浙教版数学八年级上册期末复习专题第08讲 不等式的基本性质与解法（7大考点）（2份，原卷版+解析版）

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一、不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
要点：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
二、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
要点：
对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变
三、一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式．
要点：(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数为1.
(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．
不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．
四、一元一次不等式的解法
1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．
2.一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.
要点：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．
（2）解不等式应注意：
①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；
②移项时不要忘记变号；
③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；
④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．
五、不等式的解及解集
1.不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
2.不等式的解集：
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
要点：
3.不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．
(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：
要点：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．
注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．
考点精讲
考点一：不等式的有关定义
一、单选题
1．（2021·浙江·八年级期末）定义：对于任意数，符号表示不大于的最大整数，例如：，，．若，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
2．（2021·浙江·八年级期中）老师在黑板上写了下列式子：①x－1≥1；②－2＜0；③x≠3；④x＋2；⑤x－y＝0；⑥x＋2y≤0，其中不等式有( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
考点二：不等式的解集
一、单选题
1．（2020·浙江嘉兴·八年级期中）下列各数中，是不等式 x＞1的解的是（ ）
A．﹣2B．0C．1D．3
2．（2020·浙江绍兴·模拟预测）关于的不等式的解集如图所示，则a的值为
A．1B．C．-1D．
考点三：不等式的基本性质
一、单选题
1．（2020·浙江省义乌市廿三里初级中学八年级阶段练习）若m＞n，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．m＋2＞n＋2B．2m＞2nC．0.5m＞0.5nD．
2．（2022·浙江丽水·八年级期末）若x＜y，则下列结论成立的是（ ）
A．x+2＞y+2B．-2x＜-2yC．3x＞3yD．1-x＞1-y
3．（2022·浙江丽水·八年级期末）若，两边都除以-2，得（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·浙江丽水·八年级期中）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A．a﹣c＞b﹣cB．a+c＜b+cC．ac＞bcD．
5．（2020·浙江·乐清市知临寄宿学校八年级期中）设“ ”、“ ”、“”表示三种不同的物体．现用天平称两次，情况如图所示，那么、、这三种物体质量从大到小的顺序排列正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·浙江·八年级专题练习）小英、小亮、小明和小华四名同学参加了“学用杯”竞赛选拔赛，小亮和小华两个同学的得分和等于小明和小英的得分和；小英与小亮的得分和大于小明和小华的得分和，小华的得分超过小明与小亮的得分和．则这四位同学的得分由大到小的顺序是（ ）
A．小明，小亮，小华，小英B．小华，小明，小亮，小英
C．小英，小华，小亮，小明D．小亮，小英，小华，小明
二、填空题
7．（2022·浙江绍兴·八年级期末）根据不等式的基本性质，由，两边同乘－1，得______
8．（2021·浙江温州·八年级期中）若则2－3x______2－3y（填“>”或“<”或“＝”）．
9．（2020·浙江·金华市南苑中学八年级期中）若x＞y，且（a﹣3）x＜（a﹣3）y，请写出一个符合题意的a的值___．
三、解答题
10．（2022·浙江杭州·八年级期末）已知．
(1)比较与的大小，并说明理由．
(2)若，求a的取值范围．
考点四：一元一次不等式概念
一、单选题
1．（2020·浙江·宁波咸祥中学八年级开学考试）下列各式中，是一元一次不等式的是( )
A．5＋4＞8B．2x－1
C．2x≤5D．－3x≥0
2．（2020·浙江宁波·八年级期中）在数学表达式：，，，，，中，是一元一次不等式的有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
3．（2021·浙江·杭州春蕾中学八年级期中）若m与3的和是正数，则可列出不等式：___．
考点五：列一元一次不等式
一、单选题
1．（2020·浙江省义乌市廿三里初级中学八年级阶段练习）某商品每件为a元，买50件这样的商品的总费用不高于342元，则可得关于a的不等式为（ ）
A．50a≤342B．50a＜342C．50a＞342D．50a≥342
2．（2022·浙江金华·八年级期末）研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值不应该超过（220-年龄）×0.8，最低值不低于（220-年龄）×0.6．以30岁为例计算，，，1，所以30岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为（ ）
A．B．C．D．
二、解答题
3．（2021·浙江温州·八年级期中）一座小水电站的水库水位在12米到20米（包括12米，不包括20米），发电机能正常工作．设水库水位为x米．
(1)用不等式表示发电机正常工作的水位范围，并把它表示在数轴上；
(2)当水位在下列位置时，发电机能正常工作的有______．
①x＝10；②x＝12；③x＝15；④x＝20．
考点六：一元一次不等式的解集
一、单选题
1．（2020·浙江温州·八年级阶段练习）小马虎同学做一道“解一元一次不等式”的作业，解答过程如下图，在①、②、③、④四个步骤中，小马虎同学一共做错了（ ）步．
解：，①
②
③
，④
A．1B．2C．3D．4
2．（2022·浙江宁波·八年级期末）设a，b是任意两个实数，用max｛a，b｝表示a，b两数中的较大者，例如max｛4，3｝=4，则max｛，，｝的最小值等于（ ）
A．-2B．1C．7D．3
二、填空题
3．（2022·浙江杭州·八年级期中）已知实数，，满足，且，则的最大值为______．
三、解答题
4．（2020·浙江宁波·八年级期中）解不等式，并把它的解集表示在数轴上：
(1)5x＋15<－2x-13
(2)
5．（2022·浙江金华·八年级期末）以下是小欣同学解不等式的解答过程：
解：去分母，得． …………①
去括号，得． …………②
移项，得． …………③
合并同类项，得． …………④
两边除以－4，得． …………⑤
小欣同学的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
考点七：一元一次不等式的整数解
一、单选题
1．（2021·浙江温州·八年级期中）已知x＝2不是关于x的不等式2x﹣m＞4的整数解，x＝3是关于x的不等式2x﹣m＞4的一个整数解，则m的取值范围为（ ）
A．0＜m＜2B．0≤m＜2C．0＜m≤2D．0≤m≤2
二、填空题
2．（2022··八年级期末）不等式的非负整数解为______．
3．（2021·浙江温州·八年级期中）不等式2x－3≤x的解集是________，最大正整数解是________．
4．（2022·浙江杭州·八年级期末）不等式的最小负整数解______．
5．（2022·浙江宁波·八年级期末）不等式2x﹣1≤6的非负整数解有_____个．
三、解答题
6．（2020·浙江·八年级期末）（1）解不等式．并写出适合不等式的最大整数解；
（2）某单位要制作一批宣传材料，甲公司提出，每份材料收费25元，另收2000元设计费；乙公司提出，每份材料收费35元，不收设计费．请问该单位选择哪家公司制作这批宣传材料更合算？
7．（2020·浙江绍兴·八年级期中）解不等式，并求出它的非负整数解．
8．（2019·浙江杭州·八年级期末）解不等式，将解表示在数轴上，并求出不等式的正整数解．
9．（2020·浙江杭州·八年级期末）若不等式的最小整数解为方程的解，求a的值．
10．（2019·浙江·八年级期中）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足.
（1）求a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若不等式的解为.则整数a的值是多少？
一．选择题（共8小题）
1．（2021秋•鹿城区校级期中）不等式x≤1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021春•东城区校级期末）下面给出了6个式子：①3＞0；②4+3y＞0；③x＝3；④x﹣1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0，其中不等式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．（2009秋•西湖区校级期中）不等式2﹣m＜（x﹣m）的解集为x＞2，则m的值为（ ）
A．4B．2C．D．
4．（2021秋•湖州期末）已知﹣2x＞4，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x＜﹣2B．x＜2C．x＞﹣2D．x＞2
5．（2017秋•秀洲区期中）已知a、b为常数，若ax+b＞0的解集是，则bx﹣a＜0的解集是（ ）
A．x＞﹣3B．x＜﹣3C．x＞3D．x＜3
6．（2021秋•义乌市期末）x＝1是不等式x﹣b＜0的一个解，则b的值不可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（2021秋•温州期中）已知x＝2不是关于x的不等式2x﹣m＞4的整数解，x＝3是关于x的不等式2x﹣m＞4的一个整数解，则m的取值范围为（ ）
A．0＜m＜2B．0≤m＜2C．0＜m≤2D．0≤m≤2
8．（2020秋•西湖区校级期中）小丽和小华先后进入电梯，当小华进入电梯时，电梯因超重而警示音响起，且这个过程中没有其他人进出，已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽、小华的体重分别为40公斤，50公斤，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，则所有满足题意的x可用下列不等式表示的是（ ）
A．210＜x≤260B．210＜x≤300C．210＜x≤250D．250＜x≤260
二．填空题（共9小题）
9．（2020秋•衢州期中）“x与y的2倍的和是正数”用不等式可表示为 ．
10．（2021秋•江干区校级期中）用不等式表示“5a与6b的差是非正数” ．
11．（2021秋•衢江区期末）写出一个不等式，使它的解为x＞﹣1，则这个不等式可以是 ．
12．（2020秋•婺城区校级期末）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为x，则x的取值范围是 ．
13．（2021秋•乐清市校级月考）若不等式（m﹣3）x＞m﹣3，两边同除以（m﹣3），得x＞1，则m的取值范围为 ．
14．（2021秋•青田县期末）已知关于x的不等式2x+a≤1只有3个正整数解，则a的取值范围为 ．
15．（2020秋•东阳市期末）有一种感冒止咳药品的说明书上写着：“每日用量90～120mg（包括90mg和120mg），分2～3次服用”．若一次服用这种药品的剂量为amg，则a的取值的范围为 ．
16．（2021春•冠县期末）若（m+1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝ ．
17．（2021秋•杭州期末）不等式x﹣3＞﹣14﹣x的最小负整数解 ．
三．解答题（共9小题）
18．（2016秋•萧山区期中）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
19．（2021秋•滨江区校级期中）已知：x，y满足3x﹣4y＝5．
（1）用含x的代数式表示y，结果为y＝ ；
（2）若y满足y≤x，求x的取值范围；
（3）若x，y满足x+2y＝a，且x＞2y，求a的取值范围．
20．（2019秋•黄岩区期末）在一个含有两个字母的代数式中，如果任意交换这两个字母的位置，代数式的值不变，则称这个代数式为二元对称式，例如：x+y，xy，，都是二元对称式，其中x+y，xy叫做二元基本对称式．请根据以上材料解决下列问题：
（1）下列各代数式中，属于二元对称式的是 （填序号）；
①；②（a﹣b）2；③；④．
（2）若x+y＝m，xy＝n2，将用含m，n的代数式表示，并判断所得的代数式是否为二元对称式；
（3）先阅读下面问题1的解决方法，再自行解决问题2：
问题1：已知x+y﹣4＝0，求x2+y2的最小值．
分析：因为条件中左边的式子x+y﹣4和求解中的式子x2+y2都可以看成以x，y为元的对称式，即交换这两个元的位置，两个式子的值不变，也即这两个元在这两个式子中具有等价地位，所以当这两个元相等时，x2+y2可取得最小值．
问题2，①已知x2+y2＝4，则x+y的最大值是 ；
②已知x+2y﹣2＝0，则2x+4y的最小值是 ．
21．（2020秋•拱墅区期中）设a和b是两个非负实数，已知a+2b＝3．
（1）求a的取值范围；
（2）设c＝3a+2b，请用含a的代数式表示c，并求出c的取值范围．
22．（2021秋•普陀区期末）以下是红红同学解不等式：﹣＞1的解答过程；
解：2x﹣3x+3＞1
﹣x＞﹣2
x＞2
红红同学解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
23．（2021秋•余杭区月考）解下列不等式：
（1）3（x+1）＜4（x﹣2）﹣3；
（2）≤1．
24．（2021秋•萧山区期中）解不等式7x﹣2≤9x+3，把解表示在数轴上，并写出它的负整数解．
25．（2021秋•西湖区校级期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＜0．
（1）求k的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若不等式（2k+1）x﹣2k＜1的解集为x＞1，请写出符合条件的k的整数值．
26．（2020秋•杭州期中）两个非负实数a和b满足a+2b＝3，且c＝3a+2b
求：（1）求a的取值范围；
（2）请用含a的代数式表示c，并求c的取值范围．
符号
读法
意义
“≠”
读作“不等于”
它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小
“＜”
读作“小于”
表示左边的量比右边的量小
“＞”
读作“大于”
表示左边的量比右边的量大
“≤”
读作“小于或等于”
即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≥”
读作“大于或等于”
即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
不等式的解
是具体的未知数的值，不是一个范围
不等式的解集
是一个集合，是一个范围．其含义：
①解集中的每一个数值都能使不等式成立；
②能够使不等式成立的所有数值都在解集中