2024-2025学年北京市西城区师达中学八年级上学期11月期中考试数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市西城区师达中学八年级上学期11月期中考试数学试题（含答案），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日∼ 2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算结果为a6的是( )
A. a3⋅a2B. a3+a3C. a23D. a18÷a3
3.若一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则第三边的长可能是( )
A. 2B. 4C. 6D. 2或4
4.如图，∠B=∠C=90∘，点E是线段BC上一点，AE⊥DE，则与∠1相等的角是( )
A. ∠DB. ∠2C. ∠AD. ∠B
5.下列各式计算正确的是( )
A. a32⋅a4=a9B. −2a23=−6a6
C. 2ab2⋅−3ab=−6a2b3D. 10a2b÷12a=5ab
6.如图，AB=AC，点D，E分别在AB,AC上，补充下列一个条件后，不能判断▵ABE≌▵ACD的是( )
A. ∠B=∠CB. AD=AE
C. ∠BDC=∠CEBD. BE=CD
7.如图，▵ABC≌▵DEC，点E在线段AB上，∠B=75∘，则∠ACD的度数为( )
A. 20°B. 25°C. 30°D. 40°
8.已知x=a+b−2,y−2ab=a2+b2，用含x的式子表示y是( )
A. x+2B. x2+4C. x+22D. x2−4
9.如图，等边▵ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，点P是AD上的一个动点，当PC+PE最小时，∠CPE的度数是( )
A. 22.5°B. 30°C. 45°D. 60°
10.小冬以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形ABCD的面积为( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.若2x−10=1，则x需要满足的条件是 ．
12.因式分解：mn2−4m= ．
13.已知点A−1,m与点Bn,3关于y轴对称，则m+n= ．
14.如图，BD是∠ABC的平分线，点P是射线BD上一点，PE⊥BA于点E，PE=2，点F是射线BC上一个动点，则线段PF的最小值为 ．
15.如果y2−6y+m是完全平方式，则m的值为 ．
16.如图，▵ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC与∠ACD互补，CD=5，则BC的长为 ．
17.如图，∠ABC=60∘，AB=3，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当▵ABP是直角三角形时，t= ．
18.如图，▵ABC中，∠ACB=45∘，CD平分∠ACB，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，且与BE交于点H，EF⊥BC于点F，且与CD交于点G.则下面的结论：①BE=CE；②AD=CG；③CH=2BD；④CE=AE+BH.其中正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
化简：
(1)2x2x−12；
(2)x+1x+2−2÷x．
20.(本小题8分)
▵ABC中，AB=AC，D是BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF．
21.(本小题8分)
已知4a2+3a−4=0.求代数式3a+12−a+1a−1的值．
22.(本小题8分)
已知：如图，OC平分∠AOB，点P是射线OC上一点．求作：点Q，使点Q在OB上，且使PQ//OA．
作法：①分别以点O、P为圆心，以大于12OP的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；
②作直线MN，交射线OB于点Q．
则点Q即为所求．
(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面证明．
证明：连接PM，PN，OM，ON，PQ
∵PM=OM，①
∴直线MN是线段OP的垂直平分线
∵点Q在直线MN上
∴PQ=OQ(② )(填依据)
∴∠POQ=∠OPQ
∵OC平分∠AOB
∴∠AOC=∠BOC
∴∠OPQ=③
∴PQ//OA．
23.(本小题8分)
在学习整式乘法这一章时，我们经常利用图形面积得到关于整式乘法或因式分解的等式．
(1)如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可验证的等式为 ；
(2)小明用四个如图3所示的小长方形(m>n)，拼成如图4所示的大正方形．
①根据图4的图形面积，可以得到的一个等式是 ；
②利用①中的等式，解决问题：若mn=16,m−n=6，求一个小长方形的周长．
24.(本小题8分)
已知，如图，Rt△ABC中，∠BAC=90∘．
(1)按要求作图：(保留作图痕迹)
①延长BC到点D，使CD=BC；
②延长CA到点E，使AE=2CA；
③连接AD，BE．
(2)猜想线段AD与BE的数量关系，并证明．
25.(本小题8分)
如图，▵ABC是等边三角形，点D是BC边上一点(不与B，C重合)，点P是点B关于直线AD的对称点，连接CP．BM平分▵ABC的外角∠ABE，过点A作CP的平行线，与BM交于点N，设∠BAD=α．
(1)依题意补全图形；
(2)求∠BAN的度数(用含α的式子表示)；
(3)过点D作AB的平行线，交CP的延长线于点Q，用等式表示线段DQ,AB,BN的数量关系，并证明．
26.(本小题8分)
对于平面直角坐标系xOy中的图形W，直线l和点P，给出如下定义：先将图形W沿直线l对称得到对应图形W1，再将图形W1其绕点P逆时针旋转90∘，得到图形W2，称W2为图形W的“旋轴变换图形”.其中，称直线l为“变换直线”，称点P为“变换点”.已知，点Mm,0，“变换直线”为y轴，“变换点”为P0,1．
(1)如图1，
①当m=−2时，点M的“旋轴变换图形”M2的坐标是 ；
②若点M的“旋轴变换图形”M2始终位于x轴上方，求m的取值范围；
(2)已知点Nm,m，随着点M的运动，在图2中画出线段MN的“旋轴变换图形”M2N2扫过的区域．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.A
5.C
6.D
7.C
8.C
9.D
10.A
11.x≠12
12.mn+2n−2
13.4
14.2
15.9
16.10
17.32或6
18.①③④
19.(1)解：2x2x−12
=2x2⋅x−2x2⋅12
=2x3−x2
(2)解：x+1x+2−2÷x
=x2+3x+2−2÷x
=x2+3x÷x
=x+3．

20.证明∶连接AD，

∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD平分∠BAC，
又DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF．

21.解：3a+12−a+1a−1
=9a2+6a+1−a2+1
=8a2+6a+2
=24a2+3a+2，
∵4a2+3a−4=0，
∴4a2+3a=4，
则24a2+3a+2=2×4+2=10．

22.(1)解：所作图形如下所示：
(2)证明：连接PM，PN，OM，ON，PQ，如图所示：
∵PM=OM，PN=ON，
∴直线MN是线段OP的垂直平分线，
∵点Q在直线MN上，
∴PQ=OQ(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)
∴∠POQ=∠OPQ，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠OPQ=∠AOC，
∴PQ//OA．

23.(1)解：由图1得：a2−32，
由图2得：a+3a−3，
根据面积相等，得到：a2−32=a+3a−3，
(2)解：①由图3得：4mn，
由图4得：m+n2−m−n2，
根据面积相等，得到：4mn=m+n2−m−n2，
②∵4mn=m+n2−m−n2，mn=16,m−n=6，
∴4×16=m+n2−62，解得：m+n=10，
所以小长方形的周长为：2m+n=20．

24.(1)如图所示，即为所求，
(2)延长AC到点F，使CF=AF，连接BF，
在ΔACD和ΔFCB中
CD=CB∠ACD=∠FCBAC=FC
∴ΔACD≅ΔFCB(SAS)
∴AD=FB
∵CF=AC
∴AF=2AC
∵AE=2CA
∴AF=AE
∵∠BAC=90∘
∴AB⊥EF
∴AB是EF的垂直平分线，
∴BE=BF
∴AD=BF

25.(1)解：补全图形，如图所示：
(2)解：连接AP，

∵▵ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC,∠ABC=∠BAC=∠ACB=60∘，
∵对称，
∴AP=AB，
∴∠BAD=∠PAD=α，AP=AC，
∴∠PAC=60∘−2α，∠ACP=∠APC=12180∘−∠PAC=60∘+α，
∵AN//CP，
∴∠CAN=180∘−∠ACP=120∘−α，
∴∠BAN=∠NAC−∠BAC=120∘−α−60∘=60∘−α；
(3)解：∵∠BAD=α，
∴∠DAC=∠BAC−∠BAD=60∘−α，
由(2)知∠BAN=60∘−α，
∴∠BAN=∠DAC，
∵BM平分▵ABC的外角，
∴∠ABN=12180∘−∠ABC=60∘=∠ACD，
又AB=AC，
∴▵ABN≌▵ACD，
∴BN=CD，
过点N作NO//BC，交AB于点O，

则：∠BON=∠ABC=60∘，
∴∠BNO=180∘−∠NBO−∠NOB=60∘，∠AON=180∘−∠BON=120∘，
∴▵BNO为等边三角形，∠ANO=∠BON−∠NAB=α，
∴BN=NO=BO，
∴NO=CD，
∵DQ//AB，
∴∠BDQ=∠ABC=60∘，
∴∠CDQ=180∘−∠BDQ=120∘，
∴∠AON=∠CDQ，
由(2)知：∠ACP=60∘+α，
∴∠DCQ=∠ACP−∠ACB=α=∠ANO，
在▵AON和▵QDC中，
∠QCD=∠ANONO=CD∠QDC=∠AON,
∴▵AON≌▵QDC，
∴AO=QD，
∴AB=AO+BO=BN+QD．

26.(1)解：①当m=−2时，M−2,0，
关于y轴的对称点为：M12,0，
连接PM1、PM2，作M2H⊥y轴，垂足为H，
∵PM1=PM2，∠M1PM2=90∘，
∴∠HPM2+∠OPM1=90∘，
∵M2H⊥y轴，
∴∠HPM2+∠HM2P=90∘，
∴∠OPM1=∠HM2P，
又∵∠M2HP=∠POM1=90∘，
∴▵M2H≌▵POM1AAS，
∴HP=OM1=2，HM2=OP=1，
∴HO=OP+HP=1+2=3，
∴M21,3，
②Mm,0，关于y轴的对称点为：M1−m,0，
连接PM1、PM2，作M2H⊥y轴，垂足为H，
∵PM1=PM2，∠M1PM2=90∘，
∴∠HPM2+∠OPM1=90∘，
∵M2H⊥y轴，
∴∠HPM2+∠HM2P=90∘，
∴∠OPM1=∠HM2P，
又∵∠M2HP=∠POM1=90∘，
∴▵M2H≌▵POM1AAS，
∴HP=OM1=m，HM2=OP=1，
当m≤0时，HO=OP+HP=1−m，
当m>0时，
HO=OP−HP=1−m，
当m<1时，HO=1−m，
∴M21,1−m，
当m<1时，1−m>0，M2始终位于x轴上方，
(2)解：由(1)可知M21,1−m，
Nm,m，关于y轴的对称点为：N1−m,m，
连接PN1、PN2，作N2H⊥y轴，垂足为H，作N1I⊥y轴，垂足为H，
∵PN1=PN2，∠N1PN2=90∘，
∴∠HPN2+∠OPN1=90∘，
∵N2H⊥y轴，
∴∠HPN2+∠HN2P=90∘，
∴∠IPN1=∠HN2P，
又∵∠N2HP=∠PIN1=90∘，
∴▵N2H≌▵PIN1AAS，
当m≤0时，HP=IN1=−m，HN2=IP=1−m，HO=OP+HP=1−m，
∴N21−m,1−m，
当m>0时，
HP=IN1=m，HN2=IP=m−1，HO=HP−OP=m−1，
∴N21−m,1−m，
设m−1=t，则M21,t，N2t,t，
∴M2N2扫过的区域如图