浙教版数学八年级上册期末复习专题第09讲 不等式组的解法及不等式的应用（6大考点）（2份，原卷版+解析版）

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用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
二．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
三．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
四．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
五．由实际问题抽象出一元一次不等式组
由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目．
六．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
考点精讲
一．由实际问题抽象出一元一次不等式（共5小题）
1．（2020秋•海曙区期末）海曙区禁毒知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣2分，小明得分要超过80分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20﹣x，根据题意得（ ）
A．5x﹣2（20﹣x）≥80B．5x﹣2（20﹣x）≤80
C．5x﹣2（20﹣x）＞80D．5x﹣2（20﹣x）＜80
【分析】设小明答对x道题，则答错或不答（20﹣x）道题，根据小明的得分＝5×答对的题目数﹣2×答错或不答的题目数结合小明得分要超过80分，即可得出关于x的一元一次不等式．
【解答】解：设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20﹣x，
依题意，得：5x﹣2（20﹣x）＞80．
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
2．（2021秋•瑞安市月考）某校要购买一批羽毛球拍和羽毛球，现有经费850元，已知羽毛球拍150元/套，羽毛球30元/盒，若该校购买了4套羽毛球拍，x盒羽毛球，则可列不等式（ ）
A．150x+30×4≤850B．150x+30×4＜850
C．150×4+30x＜850D．150×4+30x≤850
【分析】直接利用羽毛球拍150元/套，羽毛球30元/盒，该校购买了4套羽毛球拍，x盒羽毛球，表示出总钱数≤850即可．
【解答】解：该校购买了4套羽毛球拍，x盒羽毛球，则可列不等式：
150×4+30x≤850．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确表示出总钱数是解题关键．
3．（2021秋•上城区校级期中）某次知识竞赛共有30道选择题，答对一题得10分，若答错或不答一道题，则扣3分，要使总得分不少于70分则应该至少答对几道题？若设答对x题，可得式子为（ ）
A．10x﹣3（30﹣x）＞70B．10x﹣3（30﹣x）≤70
C．10x﹣3x≥70D．10x﹣3（30﹣x）≥70
【分析】根据得分﹣扣分不少于70分，可得出不等式．
【解答】解：设答对x题，答错或不答（30﹣x），
则10x﹣3（30﹣x）≥70．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式的知识，解答本题的关键是找到不等关系．
4．（2021秋•瑞安市月考）某电梯的额定限载量为1000千克，某人要用电梯把一批重物从底层搬到顶层，若人的身体质量为70千克，每箱货物质量为30千克，问他每次最多搬运多少箱？若设每次搬运货物x箱，则根据题意可列出关于x的不等式： 30x+70≤1000 ．
【分析】设可以搬运货物x箱．根据“额定限载量为1000千克”列出不等式即可．
【解答】解：设可以搬运货物x箱．
根据题意得，30x+70≤1000，
故答案为：30x+70≤1000．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
5．（2021秋•温州校级期中）某商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案可供选择．
方案一：每台按售价的九折销售；
方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．
已知A型号笔记本电脑的原售价是5000元/台，某公司一次性从该商店购买A型号笔记本电脑x台．
（1）若方案二比方案一更便宜，根据题意列出关于x的不等式．
（2）若公司买12台笔记本，你会选择哪个方案？请说明理由．
【分析】（1）根据方案二比方案一更便宜，根据题意列出关于x的不等式即可；
（2）根据公司买12台笔记本，列式计算即可得到结论．
【解答】解：（1）根据题意得，5000×5+5000×80%（x﹣5）＜5000×90%x；
（2）选择方案二，
理由：方案一：5000×12×90%＝54000（元），
方案二：5000×5+5000×80%×（12﹣5）＝53000（元），
∵54000＞53000，
∴选择方案二．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是：（1）找准不等量关系，正确列出一元一次不等式；（2）根据优惠方案，列式计算．
二．一元一次不等式的应用（共10小题）
6．（2021春•柯桥区月考）随着科技的进步，我们可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．小明想乘公交车，可又不想静静地等在A站，他从A站往B站走了一段路，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为720m（如图）．此时有两种选择：
（1）与公交车相向而行，到A公交站去乘车；
（2）与公交车同向而行，到B公交站去乘车．
假设公交车的速度是小明速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则A，B两公交站之间的距离最大为（ ）
A．240mB．300mC．320mD．360m
【分析】设看手机时小明到A站的距离为xm，到B站的距离为ym．到A公交站，由小明到A站所用时间不能多于公交车到A站所用时间，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可求出x的取值范围；到B公交站，由小明到B站所用时间不能多于公交车到B站所用时间，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可求出y的取值范围，进而可得出（x+y）的取值范围，再取其最大值即可得出结论．
【解答】解：设看手机时小明到A站的距离为xm，到B站的距离为ym．
到A公交站：x≤，
解得：x≤120；
到B公交站：y≤，
解得：y≤180．
∴x+y≤120+180＝300，
即A，B两公交站之间的距离最大为300m．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
7．（2021秋•定海区校级月考）在一次知识竞赛中有50道题，评分标准：答对一道得2分，答错一道倒扣1分，不答得0分，某学生有4道题没有答，这个学生至少答对 43 道题，成绩才能不低于82分．
【分析】设这个学生答对x道题，成绩才能不低于82分，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可得到结果．
【解答】解：设这个学生答对x道题，成绩才能不低于82分，
根据题意得：2x﹣（50﹣x﹣4）≥82，
解得：x≥，
∵x为整数，
∴x的最小值为43，
则这个学生至少答对43道题，成绩才能不低于82分．
故答案为：43．
【点评】此题考查了一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键．
8．（2021秋•滨江区校级月考）已知一种卡车每辆至多能载3吨货物．现有100吨黄豆，若要一次运完这批黄豆，至少需要这种卡车 34 辆．
【分析】设需要这种卡车x辆，由题意：一种卡车每辆至多能载3吨货物．现有100吨黄豆，要一次运完这批黄豆，列出一元一次不等式，解不等式，即可求解．
【解答】解：设需要这种卡车x辆，
由题意，得：3x≥100，
解得：x≥，
∵x为整数，
∴x至少为34辆．
即若要一次运完这批黄豆，至少需要这种卡车34辆，
故答案为：34．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
9．（2021秋•衢江区期末）某业主贷款22000元购进一台机器，生产某种产品．已知产品的成本每个5元，售价是每个8元，应付的税款和其他费用是售价的10%．若每月能生产、销售2000个产品，问至少 5 个月后能赚回这台机器的贷款．
【分析】设x个月后能赚回这台机器的贷款，利用总利润＝每个的利润×每月的产量×时间，结合总利润不少于这台机器的贷款，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：设x个月后能赚回这台机器的贷款，
依题意得：（8﹣5﹣8×10%）×2000x≥22000，
解得：x≥5，
∴至少5个月后能赚回这台机器的贷款．
故答案为：5．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
10．（2022•仙居县校级开学）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200，后来由于该商品积压商店准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则至多可打 8 折．
【分析】设打了x折，用售价×折扣﹣进价得出利润，根据利润率不低于20%，列不等式求解．
【解答】解：设打了x折，
由题意得，1200×0.1x﹣800≥800×20%，
解得：x≥8．
答：至多打8折．
故答案为：8．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于20%，列不等式求解．
11．（2021秋•萧山区期中）某业主贷款3.3万元购进一台机器，生产某种产品．已知产品的成本是每个3元，售价是每个5元，应付的税款和其它费用是售价的10%．若每个月能生产、销售6000个产品，问至少几个月后能赚回这台机器的贷款？（用列不等式的方法解决）
【分析】设x个月后能赚回这台机器的贷款，根据总利润＝单个利润×每月销售数量×月份数结合总利润不低于贷款数，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中最小值即可得出结论．
【解答】解：设x个月后能赚回这台机器的贷款，
由题意得（5﹣3﹣5×10%）×6000x≥33000，
解得x≥，
答：至少4个月后能赚回这台机器的贷款．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
12．（2021秋•青田县期中）在创建文明城市的活动中，为更好的增强人们对垃圾分类的意识，某小区决定在其辖区内安装垃圾分类提示牌和垃圾箱，若购买3个垃圾分类提示牌和4个垃圾箱共需580元；购买5个垃圾分类提示牌和3个垃圾箱费用相同，
（1）求购买1个垃圾分类提示牌和1个垃圾箱各需多少元？
（2）若该小区需购买垃圾分类提示牌和垃圾箱共10个，计划投入费用不超过800元，问最多购买垃圾箱多少个？
【分析】（1）根据题意可得方程组，根据解方程组，可得答案；
（2）根据费用不超过800元，可得不等式，根据解不等式，可得答案．
【解答】解：（1）设购买1个垃圾分类提示牌需要x元，购买1个垃圾箱需要y元，依题意得，
，
解得：，
所以，购买1个垃圾分类提示牌需要60元，购买1个垃圾箱需要100元；
（2）设购买垃圾箱m个，则购买垃圾分类提示牌（10﹣m）个，依题意得：
60（10﹣m）+100m≤800，
解得m≤5，
答：最多购买垃圾箱5个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意得出不等关系是解题关键．
13．（2021秋•鄞州区校级月考）某网店“双11”前准备从厂家选购甲、乙两种商品，乙种商品每件进价比甲种商品每件进价少20元，若购进5件甲种商品和4件乙种商品共需要1000元．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）若甲种商品的售价为每件145元，乙种商品的售价为每件120元，该网店准备购进甲、乙两种商品共40件，且这两种商品全部售出后总利润不少于920元，则乙种商品最多可购进多少件？
【分析】（1）设甲种商品每件进价x元，乙种商品每件进价y元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；
（2）设该网店购进乙种商品m件，则购进甲种商品（40﹣m）件，根据题意列出不等式，求出解集即可得到结果．
【解答】解：（1）设甲种商品每件进价x元，乙种商品每件进价y元，
列方程组：，
解得：，
答：甲、乙两种商品每件的进价分别是120元、100元；
（2）设该网店购进乙种商品m件，则购进甲种商品（40﹣m）件，
列不等式：（145﹣120）（40﹣m）+（120﹣100）m≥920，
解得：m≤16，
答：乙种商品最多可购进16件．
【点评】此题考查了一元一次不等式的应用，以及二元一次方程组的应用，弄清题意是解本题的关键．
14．（2021秋•长兴县月考）某校开学初在超市购进A、B两种品牌的消毒液，已知购买一瓶B品牌消毒液比购买一瓶A品牌消毒液多花20元．购买6瓶A品牌消毒液和7瓶B品牌消毒液需要花费400元．
（1）购买一瓶A品牌消毒液需 20 元；购买一瓶B品牌消毒液需 40 元；
（2）该校为了防疫，决定再次购进A、B两种品牌的消毒液共50瓶，恰逢超市对这两种品牌消毒液的售价进行调整，A品牌消毒液售价比第一次购买时提高了8%，B品牌消毒液按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买的总费用不超过1680元，那么，最多可以购买多少瓶B品牌消毒液？
【分析】（1）设购买一瓶A品牌消毒液需x元，购买一瓶B品牌消毒液需y元，根据购买一瓶B品牌消毒液比购买一瓶A品牌消毒液多花20元；购买6瓶A品牌消毒液和7瓶B品牌消毒液需要花费400元；即可得出关于x的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设可以购买m瓶B品牌消毒液，则购买（50﹣m）瓶A品牌消毒液，根据总价＝单价×数量，结合该校此次购买的总费用不超过1680元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买一瓶A品牌消毒液需x元，购买一瓶B品牌消毒液需y元，
依题意得：，
解得：．
答：购买一瓶A品牌消毒液需20元，购买一瓶B品牌消毒液需40元．
故答案为：20，40；
（2）设可以购买m瓶B品牌消毒液，则购买（50﹣m）瓶A品牌消毒液，
依题意得：20×（1+8%）（50﹣m）+40×0.9m≤1680，
解得：m≤41．
又∵m为整数，
∴m可以取得的最大值为41．
答：最多可以购买41瓶B品牌消毒液．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
15．（2021秋•秀洲区校级月考）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，已知每部甲种型号的手机进价比每部乙种型号的手机进价多200元，且购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金9600元．
（1）求甲、乙型号手机每部进价为多少元？
（2）该店计划购进甲、乙两种型号的手机共20台进行销售，现已有顾客预定了8台甲种型号手机，且该店投入购进手机的资金不多于3.8万元，请求出有几种进货方案？并请写出进货方案．
【分析】（1）设甲种型号手机每部进价为x元，乙种型号手机每部进价为y元，根据题意建立方程组求解就可以求出答案；
（2）设购进甲种型号手机a部，则购进乙种型号手机（20﹣a）部，根据“购进手机的资金不多于3.8万元”列出不等式，求出其解就可以得出结论．
【解答】解：（1）设甲种型号手机每部进价为x元，乙种型号手机每部进价为y元，
依题意得：，
解得：，
答：每部甲种型号的手机进价2000元，每部乙种型号的手机进价1800元；
（2）该店计划购进甲种型号的手机共a部，依题意得：
2000a+1800（20﹣a）≤38000．
解得：a≤10，
又∵a≥8的整数，
∴a＝8或9或10，
∴方案一：购进甲型8台，乙型12台；
方案二：购进甲型9台，乙型11台；
方案三：购进甲型10台，乙型10台．
【点评】此题考查了一元一次不等式组与二元一次方程组的应用，要能根据题意列出不等式组，关键是根据不等式组的解集求出所有的进货方案，是一道实际问题．
三．解一元一次不等式组（共4小题）
16．（2021秋•普陀区期末）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4．
（1）如果[a]＝﹣2，那么a的取值范围是 ﹣2≤a＜﹣1 ．
（2）如果[]＝3，满足条件的所有正整数x为 5，6 ．
【分析】（1）根据定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数，即可解答；
（2）根据定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数，先求出x的取值范围，然后在其范围内找出满足条件的所有正整数即可．
【解答】解：（1）∵[a]＝﹣2，
∴a的取值范围是：﹣2≤a＜﹣1，
故答案为：﹣2≤a＜﹣1；
（2）由题意得：
3≤＜4，
解得：5≤x＜7，
∴满足条件的所有正整数x为：5，6，
故答案为：5，6．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，根据题目的已知理解定义是解题的关键．
17．（2022秋•定海区校级月考）利用数轴解下列不等式组：．
【分析】先分别解两个不等式得到x＞2.5和x≤4，再用数轴表示出两不等式的解集，然后在数轴上找出它们的公共部分得到不等式组的解集．
【解答】解：，
解①得x＞2.5，
解②得x≤4，
用数轴表示为：
所以不等式组的解集为2.5＜x≤4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．也考查了在数轴上表示不等式的解集．
18．（2022•仙居县校级开学）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
由①得，x≥﹣1，
由②得，x＜3，
在数轴上表示为：
．
故此不等式组的解集为：﹣1≤x＜3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键．
19．（2021秋•龙泉市期末）解下列一元一次不等式（组）．
（1）x﹣3＞5．
（2）．
【分析】（1）移项、合并同类项即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）移项，得x＞5+3，
合并同类项，得：x＞8；
（2）解不等式3（x﹣2）＜2x+3，得x＜9，
解不等式x+3＞﹣3x+7，得x＞1，
则不等式组的解集为1＜x＜9．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
四．一元一次不等式组的整数解（共3小题）
20．（2022•恩施市模拟）已知关于x的不等式组的整数解共有4个，则a的取值范围是（ ）
A．﹣3≤a＜﹣2B．﹣3＜a≤﹣2C．﹣3＜a＜﹣2D．a＜﹣2
【分析】解不等式组可得a≤x＜，再根据整数解共有4个，即可得出a的取值范围．
【解答】解：解不等式组得：a≤x＜，
∵不等式组的整数解共有4个，
∴不等式组的整数解分别为：﹣2，﹣1，0，1，
∴﹣3＜a≤﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确得出不等式组的整数解是解决问题的关键．
21．（2021秋•慈溪市期末）关于x的一元一次不等式组恰有一个整数解，则m的取值范围是 3≤m＜4 ．
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组恰有一个整数解，确定出m的范围即可．
【解答】解：不等式组，
解得：2＜x≤m，
∵不等式组恰有一个整数解，即x＝3，
∴3≤m＜4．
故答案为：3≤m＜4．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
22．（2021秋•越城区期末）解不等式组，求出解集并写出此不等式组的整数解．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可．
【解答】解：，
由①得：x＞﹣，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解集为﹣＜x＜3，
则不等式组的整数解为0，1，2．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
五．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共2小题）
23．（2021秋•金华期末）研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值不应该超过（220﹣年龄）×0.8，最低值不低于（220﹣年龄）×0.6．以30岁为例计算，220﹣30＝190，190×0.8＝152，190×0.6＝114，所以30岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为（ ）
A．114≤p≤152B．114＜p＜152C．114≤p≤190D．114＜p＜190
【分析】根据“最佳燃脂心率最高值不应该超过（220﹣年龄）×0.8，最低值不低于（220﹣年龄）×0.6”列出不等式．
【解答】解：根据题意知：（220﹣年龄）×0.6≤p≤（220﹣年龄）×0.8，
由220﹣30＝190，190×0.8＝152，190×0.6＝114，知114≤p≤152．
故选：A．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出由实际问题抽象出一元一次不等式，实际问题列一元一次不等式时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目．
24．（2021秋•杭州期末）检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格？设第3次的pH值为x，由题意可得（ ）
A．7.2×3≤7.4+7.9+x≤7.8×3
B．7.2×3＜7.4+7.9+x≤7.8×3
C．7.2×3＞7.4+7.9+x＞7.8×3
D．7.2×3＜7.4+7.9+x＜7.8×3
【分析】根据算术平均数的定义，并结合三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8可得7.2≤≤7.8，从而得出答案．
【解答】解：根据题意知7.2≤≤7.8，
∴7.2×3≤7.4+7.9+x≤7.8×3，
故选：A．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解题的关键是掌握算术平均数的定义．
六．一元一次不等式组的应用（共3小题）
25．（2021秋•北仑区期末）桌游“剧本杀”已经成为了年轻人的新的娱乐方式，小帅计划开设一家剧本杀门店，计划建造A，B两类桌游房间共10个．两类桌游房的占地面积，容纳玩家数以及造价如下表：
已知门店可供使用面积最多不超过165平方米，且要求该门店至少可同时容纳64名玩家游戏．
（1）若要满足门店要求，则需建造A，B两类房间各几个？写出所有建造方案．
（2）具体计算判断哪种建造方案最省钱？
【分析】（1）根据门店可供使用面积最多不超过165平方米，且要求该门店至少可同时容纳64名玩家游戏，可以列出相应的不等式组，然后即可得到A类房间数量的取值范围，然后根据房间数为整数，即可写出相应的建造方案；
（2）根据（1）中的结果可以分别计算出三种方案的建造费用，然后比较大小即可．
【解答】解：（1）设建造A类桌游房间a间，则建造B类桌游房间（10﹣a）间，
∵门店可供使用面积最多不超过165平方米，且要求该门店至少可同时容纳64名玩家游戏，
∴，
解得7≤a≤9，
∵a为整数，
∴a＝7，8，9，
∴有三种方案，
方案一：建造A类桌游房间7间，建造B类桌游房间3间；
方案二：建造A类桌游房间8间，建造B类桌游房间2间；
方案三：建造A类桌游房间9间，建造B类桌游房间1间；
（2）方案一的建造费用为：7×2+3×3＝14+9＝23（万元）；
方案二的建造费用为：8×2+2×3＝16+6＝22（万元）；
方案三的建造费用为：9×2+1×3＝18+3＝21（万元）；
∵23＞22＞21，
∴方案三最省钱，
答：方案三：建造A类桌游房间9间，建造B类桌游房间1间最省钱．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组，利用不等式的性质解答．
26．（2021秋•缙云县期末）某校为了表彰“新时代好少年”决定购买一些笔记本和文具盒做奖品．已知笔记本单价是9元，文具盒的单价是4元，若购买两种奖品的数量总共30个，购买费用不低于140元，且不高于150元．求学校有哪几种购买方案？
【分析】设购买笔记本x个，则购买文具盒（30﹣x）个，根据题意列出一元一次不等式组求出x的取值范围，并求出购买方案解答即可．
【解答】解：设购买笔记本x个，则购买文具盒（30﹣x）个，
由题意得：，
解得：4≤x≤6，
∵x为整数，
∴x＝4或x＝5或x＝6，
∴当x＝4时，30﹣x＝26，
当x＝5时，30﹣x＝25，
当x＝6时，30﹣x＝24，
∴购买方案有3种：
方案一：购买笔记本4个，文具盒26个；
方案二：购买笔记本5个，文具盒25个；
方案三：购买笔记本6个，文具盒24个．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
27．（2022•仙居县校级开学）湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？
【分析】（1）根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出结论；
（2）根据“费用不超过10000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论．
【解答】解：（1）设温馨提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元，
根据题意得，2x+3×3x＝550，
∴x＝50，
经检验，符合题意，
∴3x＝150元，
即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；
（2）设购买温馨提示牌y个（y为正整数），则垃圾箱为（100﹣y）个，
根据题意得，，
∴50≤y≤52，
∵y为正整数，
∴y为50，51，52，共3种方案；
即：温馨提示牌50个，垃圾箱50个；温馨提示牌51个，垃圾箱49个；温馨提示牌52个，垃圾箱48个，
根据题意，费用为50y+150（100﹣y）＝﹣100y+15000，
当y＝52时，所需资金最少，最少是9800元．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组，一元一次方程的应用，正确找出相等关系是解本题的关键．
一．选择题（共3小题）
1．（2020秋•西湖区校级期中）某次知识竞赛共有20道题，答对一题得10分，答错或不答均扣5分，小玉得分超过95分，他至多可以答错的试题道数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】先设答对了x道题目，则答错或不答的题目一共为（20﹣x）道，然后根据某次知识竞赛共有20道题，答对一题得10分，答错或不答均扣5分，小玉得分超过95分，可以列出相应的不等式，然后即可求得答对题目的取值范围，从而可以得到至多答错的题目数．
【解答】解：设小玉答对了x道题目，则答错或不答的题目一共为（20﹣x）道，
由题意可得，
10x﹣5（20﹣x）＞95，
解得x＞13，
∴小玉至少要答对14道题目，至多答错20﹣14＝6（道），
故选：B．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出不等关系，列出相应的不等式．
2．（2022•镇海区校级二模）若关于x的不等式组的解只有4个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣＜a＜﹣5B．﹣5≤a＜﹣C．﹣5＜a≤﹣D．﹣＜a≤﹣5
【分析】先求出不等式组的解集，根据题意得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＜21，
解不等式②得：x＞2﹣3a，
∴不等式组的解集为2﹣3a＜x＜21，
又∵关于x的不等式组的解只有4个整数解，即为20，19，18，17，
∴16≤2﹣3a＜17，
解得：﹣5＜a≤﹣，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解等知识点，能得出关于a的不等式组是解此题的关键．
3．（2020秋•南浔区期末）某超市开展促销活动，一次购买的商品超过88元时，就可享受打折优惠．小明同学准备为班级购买奖品，需买6本笔记本和若干支钢笔．已知笔记本每本4元，钢笔每支7元，如果小明想享受打折优惠，那么至少买钢笔（ ）
A．12支B．11支C．10支D．9支
【分析】设需要购买x支钢笔，根据总价＝单价×数量，结合总价超过88元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
【解答】解：设需要购买x支钢笔，
依题意得：4×6+7x＞88，
解得：x＞9．
又∵x为整数，
∴x的最小值为10．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
4．（2020春•老河口市期末）现用甲，乙两种运输车将46吨抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排 6 辆．
【分析】现用甲，乙两种运输车将46吨抗旱物资运往灾区，此题的等量关系是：甲种车运输物资数+乙种车运输物资数≥46吨．设甲种运输车至少应安排x辆，根据不等关系就可以列出不等式，求出x的值．
【解答】解：设甲种运输车安排了x辆，
x+（46﹣5x）÷4≤10解，得x≥6
则甲种运输车至少应安排6辆．
【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，理解汽车的载重量与货物的数量之间的关系是解决本题的关键．
5．（2021秋•义乌市期末）某产品进价为每件200元，商店标价为每件300元．现商店准备将这批服装打折出售，但要保证毛利润不低于5%，则商店最低可按 7 折出售．
【分析】设商店可按x折出售，利用利润＝售价﹣进价，结合要保证毛利润不低于5%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：设商店可按x折出售，
依题意得：300×﹣200≥200×5%，
解得：x≥7，
∴商店最低可按7折出售．
故答案为：7．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
6．（2021秋•开化县期末）一次中学生宪法知识竞赛中共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分．若小丽答了所有的题，要想获得优胜奖（75分及以上），则她至少要答对 17 道题．
【分析】设小丽答对了x道题，则答错了（20﹣x）道题，利用得分＝5×答对题目数﹣3×答错题目数，结合得分不少于75分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
【解答】解：设小丽答对了x道题，则答错了（20﹣x）道题，
依题意得：5x﹣3（20﹣x）≥75，
解得：x≥16，
又∵x为正整数，
∴x的最小值为17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
7．（2021秋•嘉兴期末）一次知识竞赛一共有26道题，答对一题得4分、不答得0分，答错一题扣2分，小明有1道题没答，竞赛成绩不少于88分，则小明至少答对 23道 题．
【分析】设小明答对x道题，则答错（26﹣1﹣x）道题，利用竞赛成绩＝4×答对题目数﹣2×答错题目数，结合竞赛成绩不少于88分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：设小明答对x道题，则答错（26﹣1﹣x）道题，
依题意得：4x﹣2（26﹣1﹣x）≥88，
解得：x≥23，
∴小明至少答对23道题．
故答案为：23道．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
8．（2022•乐清市一模）不等式组的解集是 ﹣1＜x≤6 ．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤6．
则不等式组的解集是：﹣1＜x≤6．
故答案是：﹣1＜x≤6．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．
9．（2022•瓯海区一模）不等式组的解集是 1＜x≤6 ．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：
解不等式①，得x＞1，
解不等式②，得x≤6，
所以，这个不等式组的解集是1＜x≤6，
故答案为1＜x≤6．
【点评】主要考查了一元一次不等式解集的求法，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
三．解答题（共19小题）
10．（2020秋•萧山区期中）某商场计划经销A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：
（1）若该商场购进这批台灯共用去2500元，问这两种台灯各购进多少盏？
（2）在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场销售这批台灯的总利润不少于1400元，问至少购进B种台灯多少盏？
【分析】（1）设购进A种新型节能台灯x盏，购进B种新型节能台灯y盏，根据总价＝单价×数量结合该商城用2500元购进A、B两种新型节能台灯共50盏，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进B种新型节能台灯m盏，则购进A种新型节能台灯（50﹣m）盏，根据总利润＝单盏利润×数量结合总利润不少于1400元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设购进A种新型节能台灯x盏，购进B种新型节能台灯y盏，
依题意，得：，
解得：．
答：购进A种新型节能台灯30盏，购进B种新型节能台灯20盏．
（2）设购进B种新型节能台灯m盏，则购进A种新型节能台灯（50﹣m）盏，
依题意，得：（60﹣40）（50﹣m）+（100﹣65）m≥1400，
解得：m≥．
∵m为正整数，
∴m的最小值为27．
答：至少购进B种台灯27盏．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
11．（2021秋•义乌市期末）解不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣1＞0，得：x＞1，
解不等式（x+4）＜3，得：x＜2，
则不等式组的解集为1＜x＜2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
12．（2021秋•衢江区期末）解不等式组：．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：，
由①得：x≤2，
由②得：x＞1，
∴不等式组的解集为1＜x≤2．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
13．（2021秋•西湖区校级期中）某厨具店购进A型和B型两种电饭煲进行销售，其进价与售价如表：
（1）一季度，厨具店购进这两种电饭煲共30台，用去了5600元，问该厨具店购进A，B型电饭煲各多少台？
（2）为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过9560元的资金采购两种电饭煲共50台，且A型电饭煲的数量不少于B型电饭煲数量，问厨具店有哪几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，全部售完，请你通过计算判断，哪种进货方案厨具店利润最大，并求出最大利润．
【分析】（1）设该厨具店购进A型电饭煲x台，B型电饭煲y台，根据“厨具店购进这两种电饭煲共30台，用去了5600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出该厨具店购进A，B型电饭煲的数量；
（2）设购进A型电饭煲m台，则购进B型电饭煲（50﹣m）台，根据“总价不超过9560元，且购进A型电饭煲的数量不少于B型电饭煲数量”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各进货方案；
（3）利用总利润＝每台的利润×销售数量（进货数量），即可求出分别选择各方案可获得的利润，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设该厨具店购进A型电饭煲x台，B型电饭煲y台，
依题意得：，
解得：．
答：该厨具店购进A型电饭煲10台，B型电饭煲20台．
（2）设购进A型电饭煲m台，则购进B型电饭煲（50﹣m）台，
依题意得：，
解得：25≤m≤28，
又∵m为正整数，
∴m可以为25，26，27，28，
∴厨具店共有4种进货方案，
方案1：购进A型电饭煲25台，B型电饭煲25台；
方案2：购进A型电饭煲26台，B型电饭煲24台；
方案3：购进A型电饭煲27台，B型电饭煲23台；
方案4：购进A型电饭煲28台，B型电饭煲22台．
（3）进货方案1可获得的利润为（300﹣200）×25+（260﹣180）×25＝4500（元），
进货方案2可获得的利润为（300﹣200）×26+（260﹣180）×24＝4520（元），
进货方案3可获得的利润为（300﹣200）×27+（260﹣180）×23＝4540（元），
进货方案4可获得的利润为（300﹣200）×28+（260﹣180）×22＝4560（元）．
∵4500＜4520＜4540＜4560，
∴选择进货方案4厨具店利润最大，最大利润为4560元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，列式计算．
14．（2022•松阳县二模）解不等式组：．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：，
由①得，x＞﹣1，
由②得，x≤2，
故此不等式组的解集为：﹣1＜x≤2．
【点评】此题考查的是解一元一此不等式组，熟知“同大取较大，同小去较小，大小小大中间找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键．
15．（2021秋•海曙区期末）解不等式（组）：
（1）；
（2）．
【分析】（1）不等式去分母，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解集；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）去分母得：3﹣2x≥4，
移项得：﹣2x≥4﹣3，
合并得：﹣2x≥1，
解得：x≤﹣；
（2），
由①得：x＞，
由②得：x＞，
则不等式组的解集为x＞．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的解法，其中一元一次不等式的解法步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，将x系数化为1，不等式组取解集的方法为：同大取大；同小取小；大小小大去中间；大大小小无解．
16．（2021秋•定海区期末）解不等式组，并把解集在数轴上标示出来．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x＞﹣1，
解不等式②，得x≤2，
所以原不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
在数轴上表示为：
．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，利用不等式的性质正确求出不等式组中每一个不等式的解集是解题的关键．也考查了不等式组解集在数轴上的表示方法．
17．（2022春•海丰县期末）解不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由5x﹣2≤3x，得：x≤1，
由＜﹣1，得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（2021秋•嵊州市期末）解不等式（组）：
（1）5x﹣2＞3（x﹣2）；
（2）．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）去括号，得：5x﹣2＞3x﹣6，
移项，得：5x﹣3x＞﹣6+2，
合并同类项，得：2x＞﹣4，
系数化为1，得：x＞﹣2；
（2）解不等式3x+6≥4，得：x≥﹣，
解不等式＞2x﹣1，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣≤x＜2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（2021秋•开化县期末）解不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x+4≤3（x+2），得：x≥﹣2，
解不等式＜2，得：x＜5，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜5．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（2021秋•新昌县期末）以下是圆圆解不等式组的解答过程．
解：由①，得2x﹣1＞3，
所以，x＞2．
由②，得1+x＞5，
所以，x＞4．
所以原不等式组的解集为x＞4．
圆圆的解答过程是否正确？若不正确，写出正确的解答过程．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：圆圆的解答过程不正确，
解不等式①，得：x＞2.5，
解不等式②，得：x＜4，
则不等式组的解集为2.5＜x＜4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（2021秋•杭州期末）以下是圆圆解不等式组的解答过程：
解：由①，得2+x＞﹣2，
所以x＞﹣4．
由②，得1﹣x＞﹣3，
所以﹣x＞﹣2，
所以x＞2．
所以原不等式组的解是x＞2．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：以上解答过程有错误，
正确解答如下：
由①，得：2+2x＞﹣2，
∴x＞﹣2，
由②，得：﹣1+x＞3，
∴x＞4，
所以原不等式组的解集为x＞4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22．（2022•南陵县模拟）解不等式组：，并求出最小整数解与最大整数解的和．
【分析】根据一元一次不等式组即的解法即可求出答案．
【解答】解：，
由①得：x≤8，
由②得：x＞﹣3，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤8，
∴x的最小整数为﹣2，最大整数为8，
∴x的最小整数解与最大整数解的和为6．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组，解此类题是要求出每一个不等式的解集，然后取公共部分即可得到不等式组的解集．
23．（2021秋•诸暨市期末）解不等式（组）：
（1）4x≤3x+7；
（2）．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）移项，得：4x﹣3x≤7，
合并同类项，得：x≤7；
（2）解不等式2x+1≥﹣1，得：x≥﹣1，
解不等式＜x+1，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
24．（2017秋•萧山区期末）解不等式（组）：，并写出它的整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3（1﹣x）＞2（1﹣2x）得：x＞﹣1，
解不等式≥得：x≤3，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
所以不等式组的整数解为0、1、2、3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
25．（2019秋•鄞州区校级期中）某市民政部门将租用甲、乙两种货车共16辆，把粮食266吨、副食品169吨全部运到灾区．已知一辆甲种货车同时可装粮食18吨、副食品10吨；一辆乙种货车同时可装粮食16吨、副食品11吨．
（1）若将这批货物一次性运到灾区，有哪几种租车方案？
（2）若甲种货车每辆需付燃油费1500元；乙种货车每辆需付燃油费1200元，应选（1）中的哪种方案，才能使所付的费用最少？最少费用是多少元？
【分析】（1）设租用甲种货车x辆，表示出租用乙种货车为（16﹣x）辆，由题意：把粮食266吨、副食品169吨全部运到灾区．已知一辆甲种货车同时可装粮食18吨、副食品10吨；一辆乙种货车同时可装粮食16吨、副食品11吨．列出不等式组，解不等式组，即可求解；
（2）分别求出三种方案的燃油费用，比较即可得解．
【解答】解：（1）设租用甲种货车x辆，租用乙种货车为（16﹣x）辆，
根据题意得：，
解得：5≤x≤7，
∵x为正整数，
∴x＝5或6或7，
因此，有3种租车方案：
方案一：租甲种货车5辆，乙种货车11辆；
方案二：租甲种货车6辆，乙种货车10辆；
方案三：租甲种货车7辆，乙种货车9辆；
（2）方案一所付的费用为：5×1500+11×1200＝20700（元）；
方案一所付的费用为：6×1500+10×1200＝21000（元）；
方案一所付的费用为：7×1500+9×1200＝21300（元）；
∵20700＜21000＜21300，
∴选择（1）中的方案一租车，才能使所付的费用最少，最少费用是20700元．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，找出题中不等量关系，正确列出不等式组是解题的关键．
26．（2020秋•西湖区校级期末）某小区为激励更多居民积极参与“分类适宜，垃圾逢春”活动，决定购买拖把和扫帚作为奖品，奖励给垃圾分类表现优异的居民．若购买3把拖把和2把扫帚共需80元，购买2把拖把和1把扫帚共需50元．
（1）请问拖把和扫帚每把各多少元？
（2）现准备购买拖把和扫帚共200把，且要求购买拖把的费用不低于购买扫帚的费用，所有购买的资金不超过2690元，问有几种购买方案，哪种方案最省钱？
【分析】（1）设拖把每把x元，扫帚每把y元，根据题意：购买3把拖把和2把扫帚共需80元，购买2把拖把和1把扫帚共需50元，列方程组求解；
（2）设购买拖把a把，则扫帚（200﹣a）把，结合（1）中的数据，列不等式组求得a的取值范围即可求解．
【解答】解：（1）设拖把每把x元，扫帚每把y元，依题意有
，
解得：．
答：拖把每把20元，扫帚每把10元．
（2）设购买拖把a把，则扫帚（200﹣a）把，依题意有
，
解得≤a≤69，
∵a为整数，
∴a＝67，68，69，
∴有3种购买方案，①买拖把67把，扫帚133把；②买拖把68把，扫帚132把；③买拖把69把，扫帚131把．
当a＝67时，共花费67×20+133×10＝2670（元）；
当a＝68时，共花费68×20+132×10＝2680（元）；
当a＝69时，共花费69×20+131×10＝2690（元）；
∵2670＜2680＜2690，
∴选择方案买拖把67把，扫帚133把最省钱．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到建立方程的等量关系和建立不等式的不等关系是解答本题的关键．
27．（2020秋•温岭市校级月考）新定义：对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.4]＝1，[2]＝2，[﹣3.5]＝﹣4，试解决下列问题：
（1）填空：
①[π]＝ 3 （π为圆周率），
②如果[x﹣2]＝3，则实数x的取值范围 5≤x＜6 ；
（2）若点P（x，y）位于第一象限，其中x，y是方程组的解，求a的取值范围：
（3）若f（k）＝[]﹣[]（k是正整数），例：f（3）＝[]﹣[]＝1．下列结论：
①f（1）＝0；②f（k+4）＝f（k）；③f（k+1）≥f（k）；④f（k）＝0或1．
正确的有 ①②④ （填序号）．
【分析】（1）①根据规定[x]表示不大于x的最大整数，可得答案；
②根据规定可得3≤x﹣2＜4，解不等式组即可求解；
（2）解方程组得，由点P位于第一象限知，据此得1＜[a]＜，进一步求解即可；
（3）根据题意可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）①根据题意知[π]＝3；
②∵[x﹣2]＝3，
∴3≤x﹣2＜4，
解得5≤x＜6，
故答案为：①3；②5≤x＜6．
（2）解关于x，y是方程组得，
∵点P位于第一象限，
∴，
解得1＜[a]＜，
则[a]＝2，
∴2≤a＜3；
（3）f（1）＝[]﹣[]＝0﹣0＝0，故①正确；
f（k+4）＝[]﹣[]＝[+1]﹣[+1]＝[]﹣[]＝f（k），故②正确；
当k＝3时，f（3+1）＝[]﹣[]＝1﹣1＝0，而f（3）＝1，故③错误；
当k＝3+4n（n为自然数）时，f（k）＝1，当k为其它的正整数时，f（k）＝0，所以④正确；
故答案为：①②④．
【点评】本题考查取整函数、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的结论是否成立．
28．（2022春•齐河县期末）某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同；购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元．
（1）求这两种书的单价；
（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
【分析】（1）设购买《北上》的单价为x元，《牵风记》的单价为y元，根据“购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元”和“购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同”建立方程组求解即可；
（2）设购买《北上》的数量为n本，则购买《牵风记》的数量为（50﹣n）本，根据“购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半”和“购买两种书的总价不超过1600元”两个不等关系列不等式组解答并确定整数解即可．
【解答】解：（1）设购买《北上》的单价为x元，《牵风记》的单价为y元，
由题意得：，
解得．
答：购买《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元；
（2）设购买《北上》的数量为n本，则购买《牵风记》的数量为（50﹣n）本，
根据题意得，
解得：16≤n≤20，
则n可以取17、18、19、20，
当n＝17时，50﹣n＝33，共花费17×35+33×30＝1585（元）；
当n＝18时，50﹣n＝32，共花费18×35+32×30＝1590（元）；
当n＝19时，50﹣n＝31，共花费19×35+31×30＝1595（元）；
当n＝20时，50﹣n＝30，共花费20×35+30×30＝1600（元）；
所以，共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元．
【点评】本题考查了二元一次方程组和不等式组的应用，弄清题意、确定等量关系和不等关系是解答本题的关键．类型
占地面积（平方米/间）
可容纳玩家数（人/间）
造价（万元/间）
A
15
6
2
B
20
10
3
A型
B型
进价（元/盏）
40
65
售价（元/盏）
60
100
进价（元/台）
售价（元/台）
A型
200
300
B型
180
260