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2024-2025学年北京交大附中高一（上）期中数学试卷（含答案）
展开这是一份2024-2025学年北京交大附中高一（上）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.(北京卷理1)集合P={x∈Z|0≤x<3}，M={x∈Z|x2<9}，则P∩M=( )
A. {1,2}B. {0,1,2}C. {x|0≤x<3}D. {x|0≤x≤3}
2.下列函数中，是偶函数且不存在零点的是( )
A. y=x2B. y= xC. y=x4(x>0)D. y=|x|+1
3.定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有f(x2)−f(x1)x2−x1<0，则( )
A. f(3)
A. (−∞,1]B. [1,+∞)C. (−∞,1)D. (1,+∞)
5.关于函数f(x)=3x+2x−1，下列说法不正确的是( )
A. (x)有且仅有一个零点
B. f(x)在(−∞,1)，(1,+∞)上单调递减
C. f(x)的定义域为{x|x≠1}
D. f(x)的图象关于点(1,0)对称
6.若关于x的不等式ax−b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式ax+bx−2>0的解集为( )
A. {x|x<−2，或x>1}B. {x|1
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0]上是增函数，若不等式f(a)≥f(x)对任意x∈[1,2]恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,1]B. [−1,1]C. (−∞,2]D. [−2,2]
10.函数f(x)=x,x∈P−x,x∈M，其中P，M为实数集R的两个非空子集.又规定f(P)={y|y=f(x),x∈P)，f(M)={y|y=f(x),x∈M}.下列四个判断其中正确的是( )
①若P∩M=⌀，则f(P)∩f(M)=⌀；
②若P∩M≠⌀，则f(P)∩f(M)≠⌀；
③若P∪M=R，则f(P)∪f(M)=R；
④若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠R．
A. ①③B. ②③C. ②④D. ①④
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知集合A={1,2}，B={a,a2+3}.若A∩B={1}，则实数a的值为______．
12.函数f(x)= x−3|x+1|−5的定义域为______．
13.设x1，x2是方程3x2−2x−4=0的两根，不解方程，求下列各式的值：
(1)x2x1+x1x2= ______；
(2)x13+x23= ______．
14.设函数f(x)=−ax+1,x
①若A具有性质P，则A可以是有限集；
②若A具有性质P，且A≠R，则∁RA具有性质P；
③若A1、A2具有性质P，且A1∩A2≠⌀，则A1∩A2具有性质P；
④若A1、A2具有性质P，则A1∪A2具有性质P．
其中所有真命题的序号是______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知全集U=R，集合A={x|x2−4x+3≤0}，B={x|x−3|<1}，C={x|2a≤x≤a+2,a∈R}．
(Ⅰ)集合A=_____；B=_____；A∩B=_____；A∪(∁UB)=_____；
(Ⅱ)若B∪C=B，求a的取值范围；
(Ⅲ)若A∩C≠⌀，求a的取值范围．
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax+bx2+1，f(x)为R上的奇函数且f(1)=12．
(1)求a，b；
(2)判断f(x)在[1,+∞)上的单调性并证明；
(3)当x∈[−4,−1]时，求f(x)的最大值和最小值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)=x2+2x．
(Ⅰ)求出当x>0时，f(x)的解析式；
(Ⅱ)如图，请补出函数f(x)的完整图象，根据图象直接写出函数f(x)的单调递减区间；
(Ⅲ)结合函数图象，讨论函数f(x)在[−3,a]上的值域．
19.(本小题12分)
近年来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内(以30天计)，每件的销售价格P(单位：元)与时间x(单位：天)的函数关系近似满足P(x)=10+kx(k为常数，且k>0，1≤x≤30，x∈N+)，日销售量Q(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如表所示：
已知第10天的日销售收入为505元．
给出以下三个函数模型：
①Q(x)=ax+b；②Q(x)=a|x−m|+b；③Q(x)=a−bx．
(Ⅰ)请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
(Ⅱ)设该工艺品的日销售收入为f(x)(单位：元)，求f(x)的解析式．
(Ⅲ)该工艺品的日销售收入哪天最低？最低收入是多少？
20.(本小题12分)
对于正整数集合A={a1,a2,…,an}(n∈N∗，n≥3)，如果去掉其中任意一个元素ai(i=1,2,…,n)之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A具有可分性．
(Ⅰ)分别判断集合{1,2,3,4}，{1,2,3,4,5}是否具有可分性，并说明理由；
(Ⅱ)判断是否存在五个元素的集合具有可分性，并说明理由．
(Ⅲ)若集合A具有可分性，求集合A中元素个数的最小值．
参考答案
1.B
2.D
3.A
4.D
5.D
6.C
7.C
8.D
9.B
10.C
11.1
12.[3,4)∪(4,+∞)
13.−73 8027
14.0 ；(答案不唯一，[0,1]内的任意值都行)；1
15.①③
16.解：(Ⅰ)集合A={x|x2−4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，B={x||x−3|<1}={x|2
(Ⅱ)∵B∪C=B，∴C⊆B，
①当C=⌀时，2a>a+2，∴a>2，
②当C≠⌀时，则2a≤a+22a>2a+2<4，
解得1
(Ⅲ)若A∩C=⌀，
①当C=⌀时，2a>a+2，∴a>2，
②当C≠⌀时，2a≤a+2a+2<1或2a≤a+22a>3，
∴a<−1或32
故A∩C≠⌀，则a的取值范围[−1,32].
17.解：(1)根据题意，函数f(x)=ax+bx2+1，f(x)为R上的奇函数，
则f(−x)=−f(x)，即−ax+bx2+1=−ax+bx2+1，变形可得b=0，
又由f(1)=a2=12，则a=1；
(2)由(1)的结论，f(x)=xx2+1，在区间[1,+∞)上单调递减，
证明如下：设1≤x1
又由1≤x1
则f(x1)−f(x2)>0，
故f(x)在[1,+∞)上单调单调递减．
(3)根据题意，由(2)的结论以及函数是奇函数，可知f(x)=xx2+1在[−4,−1]上递减，
则f(x)在[−4,−1]上的最大值为f(−4)=−417，最小值为f(−1)=−12．
18.解：(Ⅰ)依题意，设x>0，则−x<0，
于是f(−x)=(−x)2−2x=x2−2x，
因为f(x)为R上的奇函数，因此f(x)=−f(−x)=−x2+2x，
所以当x>0时，f(x)的解析式f(x)=−x2+2x；
(Ⅱ)由已知及(1)得函数f(x)的图象如下：
观察图象，得函数f(x)的单调递减区间为：(−∞,−1]，[1,+∞)；
(Ⅲ)由(1)可知，f(x)=x2+2x,x≤0−x2+2x,x>0，
显然当x=−1时，f(x)=−1，
当x>0时，令f(x)=−1得，−x2+2x=−1，
解得x=1+ 2或1− 2(舍去)，
当−3
所以f(x)的值域为[a2+2a,3]；
当−1≤a≤1+ 2时，
f(x)max=f(−3)=3，f(x)min=−1，
所以f(x)的值域为[−1,3]；
当a≥1+ 2时，
f(x)max=f(−3)=3，f(x)min=f(a)=−a2+2a，
所以f(x)的值域为[−a2+2a,3]，
综上所述，当−3
19.解：(Ⅰ)由表格中的数据知，当时间x变长时，Q(x)先增后减，①③函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型，
所以选择函数模型②：Q(x)=a|x−m|+b，
由Q(15)=Q(25)，
可得|15−m|=|25−m|，解得m=20，
因为Q(15)=5a+b=55Q(20)=b=60，解得a=−1,b=60,，
则日销售量Q(x)与时间x的关系式为Q(x)=−|x−20|+60(1≤x≤30,x∈N∗)；
(Ⅱ)因为第10天的日销售收入为505元，
则(1+k10)×50=505，解得k=1，所以P(x)=1x+10，
由(1)知Q(x)=−|x−20|+60=x+40,1≤x≤20−x+80,20
=10x+40x+401,1≤x≤20,−10x+80x+799,20
当且仅当10x=40x，即x=2时，等号成立；
当20
综上可得，当x=2时，函数f(x)取得最小值441，
所以该工艺品的日销售收入第2天最低，最低收入是441．
20.解：(1)对于集合{1,2,3,4}，去掉1时，剩下三个元素之和为9，不是偶数，矛盾，故集合{1,2,3,4}不具有可分性，
对于集合{1,2,3,4,5}，去掉2时，剩下四个元素之和为13，不是偶数，矛盾，故集合{1,2,3,4,5}不具有可分性；
(2)不存在，理由如下：
假设存在满足要求的五元集A={a1,a2,a3,a4,a5}，其中a1
若a2+a3+a4=a5，则去掉a2时，a1+a3+a4
故假设不成立，即不存在五元集合具有可分性；
(3)先证明若集合A具有可分性，则集合A的元素个数n为奇数，
否则n为偶数，记i=1nai=M，则M−ai为偶数，所以i=1n(M−ai)=(n−1)M为偶数，所以M为偶数，ai为偶数，
所以M−ai2是一系列偶数的和，也为偶数，所以则M−ai为4的倍数，所以i=1n(M−ai)=(n−1)M为4的倍数，所以M为4的倍数，ai为4的倍数，
所以M−ai2是一系列4的倍数的和，也为4的倍数，所以则M−ai为8的倍数，所以i=1n(M−ai)=(n−1)M为8的倍数，所以M为8的倍数，ai为8的倍数，
………，
依次类推下去，可得ai为2k(k∈N∗)的倍数，显然矛盾，故假设不成立，n为奇数，证毕．
又容易检验n=3时，集合A不可分，由(2)知n=5时，集合A也不可分，所以n≥7，
当n=7时，取A={1,3,5,7,9,11,13}，
划去1时，3+5+7+9=11+13；
划去3时，1+9+13=5+7+11；
划去5时，9+13=1+3+7+11；
划去7时，3+5+13=1+9+11；
划去9时，7+13=1+3+5+11；
划去11时，3+7+9=1+5+13；
划去13时，7+11=1+3+5+9，
即A具有可分性，
综上可知，集合A中元素个数的最小值为7． x
10
15
20
25
30
2(x)
50
55
60
55
50
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