2024-2025学年安徽省宿州市埇桥区教育集团九年级（上）期中数学试卷（含详解+考点）

这是一份2024-2025学年安徽省宿州市埇桥区教育集团九年级（上）期中数学试卷（含详解+考点），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2．（4分）若方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m的值可以是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．
3．（4分）如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD＝50°，则∠OED的度数是（ ）
A．35°B．30°C．25°D．20°
4．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（ ）
A．3B．6C．5D．4
5．（4分）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C将线段AB分成AC、CB两部分，且AC＞BC，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．若C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则分割后较短线段长为（ ）
A．B．C．D．
7．（4分）如图，点P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（ ）
A．＝B．＝C．∠ABP＝∠CD．∠APB＝∠ABC
8．（4分）如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（ ）
A．4B．6C．4D．4
9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A、C、F在坐标轴上，E是OA的中点，四边形AOCB是矩形，四边形BDEF是正方形．若点C的坐标为（6，0），则点D的坐标为（ ）
A．（2，4）B．（2，6）C．D．
10．（4分）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF＝BD；③；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰三角形．正确判断的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若，则的值为 ．
12．（5分）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，F是AD边的中点，EF＝4cm，则BE＝ cm．
13．（5分）若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是 ．
14．（5分）已知在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，且∠BAD＝90°，连接AC、BD交于点O．①若AB＝BC，则＝ ；②若AB＝AC，则＝ ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解方程：
（1）x2﹣5x﹣6＝0．
（2）6x2﹣8x+1＝0．
16．（8分）如图，数学课上老师让同学们想办法测量学校国旗旗杆的高度，小明在阳光下走进旗杆的影子里，使自己的影子刚好被旗杆的影子遮住，已知小明的身高CD＝1.70m，影长PD＝2.2m，小明距旗杆底部的距离是19.8m，你能求出旗杆的高度AB吗？
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
18．（8分）在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（﹣2，﹣1）、B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．
（1）在图中标出位似中心P的位置；
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1，并写出点A的对应点A2的坐标；
（3）△OAB的内部一点M的坐标为（m，n），写出M在△OA2B2中的对应点M2的坐标．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32．连接BD，AE⊥BD垂足为E．
（1）求证：△ABE∽△DBC；
（2）求线段AE的长．
20．（10分）受疫情影响，口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元销售了256袋，三、四月份该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
（2）为回馈客户，该网店决定五月降价促销，经调查发现，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？
六、（本题满分12分）
21．（12分）学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求全班学生总人数；
（2）在扇形统计图中，a＝ ，b＝ ，C类的圆心角为 ；
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请求出全是B类学生的概率．
七、（本题满分12分）
22．（12分）已知正方形ABCD，点E是对角线AC上一点，连接BE、DE，F是DE延长线上一点．
（1）如图，若BF⊥BE，DF交AB于点G．求证：∠FBG＝∠FGB；
（2）如图，在（1）的条件下，当BF＝BE．求证：．
八、（本题满分14分）
23．（14分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，BD＝BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α，连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF．
（1）如图1，当α＝180°时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系；
（2）当0°＜α＜180°时，
①如图2，（1）中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，当B，E，F三点共线时，连接AE，判断四边形AECF的形状，并说明理由．
2024-2025学年安徽省宿州市埇桥区教育集团九年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题：（本大题共10题，每小题4分，满分40分）
1．【考点】正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定．
【解答】解：∵对角线相等的四边形不一定是平行四边形，
∴A不符合题意；
∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，
∴对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
∴B符合题意；
∵对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，
∴C不符合题意；
∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形，
∴D不符合题意，
故选：B．
2．【考点】根的判别式．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＜0，
解得：m＞1，
∴m只能为，
故选：D．
3．【考点】菱形的性质．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝50°，
∴O为BD中点，∠DBE＝∠ABC＝65°．
∵DE⊥BC，
∴在Rt△BDE中，OE＝OB＝OD，
∴∠OEB＝∠OBE＝65°．
∴∠OED＝90°﹣65°＝25°．
故选：C．
4．【考点】平行线分线段成比例．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD＝2，BD＝3，AC＝10，
∴，
∴AE＝4．
故选：D．
5．【考点】列表法与树状图法．
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，
∴小灯泡发光的概率为：＝．
故选：A．
6．【考点】黄金分割；勾股定理．
【解答】解：根据黄金分割点的概念得：AC＝AB＝×2＝﹣1，
∴BC＝AB﹣AC＝3﹣；
故选：B．
7．【考点】相似三角形的判定．
【解答】解：A、∵∠A＝∠A，＝，
∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
B、根据＝和∠A＝∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项符合题意；
C、∵∠A＝∠A，∠ABP＝∠C，
∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
D、∵∠A＝∠A，∠APB＝∠ABC，
∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意．
故选：B．
8．【考点】相似三角形的判定与性质．
【解答】解：∵BC＝8，
∴CD＝4，
在△CBA和△CAD中，
∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，
∴△CBA∽△CAD，
∴＝，
∴AC2＝CD•BC＝4×8＝32，
∴AC＝4；
故选：C．
9．【考点】正方形的性质；坐标与图形性质；矩形的性质．
【解答】解：过D点作DM⊥y轴，垂足为M，
∴∠MED+∠MDE＝90°，
∵四边形BDEF为正方形，
∴DE＝EF＝FB，∠DEF＝∠EFB＝90°，
∴∠MED+∠OEF＝90°，∠OFE+∠CFB＝90°，
∵∠OEF+∠OFE＝90°，
∴∠MDE＝∠OEF＝∠CFB，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠BCF＝90°，OA＝CB，
∴∠EMD＝∠FOE＝∠BCF＝90°，
在△EMD和△FOE和△BCF中，
，
∴△EMD≌△FOE≌△BCF（AAS），
∴MD＝OE＝CF，ME＝OF＝CB，
∵E为OA的中点，
∴OA＝2OE，
∴OF＝2CF，
∵C（6，0），
∴OC＝6，
∴ME＝OF＝4，MD＝OE＝CF＝2，
∴OM＝6，
∴D（2，6），
故选：B．
10．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等腰直角三角形．
【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴EB＝ED，
∵BO＝DO，
∴OE平分∠BOD，
故①正确；
②∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OAD＝∠BAD＝90°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵OB＝OD，BE＝DE，
∴OE⊥BD，
∴∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠BOE＝∠BDA，
∵∠BOD＝45°，∠OAD＝90°，
∴∠ADO＝45°，
∴AO＝AD，
∴△AOF≌△ABD（ASA），
∴OF＝BD，
故②正确；
③∵△AOF≌△ABD，
∴AF＝AB，
连接BF，如图1，
∴BF＝，
∵BE＝DE，OE⊥BD，
∴DF＝BF，
∴DF＝，
故③正确；
④根据题意作出图形，如图2，
∵G是OF的中点，∠OAF＝90°，
∴AG＝OG，
∴∠AOG＝∠OAG，
∵∠AOD＝45°，OE平分∠AOD，
∴∠AOG＝∠OAG＝22.5°，
∴∠FAG＝67.5°，∠ADB＝∠AOF＝22.5°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA＝22.5°，
∴∠EAG＝90°，
∵∠AGE＝∠AOG+∠OAG＝45°，
∴∠AEG＝45°，
∴AE＝AG，
∴△AEG为等腰直角三角形，
故④正确；
故选：D．
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）
11．【考点】比例的性质．
【解答】解：∵，
∴设x＝2k，y＝3k，
∴＝，
故答案为：．
12．【考点】矩形的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线．
【解答】解：∵∠AED＝90°，F是AD边的中点，EF＝4cm，
∴AD＝2EF＝8cm，
∵∠EAD＝30°，
∴AE＝AD•cs30°＝8×＝4cm，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠BEA＝∠EAD＝30°，
在Rt△ABE中，
BE＝AE•cs∠BEA＝4×cs30°＝4×＝6（cm），
故答案为：6．
13．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的根，
∴m2+3m﹣9＝0，
∴m2+3m＝9．
∵m，n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，
∴m+n＝﹣3，
∴m2+4m+n＝（m2+3m）+（m+n）＝9﹣3＝6．
故答案为：6．
14．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【解答】解：①当AB＝BC时，如图一，
∵AB＝AD＝CD，且∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD为正方形，
∴OB＝OD，
∴＝1；
②当AB＝AC时，如图二，
过B作BF⊥AC于F，过D作DE⊥AC于E，
则DE∥BF，
∴＝，
∵AB＝AD＝CD，AB＝AC，
∴△ACD为等边三角形，且∠BAD＝90°，
∴∠CAD＝60°，∠BAC＝30°，
DE＝AD，BF＝AC，
又AD＝AC，
∴＝＝．
故答案为：①1；②．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣公式法．
【解答】解：（1）x2﹣5x﹣6＝0，
因式分解，得（x﹣6）（x+1）＝0，
于是，得x﹣6＝0或x+1＝0，
解得x1＝6，x2＝﹣1；
（2）6x2﹣8x+1＝0，
∵a＝6，b＝﹣8，c＝1，
∴Δ＝（﹣8）2﹣4×6×1＝64﹣24＝40，
∴x＝＝＝，
解得x1＝+，x2＝﹣．
16．【考点】相似三角形的应用．
【解答】解：能，旗杆的高度AB＝17m；理由如下：
∵CD⊥PB，AB⊥PB，
∴CD∥AB，
∴△PCD∽△PAB，
∴，
即，
即＝，
解得：AB＝17（m）．
答：旗杆的高度AB为17m．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．【考点】根的判别式．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，
∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，
解得：m≤1，
∵m为正整数，
∴m＝1，
∴原方程可化为x2﹣2x+1＝0，
则（x﹣1）2＝0，
解得：x1＝x2＝1．
18．【考点】作图﹣位似变换．
【解答】解：（1）如图1，点P为所作；
（2）如图2，△OA2B2为所作，点A2的坐标为（﹣4，﹣2）；
（3）点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为（2m，2n）．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；直角梯形．
【解答】（1）证明：∵AB＝AD＝25，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△DBC；
（2）解：∵AB＝AD，又AE⊥BD，
∴BE＝DE，
∴BD＝2BE，
由△ABE∽△DBC，
得，
∵AB＝AD＝25，BC＝32，
∴，
∴BE＝20，
∴AE＝．
20．【考点】一元二次方程的应用．
【解答】解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，
依题意，得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．
（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400+40y）袋，
依题意，得：（14﹣y﹣8）（400+40y）＝1920，
化简，得：y2+4y﹣12＝0，
解得：y1＝2，y2＝﹣6（不合题意，舍去）．
答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元．
六、（本题满分12分）
21．【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．
【解答】解：（1）全班学生总人数为：10÷25%＝40（人）；
（2）∵C类人数为：40﹣（10+24）＝6（人），
∴C类所占百分比为×100%＝15%，C类的圆心角为360°×＝54°，B类百分比为×100%＝60%，
∴a＝15，b＝60，54°；
故答案为：a＝15，b＝60，54°；
（3）列表如下：
由表可知，共有12种等可能结果，其中全是B类学生的有2种结果，
∴全是B类学生的概率为＝．
七、（本题满分12分）
22．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE，∠ABE＝∠ADE，
∵BF⊥BE，
∴∠EBF＝90°，
∴∠FBG+∠EBG＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADG+∠AGD＝90°，
∴∠FBG＝∠AGD，
∵∠FGB＝∠AGD，
∴∠FBG＝∠FGB；
（2）∵BF⊥BE，BF＝BE，
∴EF＝BE，
∵BE＝DE，
∴EF＝DE，
由（2）可知，∠FBG＝∠FGB，
∴FG＝BF，
∴FG＝DE，
∴GE＝EF﹣FG＝DE﹣DE＝（﹣1）DE．
八、（本题满分14分）
23．【考点】四边形综合题．
【解答】解：（1）如图1，当α＝180°时，点E在线段BC上，
∵BD＝BC，
∴DE＝BD＝BC，
∴BD＝DE＝EC，
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠CFE＝∠BAC＝90°，
∵∠ECF＝∠BCA＝45°，
∴△ABC∽△FEC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∵BC＝AC，
∴＝＝，
∴＝，即＝＝，
∴＝•＝×＝；
（2）①＝仍然成立.
理由如下：
如图2，∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ECF＝45°，＝，
∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠BCA＝45°，＝，
∴∠ECF＝∠BCA，＝，
∴∠ACF+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，
∴∠ACF＝∠BCE，
∵＝，
∴△CAF∽△CBE，
∴＝＝，
∴＝仍然成立．
②四边形AECF是平行四边形．
理由如下：
如图3，过点D作DG⊥BF于点G，
由旋转得：DE＝BD＝BC，
∵∠BGD＝∠BFC＝90°，∠DBG＝∠CBF，
∴△BDG∽△BCF，
∴＝＝＝，
∵BD＝DE，DG⊥BE，
∴BG＝EG，
∴BG＝EG＝EF，
∵EF＝CF，
∴CF＝BG＝BF，
由①知，AF＝BE＝BG＝CF＝CE，
∵△CAF∽△CBE，
∴∠CAF＝∠CBE，∠ACF＝∠BCE，
∵∠CEF＝∠CBE+∠BCE＝45°，∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝45°，
∴∠CBE＝∠ACE，
∴∠CAF＝∠ACE，
∴AF∥CE，
∵AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
A
B
B
C
A
BA
BA
CA
B
AB
BB
CB
B
AB
BB
CB
C
AC
BC
BC