2024-2025学年北京五十中高三（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年北京五十中高三（上）期中数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在复平面内，复数z满足iz=3−4i，则z的虚部为( )
A. 3iB. −3iC. 3D. −3
2.已知集合A={x|x−2≤0}，B={x|x2+2x−30)，f(x1)=−3，f(x2)=3，且|x1−x2|的最小值为2π，则ω的值为( )
A. 12B. 1C. 2D. 3
4.已知向量a=(1,1),b=(x,−1)，则“x=−1”是“(a+b)⊥b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件
5.在△ABC中，(a+c)(sinA−sinC)=b(sinA−sinB)，则∠C=( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
6.记Sn为数列{an}的前n项和.若an=n(8−n)(n=1,2,⋯)，则( )
A. {an}有最大项，{Sn}有最大项B. {an}有最大项，{Sn}有最小项
C. {an}有最小项，{Sn}有最大项D. {an}有最小项，{Sn}有最小项
7.在等腰梯形ABCD中，AB=−2CD，M为BC的中点，则AM=( )
A. 12AB+12ADB. 34AB+12ADC. 34AB+14ADD. 12AB+34AD
8.已知函数f(x)=aex−x在区间(1,2)上单调递增，则实数a的最小值为( )
A. e2B. eC. e−1D. e−2
9.点M，N分别是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中棱BD，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动．若PA1//面AMN，则PA1的长度范围是( )
A. [2, 5]
B. [3 22, 5]
C. [3 22,3]
D. [2,3]
10.已知函数f(x)=x2−x,x≤0x−alnx,x>0，若∀x1≤0，∃x2>0，使f(x2)=f(x1)成立，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,0)∪[e，+∞)B. [e,+∞)
C. (0,e]D. [0,e]
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.二项式( x−2x)6的展开式中常数项为 .(用数字作答)
12.函数f(x)=1x+ 1−x的定义域是______．
13.已知命题p：∃x∈R，ax2+2ax+1≤0，若命题p为假命题，则实数a的取值范围是______．
14.已知等边△ABC的边长为4，E，F分别是AB，AC的中点，则EF⋅EA= ______；若M，N是线段BC上的动点，且|MN|=1，则EM⋅EN的最小值为______．
15.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．给出下列四个结论：
①D1O⊥AC；
②存在一点P，D1O//B1P；
③若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为 5；
④若P到直线D1C1的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
在△ABC中，a=1，b=2．
(1)若c=2 2，求△ABC的面积：
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在，求∠A．
条件①：∠B=2∠A；条件②：∠B=π3+∠A；条件③：∠C=2∠A．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD= 5．
(1)求证：PD⊥AB；
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM//平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．
18.(本小题12分)
人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论.为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库A，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字(或标点)的搭配情况，数据如下：
假设用频率估计概率．
(1)求a的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；
(2)在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数为X，求X的分布列和期望；
(3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库B进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？(结论不要求证明)
19.(本小题12分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(−2,1)和Q(2 2,0)．
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)过点G(0,2)作直线l交椭圆E于不同的两点A，B，直线PA交y轴于点M，直线PB交y轴于点N.若|GM|⋅|GN|=2，求直线l的方程．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=xeax(a>0)．
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(Ⅱ)求f(x)在区间[−1,1]上的最大值与最小值；
(Ⅲ)当a=1时，求证：f(x)≥lnx+x+1．
21.(本小题12分)
对于数列A：a1，a2，a3，定义“T变换”：T将数列A变换成数列B：b1，b2，b3，其中bi=|ai−ai+1|(i=1,2)，且b3=|a3−a1|，记作B=T(A).继续对数列B进行“T变换”，得到数列C：c1，c2，c3，依此类推.当且仅当得到的数列各项均为0时变换结束．
(Ⅰ)直接写出A：2，6，4经过1次“T变换”得到的数列B，及B再经过3次“T变换”得到的数列E；
(Ⅱ)若A经过n次“T变换”后变换结束，求n的最大值；
(Ⅲ)设A：a1，a2，a3(ai∈N,i=1,2,3)，B=T(A).已知B：2，a，b，且B的各项之和为2022，若B再经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值．
参考答案
1.D
2.C
3.A
4.A
5.B
6.A
7.B
8.C
9.B
10.A
11.60
12.(−∞,0)∪(0,1]
13.[0,1)
14.2 114
15.①③
16.解：(1)在△ABC中，a=1，b=2，c=2 2，
由余弦定理，可得csC=a2+b2−c22ab=1+4−82×2×1=−34，
又C∈(0,π)，可得sinC= 1−916= 74，
故S△ABC=12ab⋅sinC=12×1×2× 74= 74；
(2)若选条件①：由题意有B=2A，a=1，b=2，
则由正弦定理，可得sinBsinA=ba，即sin2AsinA=2csA=2，
即csA=1，又A∈(0,π)，csA≠1，故△ABC不存在；
若选条件②：由题意有B=π3+A，a=1，b=2，
则由正弦定理，可得sinBsinA=ba，即sin(π3+A)sinA=2，
即32sinA− 32csA=0，即 3sin(A−π6)=0，
所以sin(A−π6)=0，又A∈(0,π)，所以A−π6∈(−π6,5π6)，
故A−π6=0，即A=π6；
若选条件③：由题意有C=2A，a=1，b=2，
则由正弦定理，可得sinCsinA=ca，即sin2AsinA=2csA=ca，
由余弦定理，可得b2+c2−a22bc=c2a，
即4+c2−1=2c2，解得c= 3，
故csA=c2a= 32，又A∈(0,π)，所以A=π6；
综上，只能选择条件②或③，解得A=π6．
17.(1)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD，
又PD⊂平面PAD，所以PD⊥AB．
(2)解：取AD的中点O，连结PO，CO，
因为PA=PD，AC=CD，所以PO⊥AD，CO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，
因为CO⊂平面ABCD，所以PO⊥CO，
故以O为坐标原点，OC，OA，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,1,0)，B(1,1,0)，D(0,−1,0)，P(0,0,1)，
在Rt△AOC中，OA=12AD=1，AC= 5，所以OC= AC2−OA2=2，所以C(2,0,0)，
所以PD=(0,−1,−1)，PC=(2,0,−1)，PB=(1,1,−1)，
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅PD=0,n⋅PC=0,即−y−z=0,2x−z=0,
令z=2，则x=1，y=−2，所以n=(1,−2,2)，
设直线PB与平面PCD所成角为θ，
则sinθ=|cs|=|PB⋅n||PB|⋅|n|=|1−2−2| 3×3= 33，
所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 33．
(3)解：设存在点M满足题意，且AM=λAP=λ(0,−1,1)，λ∈[0,1]，
则BM=BA+AM=(−1,0,0)+λ(0,−1,1)=(−1,−λ,λ)，
由(2)知平面PCD的法向量为n=(1,−2,2)，
若BM/​/平面PCD，则BM⋅n=0，即−1+2λ+2λ=0，解得λ=14，
所以在棱PA上存在点M使得BM/​/平面PCD，此时AMAP=14．
18.解：(1)由题意可得a=30−6−4−2−2=16；
故甲类题材中“一”出现的概率为301200=140；
(2)由题意在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，搭配“一个”出现的概率为P=630=15，
则X～B(2,15)，则P(X=0)=C20(15)0(1−15)2=1625，P(X=1)=C21(15)1(1−15)1=825，
P(X=2)=C22(15)2(1−15)0=125，
故X的分布列为：
则E(X)=2×15=25．
(3)由题意知样本语料库B中“一格”出现的概率为2800=1400，
甲类题材中“一个”出现的概率为61200=1200，
由于1200>1400，故输入拼音“yige”时，“一个”在前面更合适．
19.解：(I)由题意可得：a=2 2，4a2+1b2=1，a2=b2+c2，
联立解得a=2 2，b= 2，c= 6，
∴椭圆E的方程为x28+y22=1．
(Ⅱ)直线l的斜率不存在时，A(0, 2)，B(0,− 2)，即M(0, 2)，N(0,− 2)，满足|GM|⋅|GN|=2，此时直线l的方程为x=0．
直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=kx+2x28+y22=1，化为：(1+4k2)x2+16kx+8=0，
Δ=162k2−32(1+4k2)>0，化为k12．
∴x1+x2=−16k1+4k2，x1x2=81+4k2，
直线PA的方程为：y−1=y1−1x1+2(x+2)，
令x=0，可得yM=2y1+x1x1+2．
直线PB的方程为：y−1=y2−1x2+2(x+2)，
令x=0，可得yN=2y2+x2x2+2．
∵|GM|⋅|GN|=2，
∴|2−2y1+x1x1+2||2−2y2+x2x2+2|=2，所以(2k−1)2|x1|x1+2·x2x2+2|=2，
即(2k−1)2|x1x2x1x2+2(x1+x2)+4|=2，即(2k−1)2|84k2+184k2+1+−32k4k2+1+4|=2
即|(2k−1)24k2−8k+3|=1，因为k>12，所以得|2k−12k−3|=1，即k=1，
经检验符合题意，此时直线l为y=x+2
综上所述，直线l的方程为y=x+2或x=0．
20.解：(Ⅰ)f′(x)=(1+ax)eax，f′(0)=1，f(0)=0，
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x；
(Ⅱ)f′(x)=(1+ax)eax，a>0
当01时，f′(x)=0，得x=−1a∈(−1,0)，
f′(x)在区间[−1,−1a)小于0，函数f(x)单调递减，
f′(x)在区间[−1a,1]大于0，函数f(x)单调递增，
所以函数f(x)的最小值为f(−1a)=−1ae，
f(−1)=−e−a，f(1)=ea，显然f(1)>f(−1)，所以函数f(x)的最大值为f(1)=ea，
综上可知，当01时，函数f(x)的最小值为f(−1a)=−1ae，最大值为f(1)=ea；
证明：(Ⅲ)当a=1时，f(x)=xex，即证明不等式xex≥lnx+x+1，
设g(x)=xex−lnx−x−1,x>0,g′(x)=(x+1)(ex−1x)，
设ℎ(x)=ex−1x,x>0,ℎ′(x)=ex+1x2>0，
所以ℎ(x)在(0,+∞)单调递增，并且ℎ(12)= e−20，
所以函数ℎ(x)在(12,1)上存在唯一零点x0，使ℎ(x0)=ex0−1x0=0，
即g′(x0)=0，则在区间(0,x0)，g′(x)0，g(x)单调递增，
所以g(x)的最小值为g(x0)=x0ex0−lnx0−x0−1，
由ℎ(x0)=ex0−1x0=0，得x0ex0=1，且x0=−lnx0，
所以g(x0)=0，
所以g(x)=xex−lnx−x−1≥0，即f(x)≥lnx+x+1．
21.解：(I)B=T(A)，A：2，6，4经过1次“T变换”得B：4，2，2，
B：4，2，2，经过1次“T变换”得2，0，2；B经过第2次“T变换”得2，2，0；B经过第3次“T变换”得0，2，2.即E：0，2，2．
(II)n的最大值为1，
①先证明n可以为1，
构造A：1，1，1，则T(A)：0，0，0，变换结束，此时n=1．
②再证明n≤1，
反证法：假设n≥2，
设经过n−1次“T变换”后得到的数列为x，y，z，且x，y，z不全为0．
因为A经过n次“T变换”后变换结束，
所以|x−y|=|y−z|=|z−x|=0，所以x=y=z=t( t为非0常数)
设x，y，z(即t，t，t )由x1，y1，z1进行“T变换”得到，
则|x1−y1|=|y1−z1|=|z1−x1|=t≠0
不妨设x1≥y1≥z1
所以x1−y1=y1−z1=x1−z1=t≠0
所以x1−z1=(x1−y1)+(y1−z1)=t+t=2t，与x1−z1=t矛盾．
综上，n的最大值为1，
(III)因为B的各项之和为2+a+b=2022，不妨设a≤b，所以b为B的最大项
即|a1−a3|最大，即a1≥a2≥a3，或a1≤a2≤a3，
当a1≥a2≥a3时，可得2=a1−a2a=a2−a3b=a1−a3，
所以2+a=b，则a=1009，b=1011，
当a1≤a2≤a3时，可得2=a2−a1a=a3−a2b=a3−a1，
所以2+a−b，则a=1009，b=1011
定义：若一个数列有三项，且最小项为2，较大两项相差2，则称此数列与数列B“结构相同“．
若数列B的三项为x+2，x，2(x≥2)，则无论其顺序如何，经过“T变换“得到的数列的三项为x，x−2，2 (不考虑顺序)
所以与数列B“结构相同”的数列经过“T变换“得到的数列也与B“结构相同”，除2以外其余各项减少2，各项之和减少4．
因此，数列B：2，1009，1011经过504次“T变换”一定得到各项为2，1，3，(不考虑顺序)的数列．
对2，1，3，继续进行“T变换”，依次得1，2，1；1，1，0；0，1，1；
各项为1，1，0的数列，无论顺序如何，经过“T变换”得到的数列会重复出现，各项之和不再减少．
所以，至少通过506次“T变换”得到的数列各项之和最小．
故k的最小值为506． “一”与其后面一个字(或标点)的搭配情况
频数
“一个”
6
“一些”
4
“一穷”
2
“一条”
2
其他
a
X
0
1
2
P
1625
825
125