2024-2025学年北京市海淀区十一学校八年级上学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市海淀区十一学校八年级上学期期中考试数学试题（含答案），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2022年，北京中轴线申遗进入加速阶段，北京中轴线北起钟鼓楼，南至永定门，贯穿老城南北，直线距离长约7.8公里，是我国现存最完整、最古老的中轴线．这条中轴线一路向北延伸，鸟巢、冰立方为这条古老的中轴线注入了新的生命力，它正向世界述说着这座千年古都的时代新貌，下列关于中轴线建筑的简笔画，其中是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. m2+m3=2m5B. m2⋅m3=m6
C. (−m3)2=m6D. m(−m+2)=m2+2m
3.如图的两个三角形全等，则∠1的度数为( )
A. 62∘B. 60∘C. 58∘D. 50∘
4.如图，∠ACB=90∘，CA=CB，分别过点A，B作过点C的直线的垂线AM，BN.若AM=3cm，CM=5cm，则MN的长为( )
A. 7cmB. 8cmC. 9cmD. 10cm
5.已知x−y=5，则x2−y2−10y的值是( )
A. 10B. 15C. 20D. 25
6.在平面直角坐标系中，线段AB两端点的坐标分别为A(−1,2)、B(2,−3).作AB关于某直线的对称图形A′B′.若B′的坐标为(−2,−3)，则A′的坐标为( )
A. (1,2)B. (2,1)C. (1,−2)D. (−1,−2)
7.有两个正方形A、B，将A，B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为12与38，则正方形B的面积为( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
8.如图，在▵ABC中，∠ABC=60∘，AD⊥BC于D点，AB=12，AD=6 3.若点E、F分别是线段AD、线段AB上的动点，则BE+EF的最小值是( )
A. 6B. 12C. 6 3D. 12 3
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若(x−4)0=1，则x的取值范围是 ．
10.若x2+mxy+4y2是完全平方式，则m= ．
11.如图，在▵ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥BC.若AB=3，DE=2，则S▵ABD= ．
12.若x+m与2−x的乘积中不含x的一次项，则实数m的值为 ．
13.已知x+y=5，x2+y2=13，则(x−y)2= ．
14.如图，在Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，∠B=40∘.若AB边上有一点D，使▵BCD是等腰三角形，则∠ADC的度数为 ．
15.(1)如图，∠MAB=30∘，AB=2.2cm.点C在射线AM上，若想通过画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．画图时选取的BC的长可以为 cm(精确到0.1cm)
(2)若∠MAB为锐角，AB=a，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，BC=x，若▵ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是 ．
16.在等边▵ABC中，M、N、P分别是边AB、BC、CA上的点(不与端点重合)，对于任意等边▵ABC，下面四个结论中：
①存在无数个▵MNP是等腰三角形；
②存在无数个▵MNP是等边三角形；
③存在无数个▵MNP是等腰直角三角形；
④存在一个▵MNP在所有▵MNP中面积最小．
所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)x3y⋅(−2xy2)3
(2)(6x3−x2+3x)÷(−3x)
(3)(5x+3)(x−2)
18.(本小题8分)
分解因式：
(1)4m2−9n2
(2)3ax2+6axy+3ay2
(3)x2−5x−6
19.(本小题8分)
如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF=CE，AC=DF．
(1)在下列条件①AB//DE；②∠ACB=∠DFE；③AB=DE中，只添加一个条件就可以证得▵ABC≌▵DEF，则所有可以添加的条件的序号是________．
(2)根据已知及(1)中添加的一个条件，证明∠A=∠D．
20.(本小题8分)
已知x2−4x−2=0，求代数式(x+y)(x−y)−(2x−3)2+y2的值．
21.(本小题8分)
小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．
已知：在▵ABC中，∠ACB=90∘．
求作：线段CD，使得线段CD将▵ABC分割成两个等腰三角形．
下面是小明设计的尺规作图的作法：
①作直角边AC的垂直平分线MN，与斜边AB相交于点D；②连接CD．
则线段CD为所求．
(1)请你按照小明设计的作法，使用无刻度的直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵直线MN是线段AC的垂直平分线，点D在直线MN上，
∴DC=DA.( )(填推理的依据)
∴∠A=∠________．
∵∠ACB=90∘，
∴∠BCD=90∘−∠ACD．
∠B=90∘−∠________．
∴∠BCD=∠B．
∴DC=DB.( )(填推理的依据)
∴△DCB和▵DCA都是等腰三角形．
22.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF=∠ADF．
(1)求证：▵DGF是等腰三角形；
(2)连接EG，若EG=2，∠DGC=60∘，求DG的长．
23.(本小题8分)
长方形窗户ABCD(如图1)，是由上下两个长方形(长方形AEFD和长方形EBCF)的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和2b(即DF=a，BE=2b)，其中a>b>0.当遮阳帘没有拉伸时(如图1)，若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户(即长方形ABCD)的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸2a至GH.当下面窗户
的遮阳帘水平向左拉伸2b时，恰好与GH在同一直线上(即点G、H、P在同一直线上)．
(1)求长方形窗户ABCD的总面积；(用含a、b的代数式表示)
(2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至AG=23AD，下面窗户的遮阳帘拉伸至CP=25BC处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户ABCD面积的一半，求ab．
24.(本小题8分)
小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n=0或px+q=0时，多项式A=(mx+n)(px+q)=mpx2+(mq+np)x+nq的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点．
(1)已知多项式(3x+2)(x−3)，则此多项式的零点为________．
(2)已知多项式B=(x−2)(x+m)=x2+(a−1)x−3a有一个零点为2，求多项式B的另一个零点；
(3)订正：小聪继续研究(x−4)(x−2)，x(x−6)及x−52x−72等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x=3对称，他把这些多项式称为“3−系多项式”.若多项式M=(2x−b)(cx−7c)=ax2−(8a−4c)x+5b−4是“3−系多项式”，则a=________，b=________，c=________．
25.(本小题8分)
如图1，在四边形ABCD中，点B，D在直线l上，点A，C在直线l异侧，AB=AC，∠CBD=∠CAD.过点A作AH⊥BD于点H．
(1)依题意补全图形，
(2)若∠BAC=α，求∠DAH的度数(用含α的代数式表示)；
(3)探究线段BD、CD和DH的数量关系，并证明；
26.(本小题8分)
平面直角坐标系xOy中，过点T(0,t)作平行于x轴的直线l，若对于点P，先将其关于x轴对称得到点P1，再将点P1关于直线l对称得到点P2，若P2在x轴和直线l之间(可以在x轴或者直线l上)，我们就称点P为近l对称点．
(1)①在点Q1(0,2)，Q2(0,−2)和Q3(1,−3)中，近2对称点是________．
②该坐标系所在平面上一条平行于y轴的线段长为7个单位，若该线段上存在近2对称点，直接写出该线段中点纵坐标m的取值范围是________；
(2)若存在底边为4的等腰直角三角形上每一点既是近t对称点又是近(t+1)对称点，求t的取值范围．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.B
5.D
6.A
7.B
8.C
9.x≠4．
10.±4
11.3
12.2
13.1
14.80∘或110∘
15.1.2(答案不唯一，1.1cmx=d或x≥a

16.①②③
17.(1)解：x3y⋅(−2xy2)3
=x3y⋅−8x3y6
=−8x6y7
(2)解：(6x3−x2+3x)÷(−3x)
=−2x2+13x−1
(3)解：(5x+3)(x−2)
=5x2−10x+3x−6
=5x2−7x−6．

18.(1)解：4m2−9n2
=2m+3n2m−3n；
(2)解：3ax2+6axy+3ay2
=3ax2+2xy+y2
=3ax+y2；
(3)解：x2−5x−6
=x+1x−6．

19.(1)解：∵BF=CE，
∴BC=EF，
又∵AC=DF，
∴添加①AB//DE无法证得▵ABC≌▵DEF；
添加②∠ACB=∠DFE根据SAS可证得▵ABC≌▵DEF；
添加③AB=DE根据SSS可证得▵ABC≌▵DEF；
∴所有可以添加的条件的序号是②③，
故答案为：②③；
(2)添加②，
在▵ABC与▵DEF中，
AC=DF∠ACB=∠DFEBC=EF
∴▵ABC≌▵DEF(SAS)，
∴∠A=∠D；
添加③，在▵ABC与▵DEF中，
AB=DEAC=DFBC=EF
∴▵ABC≌▵DEF(SSS)，
∴∠A=∠D．

20.解：(x+y)(x−y)−(2x−3)2+y2
=x2−y2−4x2−12x+9+y2
=x2−y2−4x2+12x−9+y2
=−3x2+12x−9
=−3x2−4x−9，
∵x2−4x−2=0，
∴x2−4x=2，
∴原式=−3×2−9=−15．

21.(1)解：作法：①以点A为圆心，大于12AC为半径画弧，以点B为圆心，以相同长度为半径画弧，与前弧相交，
②连接两个交点得直线MN交AB于点D，
③连接CD，
如图所示，即为所求．
(2)∵直线MN是线段AC的垂直平分线，点D在直线MN上，
∴DC=DA.(线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等)，
∴∠A=∠DCA．
∵∠ACB=90∘，
∴∠BCD=90∘−∠ACD．∠B=90∘−∠A．
∴∠BCD=∠B．
∴DC=DB.(等角对等边)，
∴△DCB和▵DCA都是等腰三角形．
故答案为：线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等；DCA；A；等角对等边．

22.(1)证明：∵AD//BC，
∴∠ADF=∠DFC，
∵∠GDF=∠ADF，
∴∠GDF=∠DFC，
∵▵DFG是等腰三角形；
(2)连接EG，如图：
∵AD//BC，
∴∠ADE=∠BFE，
∵E为AB的中点，
∴AE=BE，
在▵ADE和▵BFE中，∠ADE=∠BFE∠AED=∠BEFAE=BE,
∴▵ADE≌▵BFEAAS，
∴DE=EF，
∴E是DF的中点，
由(1)可知，▵DFG为等腰三角形，
∴GE⊥DF，
∵AD//BC，∠DGC=60∘，
∴∠ADG=∠DGC=60∘，
∵∠GDF=∠ADF，
∴∠GDF=30∘，
在Rt▵GED中，
DG=2EG=2×2=4．

23.(1)解：由题知：AE=DF=a，EB=FC=2b，AG=BP=2a，GD=PC=2b，
∴AB=AE+EB=a+2b，AD=AG+GD=2a+2b，
∴S长方形ABCD=AB⋅AD
=a+2b2a+2b
=2a2+2ab+4ab+4b2
=2a2+6ab+4b2，
∴长方形窗户ABCD的总面积为2a2+6ab+4b2．
(2)解：根据题意可得AD=BC，
∵AG=23AD，
∴GD=13AD，
∵CP=25BC，
∴BP=35BC，
∴S透光=S长方形GHFD+S长方形EBPQ
=GD⋅DF+BP⋅EB
=13AD⋅DF+35BC⋅EB
=13AD⋅DF+35AD⋅EB
=AD13DF+35EB．
∵S透光=12S长方形ABCD=12AD⋅AB，
∴AD13DF+35EB=12AD⋅AB，
∴13DF+35EB=12AB，
∴13a+35⋅2b=12a+2b，
∴13a+65b=12a+b，
∴16a=15b，
∴ab=65．

24.(1)解：根据题意，令3x+2x−3=0，
∴3x+2=0或x−3=0，
解得：x=−23或x=3，
故答案为：−23或3；
(2)根据题意，把x=2代入B，得B=4+2a−1−3a=0，
解得：a=2，
把a=2代入B，得B=x2+x−6=x−2x+3，
令x+3=0，
解得：x=−3，
∴多项式B的另一个零点是−3；
(3)∵M=2x−bcx−7c，
∴M的两个零点分别是b2或7，
根据“3−系多项式”的定义，有b2+7=6，
∴b=−2
把b=−2代入M，
得M=2x−bcx−7c
=2x+2cx−7c
=2cx2−12cx−14c
∵M=ax2−8a−4cx+5b−4，
∴a=2c,5b−4=−14c，
∴c=1,a=2
故答案为：2，−2，1．

25.(1)解：如图1，AH即为所求；
(2)如图1中，过点A作AJ⊥BC于点J，设AC交BD于点K，
∵∠CBD=∠CAD，∠AKD=∠CKB，
∴∠ADH=∠ACJ，
∵AH⊥BD，AJ⊥BC，
∴∠AHD=∠AJC=90∘，
∴∠ADH+∠DAH=90∘，∠ACJ+∠CAJ=90∘，
∴∠DAH=∠CAJ，
∵AC=AB，AJ⊥BC，
∴∠CAJ=∠BAJ，
∴∠DAH=12∠BAC=12α；
∴∠DAH=12α
(3)BD=2DH+CD，证明如下：
如图2中，在HB上取一点L，使得HL=HD，
∵AH⊥DL，DH=HL，
∴AD=AL，
∴∠DAH=∠LAH，
∵∠DAH=12∠BAC，
∴∠DAL=∠BAC，
∴∠DAC=∠LAB，
∵AD=AL，AC=AB，
∴▵DAC≌▵LABSAS，
∴CD=BL，
∵BD=DL+BL=2DH+CD，
∴BD=2DH+CD．

26.【详解】(1)①过点(0,2)作直线y=2，
将点Q1(0,2)关于x轴对称得到(0,−2)，
再将(0,−2)关于直线y=2对称得到0,6，
点0,6不在直线y=2和x轴之间，
∴Q1(0,2)不是近2对称点，
将点Q2(0,−2)关于x轴对称得到(0,2)，
再将(0,2)关于直线y=2对称得到(0,2)，
∵点(0,2)在直线y=2上，
∴点Q2(0,−2)是近2对称点，
将点Q3(1,−3)关于x轴对称得到(1,3)，
再将(1,3)关于直线y=2对称得到(1,1)，
点(1,1)在直线y=2和x轴之间，
∴Q3(1,−3)是近2对称点；
故答案为：Q2，Q3
②根据题意，该坐标系所在平面上一条平行于y轴的线段长为7个单位，且该线段上存在近2对称点，
∴点0,m+3.5或0,m−3.5是近2对称点，
将点0,m+3.5关于x轴对称得到(0,−m−3.5)，
再将(0,−m−3.5)关于直线y=2对称得到(0,m+7.5)，
∵点(0,m+7.5)在直线y=2和x轴之间，
∴0≤m+7.5≤2，
∴−7.5≤m≤−5.5，
将点0,m−3.5关于x轴对称得到(0,−m+3.5)，
再将(0,−m+3.5)关于直线y=2对称得到(0,m+0.5)，
∵点(0,m+0.5)在直线y=2和x轴之间，
∴0≤m+0.5≤2，
∴−0.5≤m≤1.5，
∴m的取值范围是−7.5≤m≤−5.5或−0.5≤m≤1.5；
故答案为：−7.5≤m≤−5.5或−0.5≤m≤1.5；
(2)解：底边为4的等腰直角三角形腰长为4× 22=2 2，
设底边为4的等腰直角三角形，底边上的中点纵坐标为n，
∵底边为4的等腰直角三角形上每一点既是近t对称点又是近(t+1)对称点，
∴①当底边平行于y轴时，长为4的线段上每一点既是近t对称点又是近(t+1)对称点，所以长为4的线段夹在直线y=t和y=−t之间，
∴t−(−t)≥4，
解得t≥2或t≤−2．
②当一条腰平行于y轴时，长为2的线段上的每一点既是近t对称点又是近(t+1)对称点，
同理可得，长为2 2的线段夹在直线y=t和y=−t之间，
∴t−(−t)≥2 2，
解得t≥ 2或t≤− 2．
综上所述，t≥2或t≤−2．