N两点之间距离的最小值为 2；
④当M为靠近点B的三等分点时，平面D1AM截该正方体所得截面的周长为2 5+2 2+2．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
求下列直线方程：
(1)已知A(−3,4)，B(3,1)，C(−1,−1)，在△ABC中；
(ⅰ)求BC边所在的直线方程；
(ⅱ)求BC边上的垂直平分线所在直线的方程；
(2)已知点P(3,−1)，求过点P且与原点距离为3的直线l的方程．
17.(本小题14分)
已知△ABC的顶点C(2,−8)，直线AB的方程为y=−2x+11，AC边上的高BH所在直线的方程为x+3y+2=0．
(1)求顶点A和B的坐标；
(2)求△ABC外接圆的一般方程．
18.(本小题14分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcsA+acsB= 2ccsC，△ABC的面积为4．
(Ⅰ)求角C的大小；
(Ⅱ)若a=2，求边长c．
19.(本小题14分)
已知在测试中，客观题难度的计算公式为Pi=RiN，其中Pi为第i题的难度，Ri为答对该题的人数，N为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：
测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示(“√”表示答对，“×”表示答错)：
(1)根据题中数据，将被抽取的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数．
(2)从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率．
(3)定义统计量S=1n[(P′1−P1)2+(P′2−P2)2+…+(P′n−Pn)2]，其中P′i为第i题的实测难度，Pi为第i题的预估难度(i=1,2,…,n).规定：若S≤0.05，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理．
20.(本小题14分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC，AB=12CD=AD=1，M为棱PC的中点．
(1)证明：BM//平面PAD；
(2)若PC= 5，PD=1，
(i)求二面角P−DM−B的余弦值；
(ii)在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是2 69？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由．
21.(本小题15分)
设n为正整数，集合A={α|α=(t1,t2,…,tn)，tk∈{0,1}，k=1，2，…，n}，对于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,xn)和β=(y1,y2,…,yn)，记M(α,β)=12[(x1+y1−|x1−y1|)+(x2+y2−|x2−y2|)+…+(xn+yn−|xn−yn|)]．
(Ⅰ)当n=3时，若α=(1,1,0)，β=(0,1,1)，求M(α,α)和M(α,β)的值；
(Ⅱ)当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，M(α,β)是奇数；当α，β不同时，M(α,β)是偶数．求集合B中元素个数的最大值；
(Ⅲ)给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α，β，M(α,β)=0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．
参考答案
1.B
2.B
3.A
4.C
5.A
6.C
7.C
8.C
9.B
10.C
11.30°
12.2x+y+1=0
13.13
14.16
15.①②
16.(1)(i)根据题意，可得kBC=−1−1−1−3=12，
则BC边所在的直线方程为y−1=12(x−3)，即x−2y−1=0；
(ii)线段BC的中点坐标为(3−12,1−12)，即(1,0)，
由(i)知kBC=−1−1−1−3=12，垂直平分线的斜率为−2，
所以BC边的垂直平分线所在直线的方程为y=−2(x−1)，即2x+y−2=0．
(2)①当直线l的斜率不存在时，此时l：x=3，符合题意；
②若直线l的斜率存在，设l：y+1=k(x−3)，即kx−y−3k−1=0，
由|−3k−1| k2+1=3，解得k=43，此时l方程为y+1=43(x−3)，即4x−3y−15=0．
综上所述，直线l的方程为x=3或4x−3y−15=0．
17.解：(1)由y=−2x+11x+3y+2=0，解得x=7y=−3，可得顶点B(7,−3)，
又因为AC⊥BH，kBH=−13，
所以设AC的方程为y=3x+b，
将C(2,−8)代入得b=−14，
由y=−2x+11y=3x−14，解得x=5y=1，可得顶点A(5,1)，
∴顶点A和B的坐标分别为(5,1)和(7,−3)．
(2)设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2−4F>0，
将A(5,1)、B(7,−3)和C(2,−8)三点的坐标分别代入得：
5D+E+F+26=07D−3E+F+58=02D−8E+F+68=0，解得D=−4E=6F=−12,
所以△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2−4x+6y−12=0．
18.解：(Ⅰ)由正弦定理及bcsA+acsB= 2ccsC，得sinBcsA+sinAcsB= 2sinCcsC，
所以sin(A+B)=sinC= 2sinCcsC，
因为0