2024-2025学年湖北省荆楚联盟九年级（上）期中数学试卷（含详解+考点）

这是一份2024-2025学年湖北省荆楚联盟九年级（上）期中数学试卷（含详解+考点），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）一元二次方程x2+x＝0的解为（ ）
A．x＝0B．x＝﹣1C．x＝0或x＝1D．x＝0或x＝﹣1
2．（3分）古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）抛物线y＝4（x﹣3）2+7的顶点坐标是（ ）
A．（4，3）B．（4，7）C．（3，7）D．（﹣3，7）
4．（3分）如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．点C与点C′是对称点B．OA＝OA'
C．∠ACB＝∠C'A'B'D．BC∥B'C'
5．（3分）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数
C．没有实数根
D．无法判断
6．（3分）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个通讯基站，其覆盖半径为300m，则这三栋楼中在该通讯基站覆盖范围内的是（ ）
A．只有BB．只有A，CC．只有A，BD．A，B，C
7．（3分）小聪利用网络平台帮助家乡人民销售农产品.6月份销售额为12500元，8月份销售额为16000元，设销售额平均每月的增长率为x．根据题意，可列方程为（ ）
A．2×12500x＝16000
B．12500x2＝16000
C．12500（1+x）2＝16000
D．12500+12500x2＝16000
8．（3分）把抛物线先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．若∠C＝65°，则∠P的度数为（ ）
A．50°B．55°C．65°D．70°
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b＜0；
②2a+b＝0；③4ac＜b2；④c＞a．其中错误结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11．（3分）若一元二次方程x2﹣x﹣m＝0的一个根是2，则m的值为 ．
12．（3分）若点A（a，1）与点B（5，b）关于原点对称，则a+b＝ ．
13．（3分）若x1，x2是方程x2﹣6x﹣15＝0的两个根，则多项式x1（x2﹣1）﹣x2的值为 ．
14．（3分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，⊙O的半径长为5米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是 米．
15．（3分）如图，已知⊙P的半径为4，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的横坐标为 ．
三、解答题（共9题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（8分）解方程：
（1）x2﹣8x+1＝0；
（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0．
17．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝45°，AB＝2，⊙O为△ABC的外接圆，求⊙O的半径．
18．（6分）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点
O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
（1）作点A关于点O的对称点A1；
（2）连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得点B对应点B1，画出旋转后的线段A1B1；
（3）连接AB1，请你画一条直线把四边形ABA1B1的面积分成相等的两部分．
19．（6分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）方程ax2+bx+c＝0的解为 ；
（2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（3）若方程ax2+bx+c＝m有实数根，写出m的取值范围．
20．（8分）如图，在△OAB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，将△OAB绕点O逆时针旋转角α（0°＜α＜90°）得到△A′OB′，连接A′A，A′B．
（1）当α＝30°时，求A′B的长度；
（2）当A′A＝A′B时，判断OA与A′B′的位置关系．
21．（8分）在投掷铅球时，铅球所经过的路线可以看作抛物线的一部分．如图，是小明在校运动会上某次试投中铅球所经过的路线．这次试投时，铅球从出手到落地的过程中，铅球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
（1）根据以上数据，铅球运行的竖直高度的最大值为 米；
（2）求小明这次试投的投掷距离（出手点与着陆点的水平距离）．
22．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，DE＝4，求AD的长．
23．（11分）已知某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每星期可卖出300件．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件降价x元，每星期的销售量为y件，每星期的
销售利润为W元．
（1）直接写出y与x的关系式为 ；
（2）若每星期销售利润为6080元，尽量减少库存，应该如何确定售价？
（3）若该商品按单价不低于进价且不高于55元销售，则售价定为多少，才能使销售该商品每星期获得的利润最大？最大利润是多少？
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2﹣6a的顶点为M，0＜h＜4．
（1）若a＝﹣1，
①点M到x轴的距离为 ；
②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；
（2）已知点M到x轴的距离为3，此抛物线与直线y＝﹣2x+3的两个交点分别为A（x1，y1）B（x2，y2），其中x1＜x2．若点C（xc，yc）在此抛物线上，当x1＜xC＜x2时，yc总满足y2＜yc＜y1，求a的值和h的取值范围．
25．附加题
如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，点D为AB上一动点（不与A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，EF∥AC，AF⊥EF，连接AE．
（1）求的值；
（2）若△CDE的面积为5，时，求AE的长；
（3）G为△ABC所在平面内一点，且CG＝6，AG＝9，BG＝3，请画出草图并直接写出∠BGC的度数．
2024-2025学年湖北省荆楚联盟九年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题（共10题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【解答】解：原方程左侧分解因式得：x（x+1）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1．
故选：D．
2．【考点】中心对称图形．
【解答】解：选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：C．
3．【考点】二次函数的性质．
【解答】解：∵y＝4（x﹣3）2+7为抛物线的顶点式，
∴抛物线的顶点坐标为（3，7）．
故选：C．
4．【考点】中心对称；平行线的判定．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，
∴点C与C′是一组对称点，OA＝OA′，BC∥B'C'，
∴A，B，D都不合题意．
∵∠ACB与∠C′A′B′不是对应角，
∴∠ACB＝∠C′A′B′不成立．
故选：C．
5．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【解答】解：由题意和根的判别式可知：，
∴有两个不相等的实数根，
故选：A．
6．【考点】直角三角形的性质；勾股定理的逆定理．
【解答】解：如下图所示，连接BD，
∵AB＝300m，BC＝400m，AC＝500，
又∵3002+4002＝5002，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
又∵点D是AC的中点，
∴BD＝AD＝CD＝250m，
所以这三栋楼中在该通讯基站覆盖范围内的是A、B、C，只有选项D正确，符合题意．
故选：D．
7．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【解答】解：∵6月份销售额为12500元，8月份销售额为16000元，设销售额平均每月的增长率为x，
∴12500（1+x）2＝16000，
故选：C．
8．【考点】二次函数图象与几何变换．
【解答】解：将抛物线先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为：y＝（x﹣6）2+3，
故选：B．
9．【考点】切线的性质；圆周角定理．
【解答】解：∵∠C＝65°，
∴∠AOB＝2∠C＝2×65°＝130°，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠PBA＝∠PAB＝90°，
∵∠P+∠PAB+∠AOB+∠PBO＝360°，
∴∠P+90°+130°+90°＝360°，
∴∠P＝50°．
故选：A．
10．【考点】二次函数图象与系数的关系．
【解答】解：①由图象可知抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴a＜0，b＝﹣2a＞0，故说法①错误；
②2a+b＝0，故说法②正确；
③由图象可知抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，即b2＞4ac，故说法③正确；
④由图象可知，当x＝0时，y＝c＞0，
∵a＜0，
∴c＞a，故说法④正确，
∴错误的结论个数有1个，
故选：D．
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11．【考点】一元二次方程的解．
【解答】解：由条件可知：22﹣2﹣m＝0，
解得：m＝2，
故答案为：2．
12．【考点】关于原点对称的点的坐标．
【解答】解：根据题意，点A（a，1）与点B（5，b）关于原点对称，
∴根据关于原点对称的点的坐标性质，a＝﹣5，b＝﹣1，
∴a+b＝﹣6．
故答案为：﹣6．
13．【考点】根与系数的关系．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝6，x1•x2＝﹣15，
则x1（x2﹣1）﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝﹣15﹣6＝﹣21，
故答案为：﹣21．
14．【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【解答】解：如下图所示，连接OA、OC，
∵OC交AB于点E，则有OE⊥AB，
∴（米），
又∵OA＝OC＝5米，
在Rt△AOE中，（米），
∴CE＝CO﹣OE＝5﹣3＝2（米），
答：若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是2米．
故答案为：2．
15．【考点】切线的性质；二次函数图象上点的坐标特征；垂径定理．
【解答】解：∵⊙P与x轴相切，
∴圆心P的纵坐标的绝对值为4，
当yP＝4时，，
解得x＝0，
当yP＝﹣4时，，
解得，
∴圆心P的横坐标为：或或0．
故答案为：或或0．
三、解答题（共9题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．
【解答】解：（1）移项，得 x2﹣8x＝﹣1，
配方，得 x2﹣8x+16＝﹣1+16 即 （x﹣4）2＝15，
由此，得 ，
所以，，；
（2）因式分解，得（x﹣2）（x+1）＝0，
于是得，x﹣2＝0，或 x+1＝0，
所以，x1＝2，x2＝﹣1．
17．【考点】三角形的外接圆与外心．
【解答】解：连接OA，OB，
∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝2∠C＝90°，
在Rt△AOB中，
OA2+OB2＝AB2，AB＝2，OA＝OB，
∴2OA2＝4，
OA2＝2，
∴OA＝ （舍负），
∴⊙O的半径是 ．
18．【考点】作图﹣旋转变换．
【解答】解：如图所示：
（1）作出点A关于点O的对称点A1；
（2）连接A1B，画出线段 A1B1；
（3）过梯形上下底中点的直线（答案不唯一）．
19．【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；二次函数的性质．
【解答】解：（1）当y＝0时，函数图象与x轴的两个交点的横坐标即为方程的两个根，由图可知，
方程的两个根为x1＝﹣1，x2＝3．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝3；
（2）根据函数图象，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
此时，x≤1．
（3）由图：方程ax2+bx+c＝m有实数根
即函数y＝ax2+bx+c与y＝m有交点，
此时，m≥﹣2．
20．【考点】旋转的性质；等腰直角三角形．
【解答】解：（1）∵α＝30°，∠AOB＝90°，
∴∠A′OB＝60°，
由旋转可知OA＝A′O＝OB，
∴△A′OB为等边三角形，
∴OB＝A′B＝2．
（2）OA∥A′B′．证明如下：
在△AOA′和△BOA′中，
，
∴△AOA′≌△BOA′（SSS），
∴∠AOA′＝∠BOA′＝45°，即α＝45°．
又∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝45°，
∴∠OA′B′＝45°，
∴∠OA′B′＝∠A′OA＝45°．
∴OA∥A′B′．
21．【考点】二次函数的应用．
【解答】解：（1）由数据可知，铅球运行的竖直高度的最大值为米．
故答案为：；
（2）建立平面直角坐标系如图所示：
则点A的坐标为（0，），顶点为B（4，）．
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+，
∵点A（0，）在抛物线上，
∴a（x﹣4）2+＝，
解得a＝﹣，
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+2.4，
令y＝0，则﹣（x﹣4）2+2.4＝0，
解得x＝10或x＝﹣2（不合实际，舍去）．
即OC＝10．
答：小明这次试投的投掷距离是10米．
22．【考点】切线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理．
【解答】（1）证明：如图，连接OD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵AC＝AB，
∴DC＝BD，
∴OD是△BAC的中位线．
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）如图，作OF⊥AC于点F，
∵DE⊥OD，DE⊥CF，
∴四边形ODEF为矩形，
∴EF＝OD＝AO＝5，OF＝DE＝4，
Rt△OAF中，，
∴AE＝AF+EF＝8，
Rt△ADE中，．
23．【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【解答】解：（1）根据题意，得y＝20x+300．
故答案为：y＝20x+300；
（2）根据题意得W＝（60﹣40﹣x）（300+20x）＝﹣20x2+100x+6000，
∴W＝﹣20（x﹣2.5）2+6125，
令﹣20（x﹣2.5）2+6125＝6080，
x1＝1．x＝4，
尽量减少库存，
∴x＝4，
此时售价为60﹣x＝60﹣4＝56（元）；
（3）根据题意得，40≤60﹣x≤55，
∴5≤x≤20，
又 W＝﹣20（x﹣2.5）2+6125，
∵﹣20＜0，
∴当x＞2.5时，W随x的增大而减小，
∴当 x＝5，销售价为60﹣x＝60﹣5＝55 时，W取得最大值，
此时，W＝﹣20（5﹣2.5）2+6125＝6000 （元），
∴售价定为55元，才能每星期的销售利润最大，最大利润是6000元．
24．【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；整式的混合运算—化简求值；一次函数图象上点的坐标特征．
【解答】解：（1）①①把a＝1代入y＝a（x﹣h）2﹣6a得y＝（x﹣h）2﹣6，
∴抛物线顶点坐标为（h，﹣6），
∴点A到x轴的距离为|﹣6|＝6，
故答案为：6．
②令y ＝0，﹣（x﹣h）2+6＝0．
解得 ，，
∴抛物线与x轴的两个交点之间的距离为 ．
（2）∵点M到x轴的距离为3，
∴|﹣6a|＝3．
∴ 或 ，
①当 时，，
∵当 x1＜xC＜x2 时，yC 总满足 y2＜yC＜y1，
∴h≥x2，
如图，当点M（h，﹣3）在直线 y＝﹣2x+3 上时，
解得 h＝3．
∴h≥3．
∵0＜h＜4，
∴3≤h＜4．
②当 时，
如图所示，不符合题意，
∴ 舍去．
综上，，3≤h＜4．
25．【考点】相似形综合题．
【解答】解：（1）∵由旋转的性质可知，CD＝CE，∠DCE＝90°，
又∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠ECA+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠ECA＝∠DCB，
在△ECA和△DCB中，
，
∴△ECA≌△DCB（SAS），
∴EA＝DB，∠EAC＝∠DBC＝45°，
∴∠EAD＝90°，
又∵EF∥AC，AF⊥EF，
∴∠F＝90°＝∠EAB，
∴∠EAF＝45°，
∴在Rt△EFA中，EF＝AF，，
∴，
∴．
（2）连接ED，如图所示，
∵CE＝CD，∠ECD＝90°，
∴，
∴，
∴，
在Rt△ABC中，，
由（1）可知，∠CAE＝45°，∠CAB＝45°，得到∠EAD＝90°，
设AE＝x，即BD＝x，AD＝AB﹣BD＝6﹣x，
在Rt△EAD中，ED2＝AE2+AD2，
∴，
解得x1＝2，x2＝4，
∴AE为2或4；
（3）G为△ABC所在平面内一点，且CG＝6，AG＝9，BG＝3，分两种情况讨论：
当G点在△ABC的内部时，将△ACG逆时针绕C点旋转90°与△BCH重合，连接GH，如图2，
∴CH＝CG＝6，BH＝AG＝9，∠GCH＝90°，
∴∠CGH＝∠CHG＝45°，
∴，
在△BGH中，BH＝9，GB＝3，，
∴BH2＝GH2+GB2，
∴∠HGB＝90°，
∴∠BGC＝135°；
当G点在△ABC的外部时，将△ACG逆时针旋转90°与△BCH重合，连接BH，如图，
∴BH＝AG＝9，CH＝CG＝6，∠HCG＝90°，
∴HG＝，∴∠CGH＝∠CHG＝45°，
在△BGH中，BH＝9，GB＝3，，
∴BH2＝GH2+GB2，
∴∠HGB＝90°，
∴∠BGC＝∠HGB﹣∠CGH＝45°．
∴∠BGC＝135°或45°．
水平距离（米）
0
1
2
3
4
5
竖直高度（米）