2024-2025学年江苏省宿迁市高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省宿迁市高二（上）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线x− 3y+1=0的倾斜角为( )
A. 2π3B. 5π6C. π3D. π6
2.圆x2+y2+10x+10y=0与圆(x−3)2+(y−3)2=18的位置关系为( )
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切
3.已知点A(2,3)与点B(−1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为( )
A. 3x−y+2=0B. x+3y+2=0C. x+3y−2=0D. 3x−y−2=0
4.设a为实数，若直线ax−4y+3=0与x−2y+1=0平行，则它们之间的距离为( )
A. 510B. 55C. 2 55D. 3 510
5.已知椭圆的两个焦点分别为(0,3)，(0,−3)，点(74,−3)在该椭圆上，则该椭圆的离心率为( )
A. 12B. 23C. 34D. 45
6.以双曲线x216−y29=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是( )
A. x216+y29=1B. x225+y29=1C. x225+y216=1D. x216+y225=1
7.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦AB，其中点A在第一象限，若AF=4BF，则直线AB的斜率为( )
A. 2B. 2 33C. 23D. 43
8.已知椭圆x24+y23=1的上顶点为A，过椭圆左焦点F且斜率为 33的直线交椭圆于B，C两点，则△ABC的周长为( )
A. 10B. 8C. 6 3D. 4+2 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设m为实数，直线l：x+my−2m−1=0，点M(2,3)，N(4,−5)，则下列说法正确的有( )
A. 直线l过定点(1,2)
B. 若点M，N到直线l的距离相等，则m=23
C. 直线l与x轴一定相交
D. 若直线l不过第二象限，则−12≤m<0
10.设m为实数，方程x2+y2+4mx−2y+4m2−m=0表示圆，则下列说法正确的有( )
A. m>−1
B. 若m=±12，则圆和两坐标轴均相切
C. 若圆关于直线2x−y+5=0对称，则m=1
D. 无论m取任何实数，总存在一条定直线与圆相交
11.在平面直角坐标系xOy中，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，直线AO，BO分别交抛物线准线于C，D两点，则下列说法正确的有( )
A. BC//x轴B. CF⊥DF
C. 以AB为直径的圆与抛物线准线恒相交D. △OAB面积的最小值为12p2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设a为实数，直线l1：ax+3y−2=0，l2：x+(a−2)y+2=0，若l1⊥l2，则a的值为______．
13.圆x2+y2=r2上有且只有2个点到直线x− 3y+2=0的距离等于1，则半径r的取值范围为______．
14.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射关线的反向延长线经过双曲线的左焦点.设a>0，若双曲线E：x2a2−y28=1的左，右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C，D，cs∠BAC=−35，AB⊥BD，则a的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC的顶点B(3,1)，直线AC的方程为x−y+1=0，BC边上的中线AM所在的直线方程为2x−3y+1=0．
(1)求顶点A，C的坐标；
(2)求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
设a为实数，圆M的方程为x2+y2+2x−6y+a=0．
(1)若圆x2+y2=9和圆M的公共弦长为 26，求a的值；
(2)若过点(4,−1)的圆N与圆M相切，切点为(1,2)，求圆N的标准方程．
17.(本小题15分)
已知动点P(x,y)到点F(1,0)的距离比到直线x+3=0的距离小2，过P作圆A：x2+(y−4)2=1的一条切线，Q为切点，过P作直线l：x+1=0的垂线，垂足为B．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)当P、A、B三点共线时，求线段PQ的长；
(3)判断满足|PA|=|PB|的点P有几个，并说明理由．
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为E，实轴长为4，过双曲线C的左焦点F作直线l，当直线l与x轴垂直时，直线l与双曲线C的两个交点分别为M，N，此时△MNE为等腰直角三角形．
(1)求双曲线C的方程；
(2)当直线l与双曲线C的渐近线平行时，求直线l与双曲线C的交点坐标；
(3)当直线l与双曲线C的左支交于A，B两点时，直线AE，BE分别交直线x+1=0于P，Q两点，在x轴上是否存在定点D，使得点D始终在以线段PQ为直径的圆上？若存在，求出D点坐标，否则，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点D(1, 32)，离心率为 32，左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为B．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点D的直线m与椭圆C的另外一个交点为E，当△BDE的面积最大时，求直线m的方程；
(3)若点M、N是直线l上不同的两点，则向量MN以及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量，当直线l′⊥l时，直线l′的方向向量称为直线l的法向量.设k、ℎ为实数，直线l：y=kx+ℎ的一个法向量为t，H为直线l上任一点，点T为坐标平面内的定点，我们把t⋅HT|t|称为点T在直线l上的投影数量.当l与椭圆C相切时，点F1、F2在直线l上的投影数量的乘积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由．
参考答案
1.D
2.B
3.A
4.A
5.C
6.B
7.D
8.B
9.AC
10.ACD
11.ABD
12.32
13.(0,2)
14.3
15.解：(1)由已知AC：x−y+1=0，AM：2x−3y+1=0，
则x−y+1=02x−3y+1=0，解得x=−2y=−1，即A(−2,−1)，
设C(a,b)，则BC中点M(a+32,b+12)，
又点C在直线AC上，点M在直线AM上，
即a−b+1=02⋅a+32−3⋅b+12+1=0，解得a=2b=3，即C(2,3)；
综上所述：A(−2,−1)，C(2,3)；
(2)由(1)得AC= (2+2)2+(3+1)2=4 2，
直线AC的方程为x−y+1=0，
B到直线AC的距离d=|3−1+1| 12+(−1)2=3 22，
则S△ABC=12|AC|⋅d=12×4 2×3 22=6．
16.解：(1)圆M的方程为x2+y2+2x−6y+a=0，圆O：x2+y2=9；
两圆方程相减可得，2x−6y+a+9=0，即两圆公共弦所在直线方程2x−6y+a+9=0，
圆x2+y2=9和圆M的公共弦长为 26，圆心O到直线2x−6y+a+9=0的距离为d=|a+9| 22+62=|a+9|2 10，
所以9=( 262)2+(|a+9|2 10)2，解得a=1或−19，
所以实数a的值为1或−19．

(2)过点(4,−1)的圆N与圆M相切，切点为(1,2)，
可将点A(1,2)代入圆M：x2+y2+2x−6y+a=0，可得a=5，
所以圆M的方程为x2+y2+2x−6y+5=0，即(x+1)2+(y−3)2=5，
所以圆M的圆心为(−1,3)，半径为 5，
设圆N的标准方程为(x−m)2+(y−n)2=r2，
因为圆N与圆M相切于点A，所以A、M、N三点共线，
所以直线AM的方程为y−2=2−31+1(x−1)，即x+2y−5=0，
将点N(m,n)代入得m=5−2n①，又点B(4,−1)在圆N上，
则|BN|=|AN|=r，即 (m−4)2+(n+1)2= (m−1)2+(n−2)2②，
由①②两式解得，m=3，n=1，r= 5，
所以圆N的标准方程为(x−3)2+(y−1)2=5．
17.解：(1)由题意可知，动点P(x,y)到点F(1,0)的距离比到直线x+3=0的距离小2，可知，点P到点F(1,0)的距离等于点P到直线x=−1的距离，
点P的轨迹是以点F为焦点，直线x=−1为准线的方程，
设其方程为y2=2px，则p2=1，可得p=2，点P的轨迹方程为y2=4x．
(2)由过P作圆A：x2+(y−4)2=1的一条切线，Q为切点，过P作直线l：x+1=0的垂线，垂足为B.如图，当P、A、B三点共线时，点A(0,4)，直线PB的方程为y=4，
联立y2=4xy=4，解得x=y=4，此时，点P(4,4)，
则|PA|= (4−0)2+(4−4)2=4，
∵AQ⊥PQ，由勾股定理可得|PQ|= |PA|2−|AQ|2= 42−12= 15．

(3)∵|PA|=|PB|=|PF|，由题意可得 x2+(y−4)2= (x−1)2+y2，
化简可得2x−8y+15=0，
联立2x−8y+15=0y2=4x，可得y2−16y+30=0，Δ=162−4×30>0，
故满足条件的点P有两个．
18.解：(1)由题意得2a=4a+c=b2ac2=a2+b2，
解得a=2b=2 3，
则双曲线C的方程为x24−y212=1；
(2)易知双曲线C的渐近线方程为y= 3x，
当直线l与y= 3x平行时，
直线l的方程为y= 3(x+4)，
联立x24−y212=1y= 3(x+4)，
解得x=−52y=3 32．
当直线l与y=− 3x平行时，
直线l的方程为y=− 3(x+4)，
联立x24−y212=1y=− 3(x+4)，
解得x=−52y=−3 32，
所以直线l与双曲线C的交点坐标为(−52,3 32)或(−52,−3 32)；
(3)因为双曲线C的渐近线方程为y=± 3x，
显然直线AB不与x轴重合，
设直线AB的方程为x=my−4，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
直线AE的方程为y=y1x1−2(x−2)，
当x=−1时，
解得y=−3y1x1−2，
即P(−1,−3y1x1−2)，
直线BE的方程为y=y2x2−2(x−2)，
当x=−1时，
解得y=−3y2x2−2，
即Q(−1,−3y2x2−2)，
所以以PQ为直径的圆方程为(x+1)2+(y+3y1x1−2)(y+3y2x2−2)=0，
当y=0时，(x+1)2+9y1y2(x1−2)(x2−2)=0，
联立x24−y212=1x=my−4，消去x并整理得(3m2−1)y2−24my+36=0，其中m2≠13，
此时Δ=(−24m)2−4(3m2−1)×36>0，且x1<−2，x2<−2，
由韦达定理得y1+y2=24m3m2−1，y1y2=363m2−1．
所以(x1−2)(x2−2)=(my1−6)(my2−6)=m2y1y2−6m(y1+y2)+36
=m2⋅363m2−1−6m⋅24m3m2−1+36=−363m2−1，
所以(x+1)2+9y1y2(x1−2)(x2−2)=(x+1)2+9⋅363m2−1−363m2−1=(x+1)2−9=0，
解得x=2或x=−4．
则x轴上存在定点D(2,0)或(−4,0)始终在以PQ为直径的圆上．

19.解：(1)由题意得1a2+34b2=1ca= 32c2=a2−b2，
解得a=2b=1c= 3，
则椭圆C的方程为x24+y2=1；
(2)易知B(2,0)，
所以直线BD的斜率为kBD= 321−2=− 32，
直线BD的方程为y=− 32(x−2)，
即 3x+2y−2 3=0，
若△BDE的面积最大，
此时点E到直线BD的距离取最大值，
设E(2csθ,sinθ)，0≤θ<2π，
则点E到直线BD的距离为d=|2 3csθ+2sinθ−2 3| 7=|4sin(θ+π3)−2 3| 7，
因为0≤θ<2π，
所以π3≤θ+π3<7π3，
当θ+π3=3π2，即θ=7π6时，d取得最大值，
此时E(− 3,−12)，
所以直线m的斜率为 32+121+ 3=12，
则直线m的方程为y+12=12(x+ 3)，
故当△BDE的面积最大时，直线m的方程为x−2y+ 3−1=0；
(3)若直线l的方程为kx−y+ℎ=0，
该直线的一个方向向量为(1,k)，一个法向量为(k,−1)，
设直线l与椭圆相切于点T(x0,y0)，
因为点T在椭圆上，
所以y02=1−x024，
联立x0x4+y0y=1x24+y2=1，
解得x=x0，
所以，椭圆在点T处的切线方程为x0x4+y0y=1，
即x0x+4y0y=4，

所以直线x0x+4y0y=4的一个法向量为u=(x0,4y0)，
TF1=(− 3−x0,−y0)，TF2=( 3−x0,−y0)，
所以点F1在直线l上的投影为TF1⋅u|u|=−(x0+ 3)x0−4y02 x02+16y02=−x02+4y02+ 3x0 x02+16y02=−4+ 3x0 x02+16y02，
点F2在直线l上的投影为TF2⋅u|u|=( 3−x0)x0−4y02 x02+16y02= 3x0−(x02+4y02) x02+16y02= 3x0−4 x02+16y02，
则(−4− 3x0)(−4+ 3x0)x02+16y02=16−3x02x02+4(4−x02)=16−3x0216−3x02=1．
故点F1，F2在直线l上的投影数量的乘积为定值，定值为1．