辽宁省八校2024-2025学年高三上学期12月联合教学质量检测数学试卷

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满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设为虚数单位，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024项中有（ ）个奇数
A．1012B．1348C．1350D．1352
4．在中，为的中点，为的中点，若，则等于（ ）

A．B．C．D．
5．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．0,1
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若且，则
B．若且，则
C．若且，则
D．存在，使得
10．在菱形中，，，E为AB的中点，将沿直线DE翻折至的位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则（ ）
A．平面
B．
C．异面直线，所成的角为
D．与平面所成角的余弦值为
11．随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是 .
13．已知函数在区间上的值域为，且，则的值为 .
14．欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，将复数表示成（为虚数单位）的形式 ；若，则，这里，称为1的一个n次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，则的值是 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题13分）
已知数列的前项和，，且．
(1)求；
(2)求数列的前项和；
(3)设数列的前项和，且满足，求证：．
16.（本小题15分）
在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，如图，是上的动点，且始终等于，记.当为何值时，的面积取到最小值，并求出最小值.
17.（本小题15分）
如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，对的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面所成角的正弦值；
(3)设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值.
18.（本小题17分）
已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.
（i）求m的取值范围；
（ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上.
19.（本小题17分）
已知函数.
(1)求函数y=f(x)的单调区间；
(2)若曲线与存在两条公切线，求整数的最小值；
(3)已知，函数有3个零点为：，且，证明：.