2025六盘水高三上学期第二次诊断性监测试题数学含解析

这是一份2025六盘水高三上学期第二次诊断性监测试题数学含解析，共22页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回.等内容，欢迎下载使用。
（考试时长：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1，答题前，务必在答题卡上填写姓名和考号等相关信息并贴好条形码.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 已知全集，则（ ）
A. 2B.
C. D.
2. 声强级（单位：）由公式给出，其中I为声强（单位：），若某人交谈时的声强级为，则其声强约为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
4. 定义在上偶函数在上单调递增，且，则“”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知数列的首项，且，则（ ）
A. 810B. 820C. 830D. 840
6. 若是两个相互垂直的单位向量，，则在上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数的零点分别为，，，则（ ）
A. 0B. 2C. 4D. 6
8. 已知三点，点P为内切圆上一点，则点P到直线的最小距离为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知，则（ ）
A B.
C. D.
10. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则（ ）
A. 为函数图象的一条对称轴
B.
C. 函数在上单调递增
D. 函数的图象与函数的图象交点个数为5
11. 正方体的棱长为1，平面截此正方体，且正方体每条棱所在直线与平面所成角相等，则（ ）
A. 正方体每条棱与平面所成角的余弦值为
B. 平面截此正方体所得截面的最大面积为
C. 平面截此正方体所得截面可能为五边形
D. 过顶点A作直线l，使得l与直线所成角相等，这样的直线l有4条
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，则_________．
13. 甲、乙、丙、丁四位同学去三个不同的地方参加社会实践活动，要求每个地方至少有一名同学参与，且每人只能去一个地方，则一共有_________种不同的分配方案（用数字作答）
14. 已知函数，若恒成立，则mn的最大值为_________．
四、解答题（共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）当时，求外接圆的面积；
（2）求的最小值.
16. 如图甲，在梯形中，，为AB中点．将沿DE折起到位置，连接，，得到如图乙所示的四棱锥．
（1）证明：平面；
（2）当二面角为时，求点到平面距离．
17 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若，求实数a的取值范围．
18. 已知双曲线的虚轴长为，离心率为，分别为的左、右顶点，直线交的左、右两支分别于，两点．
（1）求的方程；
（2）记斜率分别为，若，求的值．
19. 中国凉都·六盘水，是全国唯一用气候特征命名的城市，其辖区内有牂牁江及乌蒙大草原等景区，每年暑假都有大量游客来参观旅游．为了合理配置旅游资源，文旅部门对来牂牁江景区游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览牂牁江，另外的人选择既游览牂牁江又游览乌蒙大草原．每位游客若选择只游览群牁江，则记1分；若选择既游览牂阿江又游览乌蒙大草原，则记2分．假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率．
（1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
（2）从游客中随机抽取n个人，记这n个人的合计得分恰为分的概率为，求；
（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
六盘水市2025届高三年级第二次诊断性监测
数学试题卷
（考试时长：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1，答题前，务必在答题卡上填写姓名和考号等相关信息并贴好条形码.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 已知全集，则（ ）
A. 2B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用列举法表示集合，再利用补集、交集的定义求出.
【详解】依题意，，而，则，
所以.
故选：D
2. 声强级（单位：）由公式给出，其中I为声强（单位：），若某人交谈时的声强级为，则其声强约为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用给定的公式代入计算即得.
【详解】由，，得，所以.
故选：C
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，逆用差角的正弦公式求出，再利用二倍角公式计算即得.
【详解】由，得，
则，即，，解得，
所以.
故选：C
4. 定义在上的偶函数在上单调递增，且，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用的奇偶性与单调性求得的解集，从而利用充分必要条件的判定方法即可得解.
【详解】因为定义在上的偶函数在上单调递增，
所以在上单调递减，
又，则，
故对于，有或，
所以或，
则“”推不出“”，而“”推得出“”，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 已知数列首项，且，则（ ）
A. 810B. 820C. 830D. 840
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用累加法、结合等差数列前项和公式计算即得.
【详解】数列中，，，
则.
故选：B
6. 若是两个相互垂直的单位向量，，则在上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】借助投影向量公式结合数量积公式与模长公式计算即可得.
【详解】
，
即在上的投影向量为.
故选：C.
7. 已知函数的零点分别为，，，则（ ）
A. 0B. 2C. 4D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】将问题转化为与、、的交点横坐标，结合指数函数与对数函数的对称性计算可得.
【详解】由题设，，，，
所以问题可转化为与、、的交点问题，函数图象如下：
因为与关于对称，而与互相垂直，
所以，，则.
故选：A
8. 已知三点，点P为内切圆上一点，则点P到直线的最小距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用两点距离公式判断得，进而利用三角形等面积法求得内切圆的半径，再利用直线与圆相切的性质数形结合求得内切圆的圆心，从而利用点线距离公式即可得解.
【详解】因为，
所以，，
则，故，
所以，
设内切圆的圆心为，半径为，
则，解得，
又由可知轴，故，则，
由可知轴，故，则，
所以内切圆的圆心为，
则圆心到直线的距离为，
所以点P到直线的最小距离为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用两点距离公式发现是直角三角形，进而求得内切圆的半径，从而得解.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】作差判断A；举例说明判断BD；利用不等式的性质判断C.
【详解】，
对于A，，则，A正确；
对于B，取，满足，而，B错误；
对于C，，因此，C正确；
对于D，，取，满足，而，D错误.
故选：AC
10. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则（ ）
A. 为函数图象的一条对称轴
B.
C. 函数在上单调递增
D. 函数的图象与函数的图象交点个数为5
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用三角函数平移的性质求得，进而利用三角函数的对称性判断A，同时判断B，利用三角函数的单调性与整体法判断C，利用三角函数与对数函数的图象，数形结合判断D，从而得解.
【详解】对于A，将函数的图象向左平移个单位，
可得到函数的图象，
则，
所以为函数图象的一条对称轴，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，当时，，
而在上单调递增，所以在上单调递增，故C正确；
对于D，对于，其周期为，最大值为，
令，则，
令，则，且，
因为的定义域为0,+∞，且，
作出与在上的大致图象，如图，
结合图象可知，的与函数的图象交点个数为5，故D正确.
故选：ACD.
11. 正方体的棱长为1，平面截此正方体，且正方体每条棱所在直线与平面所成角相等，则（ ）
A. 正方体每条棱与平面所成角余弦值为
B. 平面截此正方体所得截面的最大面积为
C. 平面截此正方体所得截面可能为五边形
D. 过顶点A作直线l，使得l与直线所成角相等，这样的直线l有4条
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用正方体的结构特征，确定平面​的位置情况，求解判断AB；借助图形变换说明判断C；利用空间向量线线角的求法求解判断D.
【详解】正方体12条棱，共3组平行的棱，由相互平行的直线与平面所成的角是相等的，
得平面只需与共点的3条棱所成的角都相等即可，不妨取共点的3条棱，
连接，在正方体中，三棱锥是正三棱锥，
侧棱与平面所成的角都相等，则平面与平面平行或重合，
对于A，令正的中心为，连接，则平面，
是棱与平面所成的角，，，A正确；
对于B，连接，则，由平面，平面，
得，而平面，则平面，
又平面，于，同理，而平面，
因此平面，即，同理平面，令平面，
当线段与平面的交点在线段上（不含点），平面与正方体的6个面都相交，
则平面截此正方体所得截面为六边形，由正方体的对称性知，当平面过该正方体的中心，
即线段的中点时，所得截面面积最大，此截面为正六边形，边长，
因此平面截此正方体所得截面的最大面积为，B正确；
对于C，当线段与平面的交点在线段或（不含点）上时，
平面只与正方体共点或的3个面都相交，平面截此正方体所得截面为三角形，
结合选项B，知平面截此正方体所得截面为三角形或六边形，不可能为五边形，C错误；
对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
由l与直线所成角相等，知不可能垂直于，设直线的方向向量为，
而，则，
于是，即，
因此或或或，直线l有4条，D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：对于选项D，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求解是解题的关键.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】计算出后，借助复数模长公式计算即可得解.
【详解】，
则.
故答案为：.
13. 甲、乙、丙、丁四位同学去三个不同的地方参加社会实践活动，要求每个地方至少有一名同学参与，且每人只能去一个地方，则一共有_________种不同的分配方案（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】先分成三组，再对三组进行分配即可得.
【详解】先将四名同学分成人、人、人三组，则有种分法，
再将三组人随机分配至三个不同的地方有种分法，
故共有种不同分配方案.
故答案为：.
14. 已知函数，若恒成立，则mn的最大值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】将不等式等价变形为恒成立，构造函数可得，再按分类探讨，借助导数求出最小值可得，然后构造函数求出最大值.
【详解】函数的定义域都为R，不等式，
依题意，对任意，成立，令，求导得，
当时，恒成立，函数在上单调递增，函数值域为R，不符合题意；
当时，的值域为，则，；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
因此，，令函数，
求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，，
则，当且仅当时取等号，所以mn的最大值为.
故答案为：
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式恒成立与有解问题的求解策略：
①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
四、解答题（共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）当时，求外接圆的面积；
（2）求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理的推论求得，进而求得，再利用正弦定理求得外接圆的半径，从而得解；
（2）利用余弦定理，结合基本不等式并检验即可得解.
【小问1详解】
因为，，则，
所以，
又，所以，
设外接圆的半径为，则，故，
所以外接圆的面积为.
【小问2详解】
因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，满足，即为直角三角形，
所以的最小值为.
16. 如图甲，在梯形中，，为AB中点．将沿DE折起到位置，连接，，得到如图乙所示的四棱锥．
（1）证明：平面；
（2）当二面角为时，求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定推理得证.
（2）由（1）结合二面角大小可得正，取的中点，利用线面垂直的判定性质、面面垂直的判定性质求出点到平面的距离即可.
【小问1详解】
在梯形中，，
则四边形为平行四边形，而，
则是矩形，即，
在四棱锥中，，
而平面，
所以平面.
【小问2详解】
由（1）知，是二面角的平面角，
即，又，
则是正三角形，取的中点，连接，，
则有，又平面，
于是平面，
而，则平面，又平面，则平面平面，
在平面内过作于，而平面平面，
因此平面，
又，平面，平面，
所以平面，
于是点到平面的距离等于，而，由（1）知，平面，
则平面，又平面，则，
而，则，
，
所以点到平面的距离为.
17. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，再按分类求出单调区间.
（2）将不等式恒成立作等价变形，在时分离参数，构造函数，利用导数求出最小值，再对讨论即可.
【小问1详解】
函数的定义域为R，求导得，
当时，恒成立，函数在R上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数的单调递增区间是；
当时，函数的单调递减区间是，递增区间是.
【小问2详解】
不等式，
当时，不等式恒成立，即；
依题意，当时，恒成立，令，
求导得，令，
求导得，函数在上单调递增，，
则当时，；当时，，函数在上递减，在上递增，
，于是，
所以实数a的取值范围是.
18. 已知双曲线的虚轴长为，离心率为，分别为的左、右顶点，直线交的左、右两支分别于，两点．
（1）求的方程；
（2）记斜率分别为，若，求的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出即可求得C的方程.
（2）设，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及斜率坐标公式及建立方程即可求出值.
【小问1详解】
依题意，，由双曲线的离心率为，
得，即，
解得，
所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
由（1）知，，设点，，
由消去得，
由已知，，
且，所以，
所以，，
而，
由，得，
即，
整理得，
即，则，
即，于是，
要恒成立，则，解得，满足，
所以.
【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线结合问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再根据题目条件列出方程，或得到弦长或面积，本题中已经给出等量关系，只需代入化简整理即可.
19. 中国凉都·六盘水，是全国唯一用气候特征命名的城市，其辖区内有牂牁江及乌蒙大草原等景区，每年暑假都有大量游客来参观旅游．为了合理配置旅游资源，文旅部门对来牂牁江景区游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览牂牁江，另外的人选择既游览牂牁江又游览乌蒙大草原．每位游客若选择只游览群牁江，则记1分；若选择既游览牂阿江又游览乌蒙大草原，则记2分．假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率．
（1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
（2）从游客中随机抽取n个人，记这n个人的合计得分恰为分的概率为，求；
（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
【答案】（1）分布列见解析，
（2）
（3）趋近于常数.
【解析】
【分析】（1）根据题意得到变量的可能取值为，结合独立事件的概率乘法公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，求得期望.
（2）由这人的合计得分为分，得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解.
（3）记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，得到，结合数列的递推关系式，进而求得数列的通项公式，得到答案.
【小问1详解】
依题意，随机变量的可能取值为，
则，，
所以的分布列如下表所示：
数学期望为.
【小问2详解】
由这人的合计得分为分，得其中只有1人既游览牂阿江又游览乌蒙大草原，
于是，令数列的前项和为，
则，
于是，
两式相减得
，因此，
所以.
【小问3详解】
在随机抽取的若干人的合计得分为分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为分或分，
记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，与是对立事件，
则，，，即，
由，得，则数列是首项为，公比为的等比数列，
，因此，
随着的无限增大，无限趋近于0，无限趋近于，
所以随着抽取人数的无限增加，趋近于常数.
【点睛】方法点睛：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解．
2
3
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